Synchronization, Collective Oscillations, and Information Flow in Duplex Networks

雙層網絡中的同步、集體振蕩與信息流

https://arxiv.org/pdf/2603.00313

摘要

在許多現實世界系統中，部分同步是主導的動力學狀態；而在大腦等系統中，它通常伴隨著集體振蕩，其中多個重疊的模式相互作用，產生復雜的節律活動。在此，我們研究了具有反應性層間連接的雙層網絡，此類網絡中無法實現完全同步。我們表明，當鏡像節點之間的層間頻率差以足夠的寬度均勻分布時，網絡會自組織成由多個相互作用模式組成的集體宏觀振蕩。通過將宏觀相變與節點間的微觀定向信息傳遞相聯系，我們揭示了這些多模態動力學涌現的潛在機制。

關鍵詞： 多層網絡，爆炸同步，層間挫敗，層間頻率失配，集體振蕩，傳遞熵

1 引言

同步是許多自然和工程系統中的基本現象，其范圍涵蓋大腦中的神經元群體、電網以及社交網絡等。1–3 從非相干狀態到集體同步的轉變已被廣泛研究，結果表明：隨著耦合強度的增加，相干行為可以逐漸（連續轉變）或突然（不連續轉變）地涌現。4–6 重要的是，同步不僅僅是一個宏觀結果，而是源于振蕩器之間持續的動力學相互作用。這些相互作用產生了定向的影響交換，從而塑造了系統的集體狀態。通過傳遞熵量化這種定向信息流，7,8,10 使我們能夠將節點對之間的微觀相互作用與全局同步模式聯系起來。從這個意義上說，集體秩序的涌現及其性質與網絡內信息的組織結構和重新分配方式密切相關。

先前的研究進一步表明，在完全非相干和完全同步狀態下，總信息傳遞通常較低，并在同步轉變附近達到最大值。8 這凸顯了復雜系統中動力學臨界性與增強信息交換之間的緊密聯系。此外，信息流的方向并非隨機：它通常起源于具有較大絕對自然頻率的節點或高度連接的樞紐節點，并向更外圍的節點傳播。11–13 然而，這種層級結構并非普遍存在。系統參數的變化可以重組信息流的方向；例如，時間延遲已被證明能夠逆轉或重新分配節點間的因果影響。14 因此，時間延遲、挫敗以及層間相互作用等機制可以顯著重塑信息流模式，進而影響宏觀動力學和同步相變的性質。

先前的研究揭示，在雙層網絡中引入反應性層間相互作用——通過將層間挫敗設置為 π/2（注：原文“π2”疑為排版漏斜杠）——可以從根本上改變每一層內同步的性質。15–17 特別是，當跨層的鏡像節點之間存在非零的平均頻率差時，層內同步轉變可以從連續變為不連續（爆炸性）。16 這表明，反應性耦合與層間頻率失配的組合在重塑集體動力學和確定每層內同步轉變的性質方面起著關鍵作用。

在我們之前的工作中，我們證明了在具有反應性層間連接的雙層網絡中，集體動力學不僅由平均層間頻率失配決定，還由鏡像節點間的頻率排列方式決定。15 具體而言，我們表明具有相同平均層間頻率差的兩種配置會導致定性上不同的行為。在一種情況下，系統經歷單次爆炸同步轉變，并伴有清晰的遲滯回線。在另一種情況下，系統表現出雙次爆炸轉變，并伴隨序參量的振蕩，其中不同的動力學模式共存并重疊。這些結果強調，層間頻率失配的詳細分布和排列在塑造涌現的集體行為方面起著關鍵作用。

集體振蕩通常由多個疊加的頻率模式組成，是許多系統的核心，從神經網絡和生化電路到電網、氣候系統以及社會或生態網絡。18–23 振蕩狀態之間的轉變——或節律性的喪失——通常標志著關鍵變化，如功能崩潰或相變。例如，在大腦中，神經群體在頻段（alpha、beta、gamma）上表現出多樣的節律，這些節律協調著信息交換和認知過程。24–28 多個振蕩模式可以共存并相互作用，產生復雜的宏觀時間模式。因此，理解理論模型如何產生此類集體振蕩，對于揭示涌現動力學的機制以及跨學科預測、控制和優化復雜系統至關重要。

盡管集體振蕩普遍存在，但其背后的機制仍然是一個活躍的研究領域。倉本模型（Kuramoto model）為研究周期性同步提供了一個強大的框架。29–31 在部分同步狀態下，網絡可以表現出持續的振蕩行為；例如，具有雙峰頻率分布的全連接網絡可以支持極限環解。32 此外，耦合的二階倉本振蕩器可能根據慣性和時間延遲等參數表現出周期性動力學。33

