神經網絡增強的相對論重離子碰撞貝葉斯全局分析

Neural network enhanced Bayesian global analysis of relativistic heavy ion collisions

https://arxiv.org/pdf/2603.26413

I. 引言

根據量子色動力學（QCD），高溫（T ? 150 MeV）且重子化學勢為零的強相互作用物質以夸克-膠子等離子體（QGP）的形式存在，這是一種由解禁閉的夸克和膠子組成的流體[1–4]。當前，可以在CERN大型強子對撞機（LHC）和BNL相對論性重離子對撞機（RHIC）的超相對論性重離子碰撞中研究熱QCD物質的性質，因為這些實驗能夠達到如此極端的溫度。

對QCD物質演化進行建模的一個基石是耗散相對論性流體動力學，即“流體力學”，其中物質性質嵌入在輸運系數和QCD狀態方程中，而狀態方程包含了從QGP到強子氣體的交叉過渡。除了物質性質之外，流體力學模型的一個關鍵部分是初始條件，這些初始條件可以參數化（如TRENTo模型[5]中所做的那樣），或者也可以從基于QCD的初態模型計算得到，例如基于色玻璃凝聚的IP-Sat模型（依賴碰撞參數的飽和模型）[6–8]、EKRT模型（Eskola-Kajantie-Ruuskanen-Tuominen模型）[9–15]以及EPOS模型（能量守恒+平行散射+因子化+飽和機制）[16–21]。流體力學演化還可以通過額外的建模來補充，例如預流體力學演化（如K?MP?ST [22]和Alpaca [23]）以及晚期強子演化，后者可以使用強子級聯模擬來建模，如UrQMD [24, 25]或SMASH [26]。另一種方法是全程使用流體力學來描述整個演化過程——這也是本文所采取的方法，但同時用動態凍結條件和化學凍結[27]對其進行補充。在過去的幾年中，基于流體力學的方法對實驗測得的整體（低橫動量）可觀測量提供了一致的描述，從而為在這些碰撞中形成了具有集體行為的熱QGP提供了非常有力的支持[28]。

從LHC和RHIC數據中確定QCD物質性質，例如剪切粘度和體粘度的比值的溫度依賴性η/s(T)和ζ/s(T)，是目前一個非常活躍的研究領域。上述那些對于描述完整碰撞事件所必需的有效模型框架，通常都伴隨著相當多的自由參數，數量約為10-20個，這些參數必須通過實驗數據進行擬合；物質性質以及初態動力學和解耦動力學中的未知因素，都用這些參數來表達。此外，許多擬合參數之間是相互關聯的，以至于各種不同的參數組合可能對末態可觀測量產生相似的影響。出于這個原因——為了理解這些關聯并獲得可控的誤差估計——貝葉斯全局分析已成為確定QCD物質性質及其不確定性的標準工具[29–47]。關于最近的綜述，可參見參考文獻[48]。

這些分析中的一個主要挑戰在于，通常最終的實驗結果是對數百萬個碰撞事件的平均值，而有意義地將模型與數據進行比較也需要類似數量的模擬碰撞事件。與此同時，QCD物質性質的參數以及解耦條件和初態的參數共同構成了一個多維參數空間。貝葉斯分析要求我們能夠在參數空間中的任意點快速且容易地計算出實驗測量的可觀測量。直接通過模型計算來完成這一任務顯然是不可能的，因為對于每一組新的參數組合，都需要至少數萬次甚至更多（對于稀有可觀測量而言）的新的模型運行。即使借助高斯過程（GP）仿真器[49–51]等工具，這項任務在計算上仍然非常苛刻，因為它可能仍然需要數百萬次的模型運行才能為這些仿真器生成足夠全面的訓練數據。

在這項原理驗證研究中，我們引入了一個新穎的框架，能夠將這一過程的速度潛在提升數個數量級。我們方法的主要新特性在于，我們不進行數百萬次流體力學模擬，而是使用流體力學模擬來訓練深度卷積神經網絡（NN），這些神經網絡能夠直接從初始能量密度分布逐事件（EbyE）地預測最終的實驗可觀測量。然后，我們可以用神經網絡取代耗時的流體力學模擬，并使用它們來生成用于高斯過程仿真器的訓練數據。雖然訓練神經網絡仍然需要相當數量的真實流體力學模擬，但這比直接使用流體力學為訓練高斯過程仿真器生成數據所需的數量要少幾個數量級。對于某個給定的可觀測量，需要更多的模擬事件才能獲得有意義的結果，那么計算時間的差異就越顯著。除了我們之前的工作[52, 53]之外，使用生成神經網絡作為快速模擬逐事件流體力學模擬的方法最近在參考文獻[54–56]中也得到了研究。然而，據我們所知，這是這些方法首次被應用于貝葉斯全局分析的背景下。

