綜合與實踐：三角形旋轉放縮

2025年江西省中考數學第23題

在2022版新課標中，對于綜合與實踐版塊的要求相對原課標有較大提升，初中階段的綜合與實踐與小學不同，多采取項目式學習的方式，以問題解決為導向，并不單純是解題，學生在解決問題的過程中會運用到數學思想方法和其它學科的知識，通常情況下每一次項目式學習都有其目的，涉及到的數學思想方法并不相同。

三角形的旋轉放縮，源自于人教版數學九年級下冊的相似三角形，而旋轉變換則是在九年級上冊，安排在圓的前面，和七、八年級所學習的平移、全等、軸對稱等一起，構成初中幾何的基本圖形變換方式，以這幾種基本圖形變換為基礎，可以衍生出更多變換類型，有一些便是我們熟悉的各種解題模型例如手拉手。

而從特殊到一般的研究思路，則貫穿整個數學學習過程。

題目

綜合與實踐

從特殊到一般是研究數學問題的一般思路，綜合實踐小組以特殊四邊形為背景就三角形的旋轉放縮問題展開研究。

特例研究

在正方形ABCD中，AC，BD相交于點O.

(1)如圖1，△ADC可以看成是△AOB繞點A逆時針旋轉并放大k倍得到，此時旋轉角的度數為_________，k的值為__________；

(2)如圖2，將△AOB繞點A逆時針旋轉，旋轉角為α，并放大得到△AEF（點O，B的對應點分別為點E，F），使得點E落在OD上，點F落在BC上，求BF:OE的值；

(3)如圖2，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分線與BD的交點，將△AOB繞點A逆時針旋轉，旋轉角為α，并放縮得到△AEF（點O，B的對應點分別為點E，F），使得點E落在OD上，點F落在BC上，猜想BF:OE的值是否與α有關，并說明理由；

(4)若(3)中∠ABC=β，其余條件不變，探究BA，BE，BF之間的數量關系（用含β的式子表示）.

解析：

01

(1)在正方形ABCD中，我們很容易證明△AOB∽△ADC，如下圖所示：

通過它們的一組對應邊AO與AD的夾角可確定旋轉角為45°，相似比為1:√2，即k的值為√2；

02

(2)由題意可得△AOB∽△AEF，所以∠OAB=∠EAF，于是∠FAB=∠EAO，再加上∠AOE=∠ABF=90°，可得△ABF∽△AOE，得到AB:AO=BF:OE，而在△AOB中，AB:AO=√2，所以BF:OE=√2；如下圖所示：

03

(3)先根據題目要求完成作圖，如下圖：

借助前面探究的結果，我們用同樣的思路，先由題目條件得到△AOB∽△AEF，得∠OAB=∠EAF，所以∠BAF=∠OAE=α，又由AO:AE=AB:AF得AO:AB=AE:AF，所以△BAF∽△OAE，得BF:OE=BA:OA，對于△AOB，它是特殊等腰三角形，由菱形ABCD，∠ABC=60°可得等邊△ABC，而OC是AB邊上的垂直平分線，菱形對角線BD是∠ABC角平分線，由三線合一可得點O是△ABC的中心，所以△AOB是等腰三角形且∠ABO=30°，在這個三角形中，底是腰的√3倍，于是BA:OA=√3，即BF:OE=√3；

可知這個結果與α的值無關.

在解決最后一個探究之前，不妨將(2)，(3)兩個問題進行簡單的歸納，當四邊形ABCD由正方形變成含60°角的菱形，BF:OE的值由√2變成了√3，而正方形的對角線與邊長之比為√2，含60°角的菱形較長對角線與邊長之比為√3，它們與BF:OE之間是否存在必要聯系？

帶著這個問題，以及前面兩個小題的研究方法，再進入下一個問題；

04

(4)在備用圖中按(3)中要求作圖如下：

前面已經探究出來的方法告訴我們，△AOB∽△AEF，依然可證明△ABF∽△AOE，既然前面已經知道BF:OE的值與旋轉角無關，那么我們的重點應放在菱形ABCD的較長對角線與邊長的比值上，即△BAD的底與腰之比，而△BAD∽△AOB，因此我們要關注△AOB的底與腰之比，題目要求探索的三條線段分別是BE，BF，AB，其中BE在對角線BD上，AB是菱形的邊長，接下來我們需要建立這三條線段和我們已經探索出的線段關聯.

∠ABC=β，則∠ABO=1/2β，由OG是AB的垂直平分線可得Rt△GBO，可知cos1/2β=BG:OB，所以BG=OB·cos1/2β，進一步得到AB=2OB·cos1/2β，再由已經證明過的相似三角形△ABF∽△AOE得AB:AO=BF:OE，而AB:AO=AB:OB=2cos1/2β，則BF:OE=2cos1/2β；

所以BF=2OE·cos1/2β，而OE=BE-OB=BE-AB/2cos1/2β，代入前面式子，可得BF=2(BE-AB/2cos1/2β)·cos1/2β=2BE·cos1/2β-AB.

解題反思

本題中的相似三角形的證明不是難點，事實上題目條件敘述的過程中，已經把相似的條件都給出來了，而尋找相似三角形也不是難點，圖形呈現中并沒有給尋找相似三角形制造障礙，甚至于多次相似三角形中都屬于可以一眼瞧見的類型，這和某些省市中考題里，在相似三角形的構造或尋找中設置障礙大不相同，對于這個知識點的難度設置，符合新課標的要求，非常難得。

相似既然不是難點，那么本題難在哪里？

首先是方法的遷移，從正方形中的特殊相似三角形，到正方形的一般相似三角形，再到特殊菱形中的相似三角形，最后到一般菱形中的相似三角形，和題目開頭所說的“從特殊到一般”吻合；

其次是線段比值的運用，我們在學習三角函數的時候，很多老師喜歡把這部分內容簡化或弱化成幾個特殊三角函數值的記憶，最多利用邊長比為1：2：√5或3：4：5的直角三角形，這違背了課標中對三角函數的要求，教材中既然稱之為函數，我們需要讓它有函數味道，即角度大小和線段比值間，存在對應關系，從4個小題設置來看，√2，√3是特殊比值，而到最后的小題，比值變成了cos1/2β，若β是常量，則這個比值也是常量，學生如果理解了這一點，則此題再無難度，這仍然體現了從特殊到一般的思想。

最后說一下這道題的情景，新課標中說綜合與實踐“在社會生活和科學技術的真實情景中”，我們不能只看前半句，科學技術包括數學，于是數學本身也是真實情景，包括圖形、符號等抽象元素，數學原本就應該是學生腦海中的情景，抽象但真實。

在張欽博士的系列叢書《從優秀試題中領悟初中數學教學》中，每冊書后的博士主張，值得認真閱讀學習，尤其是青年教師。