另一方面，許多現實世界系統天然是多層網絡（multiplex networks），其中節點同時通過多種類型的連接進行交互。34–36 每一層可以代表一種不同類型的相互作用，具有其自身的拓撲結構和動力學特征。例如包括通過電突觸和化學突觸連接的神經元，或跨越職業與在線平臺的社交關系。這些多層結構無法被單層網絡完全刻畫，因為層間相互作用強烈地塑造了集體行為和同步過程。37,38

2 方法

本節描述了本研究采用的方法論框架。

2.1 網絡模型與動力學性質

該系統由耦合振蕩器組成，其行為受網絡結構、動力學規則以及自然頻率的分配共同塑造。這些要素共同定義了網絡的結構與動力學圖景，為分析相變與信息傳遞提供了框架。

2.1.1 網絡結構

此處考慮的網絡是一個雙層多層結構，其中每一層均構成一個全連接圖。層內的節點代表單個振蕩器，而層間耦合則將每個節點與其在另一層中的鏡像對應節點相連接。這種構型使得層內與層間相互作用得以同時存在，為研究網絡結構與多層性如何影響動力學行為提供了一個可控的框架。該雙層網絡的示意圖如圖1所示。

2.1.2 網絡動力學

在定義了雙層網絡結構之后，我們現在探討控制振子時間演化的動力學機制。每個節點被建模為一個相位振子，其動力學行為由擴展的倉本方程描述。這一框架使我們能夠系統地研究層內耦合與層間耦合如何共同影響整個網絡中全局同步與相位相干性的涌現。

經典的倉本模型最初是為了解釋全局耦合的相位振子系綜中的自發同步現象而提出的。[29, 31] 隨著時間的推移，該框架已被擴展以納入復雜且真實的網絡特征，從而能夠研究諸如網絡拓撲[5]、多層相互作用[39]、時間延遲[40, 41]、相位受挫[42]以及自然頻率分布[15, 29]等因素如何影響集體動力學行為的涌現。

如上所述，我們考慮一個雙層倉本模型，該模型由兩個全連接層組成，每層包含 N 個振子。同一層內的振子通過強度為 σ 的全對全耦合進行相互作用，而不同層中對應的鏡像節點之間則通過強度為 λ 的層間耦合相連。為了體現多層結構在塑造系統動力學中的作用，我們在層間耦合中引入了一個恒定的相位滯后參數 α，該參數能夠捕捉可能顯著影響同步和動力學穩定性的受挫效應。

因此，第I層中的振蕩器i及其在第II層中對應的鏡像節點的相位動力學由以下一組耦合微分方程描述：[4]

2.1.3 雙層網絡中的固有頻率配置

固有頻率的分布在塑造耦合振蕩器網絡的同步動力學方面起著核心作用。在雙層網絡中，先前的研究表明，同步不僅取決于層間的平均頻率失配，還取決于固有頻率如何分布并分配給節點及其鏡像對應節點。因此，即使是固有頻率組織方式上的細微差異，也會導致定性上截然不同的集體行為。

在此，我們研究鏡像節點間頻率差的分布如何影響網絡動力學。為了在不同分布之間進行有意義的比較，我們保持層間的平均頻率差恒定，這就要求定義一個層間頻率失配的度量。

為了量化鏡像節點之間的失配，我們將每個節點 i 的鏡像節點頻率差（mirror-node frequency difference）定義為：

2.2 信息論框架與估計方法

在確立了支配多層 Kuramoto 系統的結構和動力學規則后，我們要尋求一種原則性的方法來量化振蕩器如何通過它們交換的信息相互影響，特別是當網絡趨向或遠離同步時。信息論為此提供了一個自然的框架。 與關注相位相干性或頻率鎖定的傳統動力學度量不同，信息論量揭示了某個振蕩器的狀態如何減少關于另一個振蕩器的不確定性，從而捕捉到僅憑序參量可能無法察覺的細微定向相互作用。

2.2.1 傳遞熵作為定向信息流的度量

香農熵位于該框架的核心，為隨機變量固有的不確定性提供了定量度量。對于具有概率分布 p ( x ) 的隨機變量 X ，其熵定義為

2.2.2 使用 JIDT 估計傳遞熵

所有的傳遞熵分析均使用 Java 信息動力學工具包（Java Information Dynamics Toolkit, JIDT） 10
進行，這是一個專為在復雜動力學系統中估計信息論度量而設計的開源軟件包。傳遞熵的準確計算需要對聯合概率分布和條件概率分布 p ( x t + 1 , x t , y t ) 進行可靠估計，由于采樣有限和維數災難，這對于有限數據集，特別是高維或連續值系統來說，可能具有挑戰性。為了解決這個問題，JIDT 實現了 Kraskov–St?gbauer–Grassberger (KSG) 估計量的多變量擴展 ,，這是一種用于估計互信息及相關量（包括傳遞熵）的非參數且數據高效方法。