我們這里的主要物理目標是改進對QCD物質粘度η/s(T)和ζ/s(T)的確定，并理解這些性質如何與EKRT初態計算及其不確定性相互關聯。我們在文獻[52]中引入的神經網絡，現在得到了進一步發展，使其也能夠接受QCD物質參數作為輸入[53]。這些新的神經網絡能夠非常快速地逐事件（EbyE）計算流系數、平均橫動量和多重數。利用中心度分級的平均結果，我們隨后訓練高斯過程（GP）仿真器，并將其用于貝葉斯分析。

為了對神經網絡進行逐事件訓練，我們采用了文獻[27]中的2+1維相對論性剪切和體粘滯流體力學，初始條件由基于微擾QCD+飽和機制的EbyE-EKRT模型[13]計算得到，解耦條件則根據文獻[27]中介紹的方法動態確定。我們沒有將流體力學與強子級聯后處理程序耦合，而是讓流體力學在部分化學平衡（PCE）下一直運行到最終的動力學凍結。這樣做避免了針對各種未知強子截面的進一步假設以及例如在剪切粘度上出現非物理的不連續性。不過，我們仍然考慮了凍結后強子和電磁強子的衰變。

我們的貝葉斯推斷設置總共有15個輸入參數：10個用于η/s(T)和ζ/s(T)，1個用于化學解耦溫度，2個用于動態凍結條件，以及2個用于初態計算。使用完整的逐事件2+1維流體力學模擬來探索如此高維的參數空間在計算上非常昂貴。即使利用高斯過程等統計模型仿真器，仍然需要對大約1000種不同的參數組合運行完整的逐事件模擬，并且對于每一種組合，都需要生成可觀測量所需的逐事件統計量。然而，通過在這些大約1000個參數點上訓練的神經網絡，我們可以輕松地生成足夠多的事件，從而使得在分析中納入那些對統計量要求更高的流可觀測量（例如本文中的傅里葉系數v4和歸一化對稱累積量NSC(4,2)）成為可能。

本文的結構如下：在第二節中，我們描述了EbyE-EKRT加粘滯流體力學模型；在第三節中，我們描述了用于預測模型輸出的神經網絡框架；在第四節中，我們詳細介紹了統計分析流程；在第五節中，我們展示了分析結果；第六節是對我們研究發現的總結。

II. 模型描述

本研究所使用的具有動態凍結的EbyE-EKRT加粘滯流體力學模型已在文獻[27]中詳細描述。在此，我們總結與本研究相關的主要特征和參數。

A. EbyE-EKRT初態

QCD物質的初始能量密度分布來自EbyE-EKRT小噴注飽和模型[13]，該模型是由參考文獻[9–12]發展而來。該模型基于共線因子化的次領頭階（NLO）微擾QCD計算，計算的是小噴注的橫能量（ET），這些小噴注的橫動量（pT）高于截止尺度p0，并在快度區間?y = 1的中心快度區域內產生[11, 13, 57–59]。小噴注過程的飽和現象，源于在高部分子密度下變得主導的QCD非線性效應[9, 60]，被認為會抑制向較低pT值方向的初級部分子產生。對于碰撞參數為b的AA碰撞中的ET橫向密度，飽和極限通過局域飽和條件得到[11]。

B. 2+1 維粘滯流體力學

III. 使用神經網絡預測流體力學模擬輸出

一些可觀測量，例如高階流諧波 v 3 , v 4 , . . . 及其關聯，需要大量事件來約束統計誤差，這使得它們在計算上非常昂貴。我們使用神經網絡來快速估算任意給定能量密度分布和參數組合下的單事件模型輸出。性能提升非常顯著：在大約一個CPU小時內我們可以運行大約兩次完整的模擬，而使用神經網絡在GPU（NVIDIA V100）上每秒可以生成大約100個事件。

