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華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院姚若飛副教授

與西安交通大學(xué)陳紅斌教授

澳門大學(xué)桂長峰教授合作的論文

Uniqueness of critical points of the second Neumann eigenfunctions on triangles

被世界四大頂尖數(shù)學(xué)期刊之一的

Inventiones Mathematicae

（《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》）在線發(fā)表

論文截圖

這也是自2025年以來

數(shù)學(xué)學(xué)院教師高水平成果

第二次被四大頂刊接受發(fā)表

凸顯了學(xué)校和學(xué)院

在基礎(chǔ)研究領(lǐng)域的持續(xù)突破與深厚潛力

系統(tǒng)攻堅(jiān)：解開三角形上的關(guān)鍵謎題

這項(xiàng)研究源于一個(gè)已有 50 年歷史、既經(jīng)典又帶著“生活溫度”的數(shù)學(xué)猜想——“熱點(diǎn)猜想”。

想象一個(gè)絕熱的房間（墻壁既不吸熱也不放熱），若在某處短暫加熱，熱量便會(huì)從高溫向低溫?cái)U(kuò)散。隨時(shí)間推移，溫度逐漸趨于一致；但只要系統(tǒng)尚未完全均勻，房間內(nèi)就仍會(huì)存在“最熱點(diǎn)”與“最冷點(diǎn)”。直覺上，人們傾向于認(rèn)為：在時(shí)間足夠長但尚未達(dá)到平衡時(shí)，這些極熱或極冷點(diǎn)更可能出現(xiàn)在墻面邊緣，而非房間內(nèi)部——這正是美國數(shù)學(xué)家 Rauch 于 1974 年提出的“熱點(diǎn)猜想”。

從數(shù)學(xué)視角看，溫度演化滿足帶有絕熱（Neumann）邊界條件的熱方程。在時(shí)間足夠長的情形下，溫度分布主要由“衰減最慢的首個(gè)非平凡模式”主導(dǎo)，即拉普拉斯算子的第二Neumann特征函數(shù)（第一特征函數(shù)為常數(shù)，對(duì)應(yīng)完全均溫狀態(tài)）。

因此，在數(shù)學(xué)家的眼里，熱點(diǎn)猜想可等價(jià)表述為：對(duì)于平面上的凸區(qū)域，拉普拉斯算子的第二 Neumann 特征函數(shù)的最大值與最小值只能在區(qū)域邊界處取得。

半個(gè)多世紀(jì)以來，熱點(diǎn)猜想持續(xù)吸引著國際數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注。菲爾茲獎(jiǎng)得主 Wendelin Werner、陶哲軒，以及美國藝術(shù)與科學(xué)院院士、麻省理工學(xué)院 David Jerison 教授等多位頂尖學(xué)者，圍繞不同幾何區(qū)域和特殊情形取得了一系列重要進(jìn)展。然而，作為最基本的凸多邊形之一，平面三角形雖結(jié)構(gòu)簡明，其特征函數(shù)的精細(xì)行為分析卻長期被認(rèn)為極具挑戰(zhàn)：它既是熱點(diǎn)猜想研究中的關(guān)鍵難點(diǎn)，也是檢驗(yàn)相關(guān)理論與方法的重要基礎(chǔ)模型。

該論文聚焦三角形情形，開展了系統(tǒng)而深入的分析：不僅解決了菲爾茲獎(jiǎng)得主陶哲軒于 2012 年在 Polymath Project 7 中提出的“最值精確位置”公開問題，還推進(jìn)并完善了 Annals of Mathematics（2020）相關(guān)文章中提出的關(guān)于臨界點(diǎn)的公開問題及其主要結(jié)論（該文后續(xù)修訂指出原定理證明不完整），并對(duì) David Jerison 教授提出的特征函數(shù)單調(diào)性問題給出了解答。此外，研究還就特征函數(shù)節(jié)點(diǎn)線位置、混合邊值問題的特征值不等式等若干公開問題給出了進(jìn)一步解答。

在三角形這一基礎(chǔ)幾何模型中，作者們圍繞第二 Neumann 特征函數(shù)的一系列關(guān)鍵結(jié)構(gòu)問題給出了系統(tǒng)且嚴(yán)格的結(jié)論；相關(guān)方法與結(jié)果可為譜幾何、偏微分方程及相關(guān)方向的后續(xù)研究提供參考。

厚積薄發(fā)：十余年磨一劍的學(xué)術(shù)旅程

一項(xiàng)重要成果的背后，往往是漫長而扎實(shí)的積累。姚若飛自博士階段初次接觸這一難題起，至論文最終發(fā)表，前后跨越約13年；而真正進(jìn)入集中攻關(guān)、反復(fù)打磨并完成投稿錄用，則經(jīng)歷了五年的深度投入。這段歷程并非一帆風(fēng)順：中途有過停滯與焦慮，但團(tuán)隊(duì)始終在一次次推演與修正中把問題向前推進(jìn)。