在我們的研究中，時間序列對應于耦合振蕩器的相位，這些相位本質上是周期性的
，因此需要一個能夠處理圓分布（circular distributions）和非線性依賴關系的估計量。多變量 KSG 估計量非常適合此目的，因為它以非參數方式捕捉聯合概率空間的局部結構，使其能有效分析如 Kuramoto 模型等非線性動力學系統。

其中 1 ( ? ) 表示示性函數。由此產生的 p 值量化了在無定向相互作用的零假設下，觀測到的傳遞熵出現的可能性。我們采用了 p < 0.05 的顯著性閾值，這使得我們能夠在減輕有限樣本偏差的同時，嚴格識別振蕩器之間具有統計意義的信息傳遞。

3 結果

本研究的主要目的是研究雙層網絡中鏡像節點之間的頻率失配如何影響相變、群體層面振蕩行為的涌現，以及支配層內和層間信息傳遞的機制。

為了系統地探索這些效應，結果被組織成兩個主要部分。首先，我們研究雙層網絡的同步轉變及其受頻率失配的調節。隨后，我們專注于信息論分析，考察定向信息流如何隨層內耦合強度在層內和層間變化，特別是在相變區域。

3.1 層間頻率失配與振蕩同步

圖3比較了前圖中介紹的兩種配置在遲滯環內的耦合強度（ σ = 2.34 ）下的詳細動力學行為。特別是，對于層間頻率失配的均勻分布——即在后向轉變過程中觀察到波動的情況——序參量在兩層同步中均表現出具有顯著振幅的持續時間振蕩。相比之下，對于具有高斯分布層間頻率失配的配置，這種振蕩行為是不存在的。此外，振蕩動力學由多個共存的頻率組成，這表明不同的振蕩模式相互疊加，而非源于單一主導頻率。而且，在最慢頻率下，兩層中的振蕩是同相的，而在次慢頻率下，兩層之間的振蕩變為反相（參見圖3(a)）。

為了進一步研究節點的局部協調行為，我們繪制了每種配置在穩態下兩層的平均相似性矩陣。相似性矩陣中的節點索引已按頻率失配的大小從低到高進行排序。在這兩種配置中，與絕對頻率失配較小的鏡像節點相連的節點，在其自身層內表現出更強的同步性，這在相似性矩陣中心的紅色方塊區域中清晰可見。然而，在均勻失配配置中，當從矩陣中心向外圍區域移動時，會呈現出從同步態到非相干態的清晰梯度——這一特征在高斯失配配置中并不存在。該模式在兩層中均一致出現，表明外圍節點——即與鏡像配對節點具有較大絕對頻率失配的節點——是導致觀測到振蕩現象的主要原因。

這些振蕩的產生是因為在每一層內部，節點群根據其與另一層鏡像節點的頻率失配，在同步態與非同步態之間以“閃爍”模式交替切換。具體而言，當具有較大（正）頻率失配的節點進入同步態時，具有較小（負）失配的節點傾向于失同步，并且這種行為隨時間周期性地反轉，從而催生了觀測到的振蕩動力學。此外，“閃爍”集群的規模隨時間變化，從慢模振蕩的波峰到波谷，失同步程度逐漸加劇，這解釋了相似性矩陣中從中心節點到外圍節點所呈現的同步梯度。值得注意的是，當層間頻率失配呈高斯分布時，這種動力學模式并不存在。有關這些動力學過程的更直觀展示，請參閱補充視頻 S1。

圖 4 突出了層間頻率失配寬度對同步轉變的影響。在圖 4(c) 中，前向路徑顯示出突兀的、爆炸性的同步，而圖 4(d) 顯示后向轉變也是爆炸性的，但伴隨沿路徑的明顯波動。重要的是，發生這些波動的耦合強度范圍隨著層間頻率失配寬度的增加而擴大。

隨著失配寬度的增加，沿前向和后向路徑的臨界耦合強度均向更高值移動，反映了實現同步需要更強的層內耦合，沿前向路徑的情況，并表明沿后向路徑，去同步化發生在更高的耦合強度下（見圖 4(e)）。這種行為源于更寬的層間頻率失配分布所導致的固有頻率異質性增加，這使得同步更加困難。 31 31 盡管有這些變化，遲滯回線的面積基本保持不變，表明同步態與去同步態之間雙穩態持續存在的耦合強度范圍是穩健的（見圖 4(f)）。