在訓練過程中，我們針對每個被研究的碰撞系統，在每個訓練點上運行40個事件的完整模擬。其中36個事件用于訓練，剩余4個用于驗證。

訓練點通過以下迭代過程進行采樣：首先，我們使用拉丁超立方體采樣從整個輸入參數空間中均勻采樣950個點，并對神經網絡進行初始訓練。訓練使用Adam優化器[77]進行120個周期。在每個周期之后，網絡性能在驗證集上進行測試，如果網絡表現優于之前的最佳網絡，則將其保存。對于多重數，使用對數均方根（RMS）誤差損失函數，而對于其他可觀測量，則使用標準均方根誤差。在訓練過程中，通過應用隨機旋轉、翻轉和平移來增強訓練數據。

接下來，我們按照下一節描述的方法進行全局分析。在此初始分析之后，我們從獲得的后驗分布中額外采樣100個訓練點，并將它們添加到訓練集中。然后，我們使用這個增強后的訓練集，通過額外訓練20個周期來重復上述過程（重新訓練神經網絡），以便在參數空間中更相關的區域獲得更準確的估計。

神經網絡僅用于增加單個參數點的事件統計量，而整個參數空間中的插值則由高斯過程仿真器處理，這將在下一節中描述。對于每組（950 + 100）參數集，我們利用訓練好的神經網絡為每個碰撞系統生成個事件。

為了驗證神經網絡對于事件平均可觀測量的性能，我們從第二個訓練集中選取了10個參數點，并在每個點上對5.02 TeV Pb+Pb碰撞進行了5,000次流體力學模擬。與神經網絡預測的比較如圖1所示。其精度非常好，平均偏差約為可觀測量值的1%。當用于高斯過程訓練的數據在參數空間中分布稀疏時，該誤差相對于參數空間插值帶來的誤差是次要的（見附錄A）。

遺憾的是，5,000個碰撞事件不足以對歸一化對稱累積量進行同樣的測試。因此，為了驗證神經網絡在這種情況下的性能，我們選擇了似然函數值最高的訓練參數點，并運行了50,000次流體力學模擬。針對NSC(4,2)、NSC(3,2)和NSC(4,3)的測試結果如圖2所示。在10-70%中心度范圍內，神經網絡對于NSC(4,2)的精度在1-10%的量級。在最中心的碰撞系統以及對于其他歸一化對稱累積量，相對誤差可能會稍大一些，但這些數據并未包含在分析中。

用于神經網絡訓練和事件生成的代碼包可在文獻[78]中獲得。

IV. 統計分析

在先驗概率分布為均勻分布的情況下，確定后驗概率就等同于確定似然函數。

A. 輸入參數

我們的 EbyE-EKRT + (2+1) 維粘滯流體力學動態凍結模型總共有 15 個可調參數，這些參數已在第二節中介紹。為了將采樣集中在輸入參數空間中物理上最有意義的區域，我們在構建均勻先驗時進行以下替換：

我們貝葉斯推斷研究中的最終15個擬合參數總結在表II中，同時列出了它們各自的先驗范圍。此外，為了進行模型仿真和馬爾可夫鏈蒙特卡洛計算，這些先驗范圍已被縮放至單位超立方體內。

我們在表 III 中列出了所包含實驗數據的詳細列表。

C. 主成分分析

可觀測量空間的維數可以通過主成分分析顯著降低，其目標是找到具有最大方差（即對輸入變化最敏感）的可觀測量的線性組合。為了使方差比較有意義，可觀測量被中心化（使其均值為0），并用其樣本標準差進行縮放，以使其無量綱化并在方差方面具有相似的尺度。

還必須記得對模型數據進行縮放和中心化的逆操作，這些操作是在為主成分分析做準備時進行的。

我們利用 scikit-learn [79] Python 庫來進行主成分分析和高斯過程回歸。關于仿真器質量檢查的總結見附錄 A。

E. 似然函數

對于每個碰撞能量，似然函數定義如下：

我們使用馬爾可夫鏈蒙特卡洛代碼 EMCEE [93] 從似然函數中抽取樣本。我們運行一個由300個行走者組成的集合，共40000步，并丟棄前30000步，以確保結果中使用的所有樣本都是在MCMC收斂到目標分布之后抽取的。