在關(guān)鍵技術(shù)路線上，研究曾嘗試以復(fù)分析思路切入，但進(jìn)展受阻。隨后，研究在團(tuán)隊(duì)成員桂長峰教授 2018 年發(fā)表于 Inventiones Mathematicae 的相關(guān)工作啟發(fā)下，采用“直接證明對(duì)稱性”的思路推進(jìn)，局面由此逐步打開。與此同時(shí)，在持續(xù)的文獻(xiàn)梳理中，團(tuán)隊(duì)還從一篇 2016 年的論文里注意到一個(gè)與特征值不等式相關(guān)的公開問題；對(duì)該問題的解決，恰好補(bǔ)齊了剛性論證中的最后一塊關(guān)鍵拼圖。

團(tuán)隊(duì)成員還分享了一個(gè)細(xì)節(jié)：關(guān)鍵證明的突破并非偶然，而是在一次需要長時(shí)間保持專注的間隙里，經(jīng)由反復(fù)推演逐步貫通的——“當(dāng)時(shí)我們就在腦海里一遍遍把思路過一遍，忽然將幾個(gè)看似不相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，關(guān)鍵的證明路徑也隨之清晰浮現(xiàn)。”而這種“豁然開朗”，背后離不開前期大量文獻(xiàn)的系統(tǒng)整理，以及團(tuán)隊(duì)長期的交流討論與持續(xù)打磨。

論文的發(fā)表過程亦充滿挑戰(zhàn)。文章歷經(jīng)三次修改，審稿人的意見極為嚴(yán)苛，甚至要求仔細(xì)對(duì)比并論述與俄羅斯學(xué)者前期工作的具體差異。“頂級(jí)期刊的審稿非常嚴(yán)格，要求文章幾乎完美無瑕。這個(gè)過程雖然痛苦，卻極大提升了研究的嚴(yán)謹(jǐn)性與完整性。”姚若飛感慨。這段艱辛而充實(shí)的學(xué)術(shù)旅程，最終凝結(jié)為一項(xiàng)扎實(shí)而深刻的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。

學(xué)校、學(xué)院關(guān)心青年教師成長，為其創(chuàng)造優(yōu)質(zhì)且寬松的學(xué)術(shù)研究環(huán)境，也是姚若飛此次科研攻關(guān)成功的因素之一。長期以來，數(shù)學(xué)學(xué)院支持青年教師進(jìn)行國內(nèi)外學(xué)術(shù)交流與合作，常態(tài)化邀請(qǐng)知名學(xué)者指導(dǎo)青年教師開展科學(xué)研究、教育教學(xué)、項(xiàng)目申報(bào)等工作，助其迅速成長為學(xué)院學(xué)科骨干。

國際數(shù)學(xué)界公認(rèn)的四大頂刊為Acta Mathematica（《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》）、Annals of Mathematics（《數(shù)學(xué)年刊》）、Inventiones Mathematicae（《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》）、Journal of the American Mathematical Society（《美國數(shù)學(xué)會(huì)雜志》）。

其中

Inventiones Mathematicae

（《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》）創(chuàng)刊于 1966 年

被認(rèn)為是全球最負(fù)盛名的數(shù)學(xué)期刊之一

自創(chuàng)刊以來

以在國際純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的頂尖影響力著稱

同時(shí)

以極其嚴(yán)格的審稿標(biāo)準(zhǔn)

與對(duì)原創(chuàng)性和突破性的高要求聞名

論文錄用率長期處于較低水平

通常僅接收具有重要理論創(chuàng)新

與實(shí)質(zhì)性推進(jìn)的研究成果

人|物|簡|介

姚若飛

姚若飛，西安交通大學(xué)博士，中南大學(xué)博士后，2020年12 月入職華南理工大學(xué)，被聘為準(zhǔn)聘副教授。研究方向?yàn)槠⒎址匠汤碚摷捌鋺?yīng)用。相關(guān)論文在Inventiones Mathematicae、Mathematische Annalen、SIAM Journal on Mathematical Analysis、Calculus of Variations and Partial Differential Equations、Journal of Differential Equations等期刊發(fā)表。

論文鏈接

https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-025-01398-x

黨委宣傳部（融媒體中心）

信息來源：數(shù)學(xué)學(xué)院

采寫：李一粲 王榮鑫

微信編輯：鮑恩

初審：鮑恩

復(fù)審：盧慶雷

終審：夏正林

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