我們觀察到，增加層間頻率失配寬度擴大了沿后向轉變路徑序參量發生波動的耦合強度范圍，表明對于較大的失配寬度，振蕩在更寬的耦合區間內出現。我們現在詳細檢查對于固定的層間頻率失配寬度，這些振蕩的幅度和頻率如何隨層內耦合強度變化。

圖 5(a) 展示了兩層的相變和遲滯回線，分別用紅線和藍線表示。數據對應于圖 5(b) 中的頻率配置，其中 。前向轉變路徑用淺色線表示。后向路徑（發生振蕩且特別受關注的部分）用深色粗線高亮顯示。陰影區域代表序參量的時間標準差，在遲滯回線內隨層內耦合強度的增加而增加。

圖 5(c, e, 和 g) 展示了兩層序參量的時間演化，紅線和藍線分別表示，對應于圖 5(a) 中垂直虛線標記的三個層內耦合值。在長時標（慢模式）下，兩層的動力學是同相的，而在短時標下它們表現出反相行為。此外，跨這些面板的比較顯示，減小層內耦合強度會導致每層內慢頻振蕩的幅度逐漸減小，并伴隨波長的增加。在遲滯回線內較小的層內耦合值處，慢模式消失。

層 II 的時間平均相位相似性矩陣顯示在與對應時間演化相同的行中，針對相似的層內耦合強度。由于兩層的結果相似，僅展示層 II 的矩陣。如同在圖 3(a) 中，與具有相似頻率的鏡像節點耦合的節點傾向于在層內同步。在較高的層內耦合處，觀察到明顯的振蕩，相似性矩陣揭示了從同步組到去同步組的清晰梯度，從中心節點向外圍節點推進——即從與鏡像節點具有較小絕對頻率失配的節點到具有較大失配的節點。這進一步證實了觀察到的梯度源于振蕩。與補充視頻 S1 中展示的動力學一致，具有較大絕對頻率失配的節點——通常是相似性矩陣中的外圍節點——在振蕩的峰值開始去同步化。隨著振蕩接近其最小值，去同步化區域擴大，產生重復的“閃爍”模式，在相似性矩陣的左右兩側交替出現同步和去同步狀態。

這些結果揭示了層間頻率失配配置、振蕩動力學的涌現以及每層內局部同步模式之間的直接聯系。這些振蕩的幅度及其跨節點和層的相位關系表明，層內和層間的信息傳播受到潛在頻率異質性的強烈影響。為了量化這種效應，我們現在采用一種信息論方法，檢查個體層內和跨層的定向信息傳遞。該分析提供了頻率失配如何塑造整個雙層網絡中的協調和信息流的詳細表征。

3.2 傳遞熵分析

為了更深入地理解支配同步的動力學相互作用，我們利用傳遞熵（TE）框架對網絡進行分析，這是一種無模型的定向信息傳遞度量。 7
TE 量化了源振蕩器的過去狀態在超出目標振蕩器自身歷史所包含信息的基礎上，能在多大程度上減少目標振蕩器未來狀態的不確定性，從而捕捉因果相互作用的強度和方向性。

在 Kuramoto 振蕩器網絡中，節點間的信息傳遞通常在相變點附近最高，此時系統處于部分同步狀態且相互作用攜帶的信息量最大，而在非相干和完全同步狀態下則會降低。在這些臨界點，固有頻率的異質性和網絡拓撲結構（例如節點度、樞紐節點）會產生不對稱的影響，從而增強定向信息流：高頻節點傾向于主導動力學，樞紐節點通常充當集體起搏器向邊緣節點發送信息，而低度節點主要影響其局部鄰域。因此，高頻或高度節點通常充當主要的信息源，而其他節點則充當信息匯。時間延遲、挫敗或層間相互作用等外部因素可以改變這種層級結構，使得原本占主導地位的節點預測性降低，并在網絡中重新分配 TE。在下文中，我們將考察這些原則如何在具有不同類型層間耦合的雙層網絡中體現。