V. 結果

A. 后驗分布

我們在表 IV 中給出了后驗概率分布的概要統計量，即每個參數邊緣分布的中位數和90%置信區間。

對于輸運系數，我們不是單獨研究每個參數，而是通過基于后驗分布樣本繪制 η / s 和 ζ / s 的實際溫度依賴性來說明它們的綜合效應。即使單個參數本身并非受到非常強的約束，它們之間也不是相互獨立的，其凈效應是，特別是剪切粘度本身受到的約束實際上比單個參數的約束所顯示的要嚴格得多。我們還注意到，QCD物質輸運性質的最終約束對于所假設的理論誤差的變化非常穩健，這是一個令人鼓舞的結果。最顯著的差異體現在體粘度上：當采用最小的10%誤差時，存在明確的下限，但隨著理論誤差增大，該下限減弱。體粘度的上限則對此不那么敏感。另一方面，剪切粘度的限制實際上與所假設的誤差無關。

接下來，對于所研究的三種情景中的每一種，我們從后驗分布中抽取5000個參數組合，并將這些點上仿真器預測的分布與數據進行比較。

所研究碰撞系統的帶電粒子多重數的中心度依賴性如圖5所示，同時還包括5.44 TeV Xe+Xe碰撞中的平均橫動量。從200 GeV Au+Au碰撞到5.44 TeV Xe+Xe碰撞的整個碰撞能量范圍內，與多重數數據的吻合程度非常令人滿意，較大的理論不確定性僅僅增加了預測的分散程度，而預測中位數與數據之間的距離仍非常相似。然而，特別是在Xe+Xe碰撞的情況下，我們看到中心度依賴性略顯過陡；多重數在向周邊碰撞方向下降得略微過強。這種過強的中心度依賴性也適用于帶電粒子的平均橫動量；此外，在這里，不確定性往往隨著 ? p T ? 值的升高而增加，因此理論不確定性的增加也提高了 ? p T ? ch 預測的中位數值。

為了完成數據比較，我們在圖9中展示了歸一化對稱累積量 N S C ( 4 , 2 ) 的仿真器預測。在10-20% 中心度等級中，我們獲得了對數據的良好描述，但向更周邊碰撞方向上升的趨勢相對于測量值而言過弱。

C. 關聯性

1. 參數與可觀測量之間的關聯性

在研究后驗分布時，參數-參數對以及參數-可觀測量對之間的關聯性可以作為有用的指導。

參數之間的強關聯可能表明參數化存在冗余（多種組合產生相同的效果），或者數據給出了特別強的約束，從而限制了后驗參數空間并“迫使”產生關聯性。參數與可觀測量之間的關聯性則為尋找這些數據約束的來源提供了進一步的指導。

在表V中，我們列出了后驗分布內參數之間顯著的皮爾遜相關系數。

2. 可觀測量與不同溫度下粘滯系數之間的相關性

雖然可觀測量與剪切粘度系數極值相關的一些參數之間存在顯著的關聯性，但我們注意到，許多控制 η / s 和 ζ / s 溫度依賴性的參數與可觀測量沒有系統的相關性。接下來，我們研究可觀測量是否在任何特定溫度區域內與 η / s 和 ζ / s 相關。此外，選定溫度下的表格化關聯數據可在附錄D中找到。

VI. 總結與結論

我們引入了一個新穎的基于神經網絡的增強框架，用于進行貝葉斯全局分析，以從高能重離子碰撞數據中確定QCD物質性質。該框架的主要特點是用神經網絡替代計算量巨大的流體力學模擬，這些神經網絡能夠直接從初始能量密度分布逐事件地預測實驗可觀測量。與我們早期工作[52]相比，這些網絡的新特性在于它們現在也將物質性質作為輸入，因此不再需要為每種粘度參數化和動態凍結條件分別訓練網絡。這使得它們非常適合全局分析。然后，將神經網絡生成的模擬數據用于訓練高斯過程仿真器，后者再用于評估貝葉斯分析中的似然值。即使訓練網絡仍然需要相當數量的完整流體力學模擬，但模擬事件的數量（此處為40個事件 × 4個碰撞系統 × 1050個參數集 = 總共
個事件）比直接為訓練高斯過程仿真器而計算模擬所需的數量1個事件）要少幾個數量級。

在模型和分析方面仍存在一些改進空間。為了與數據更好地吻合，可能還需要進一步引入核形變效應，并將初態模型更新為包含“熱點”的 MC-EKRT 模型 [14, 15]。為了在未來的分析中獲得更進一步的約束，我們目標是納入更多對統計量要求更高的可觀測量，例如 N S C ( 4 , 3 ) 或混合諧波累積量。因此，我們可能需要進一步改進神經網絡的架構和訓練數據的質量，例如利用主動學習方法 [95]。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2603.26413