面板 (a) 和 (b) 顯示同步轉變是連續的，沒有遲滯：前向和后向分支在兩層中重疊，證實了當移除挫敗時不存在爆炸同步。面板 (b) 高亮顯示了轉變區域，并指出了用于層 II 傳遞熵分析的耦合強度。面板 (c–d) 展示了節點對之間相互傳遞熵的熱圖，這些熱圖是在層 II 后向分支上沿層內耦合強度 σ = 0.78 , 0.80和 0.82 計算的。這些數值接近系統在同步態與去同步態之間轉變的臨界耦合。矩陣旁的邊緣曲線顯示了行和與列和，分別代表每個節點發送和接收的總傳遞熵。所有報告的傳遞熵值均具有統計顯著性，通過了 p < 0.05 的時移代理檢驗。

正如預期的那樣，在轉變點之前的相干狀態中，節點對之間的信息傳遞幾乎為零。隨著耦合在轉變區域內增加，矩陣中出現了獨特的信息流模式。傳遞熵在轉變點達到最大值，而整體流動模式在整個區域內保持基本一致。與先前的研究一致，信息主要是根據節點絕對頻率的排名進行傳遞的，即從高頻節點流向低頻節點。此外，具有較高絕對固有頻率的節點充當更強的信息發送者（源），而最有效的信息接收者（目標）則是具有中等絕對固有頻率的節點，既非極高也非極低。

此外，傳遞熵矩陣（面板 (d) 和 (e)）顯示，沿后向路徑，隨著耦合減小，有影響力的節點數量減少，最終只剩下那些具有最小頻率失配的節點。這一觀察結果與面板 (b) 中的結果一致，即沿后向路徑減小層內耦合會導致平均總傳遞熵的減少。這種減少的發生是因為同步集群的中心區域——即主要驅動動力學的部分——隨著層內耦合的減小而收縮（參見圖 5 中的熱圖）。

圖 7 展示了層 II 內的信息流，而補充圖 SF1 展示了層 I 中相應的流動，這與圖 8 中的情況相似，表明跨層行為的一致性。補充圖 SF2 提供了詳細的視圖，展示了傳遞熵矩陣是如何從代理檢驗中推導出來的。

盡管每層中固有頻率的分布不同——一層設為零，另一層取自均勻分布——但層 I 和層 II 之間的傳遞熵沒有優先方向。這一觀察結果表明，跨層相互作用主要由鏡像節點的絕對固有頻率失配支配，該失配充當層間影響的主要驅動源。

最后，對比圖 6、7 和 8 顯示，層間傳遞熵值高于層內傳遞熵值。此外，當存在層間挫敗且相互作用為反應性時，層內傳遞熵值也會增加。

4 討論

在這項研究中，我們通過將 Kuramoto 模型擴展到多層系統，研究了雙層網絡的動力學。我們重點關注層間相互作用——從耗散性到反應性（挫敗）連接——以及層間頻率失配的分布如何影響集體行為。特別是，我們考察了它們對同步轉變、振蕩動力學的涌現以及層內和跨層信息傳遞模式的影響。

對于連續轉變，具有最大絕對固有頻率的節點充當主要驅動者，向其他節點傳遞信息，而具有中等頻率的節點是最有效的接收者。接近網絡平均頻率的節點對信息流的貢獻最小。這種層級模式構成了同步逐漸且有序涌現的基礎。

引入反應性層間連接顯著重塑了層內動力學和信息傳遞模式，改變了哪些節點充當驅動者或接收者。每個節點同時受到層內和層間耦合的影響。在遲滯區域內，具有較小層間頻率失配的節點首先同步，并充當主導信息源，驅動具有較大失配的節點的動力學。隨著層內耦合 σ 的增加，具有較大失配的節點逐漸加入同步群體，參與層內和層間信息流。這一過程創造了有利于集體振蕩涌現的條件。

因此，爆炸同步作為層間頻率排列與反應性連接相互作用的宏觀后果而涌現，這種相互作用重組了層內信息流。沿序參量后向路徑涌現的集體振蕩對層間頻率失配的分布高度敏感。通過系統地改變鏡像節點頻率差的分布形態和寬度，我們表明這些因素關鍵地決定了振蕩行為的范圍、幅度和模態。

當兩層中的固有頻率取自不同的高斯分布時，我們可以構建具有相同平均失配但分布不同的層間排列——高斯分布與均勻分布。兩種排列均產生爆炸同步，但多模態集體振蕩僅出現在均勻層間失配的情況下。雖然在這兩種情況下層內信息的一般流動是相似的——從同步核心流向更非相干的外圍節點——但動力學存在差異：高斯排列產生較大的核心，外圍節點平滑加入；而均勻排列涉及大量節點難以同步，從而引發明顯的振蕩。

通過控制均勻層間失配的寬度，我們進一步表明，更寬的分布擴大了序參量發生振蕩的層內耦合 σ 范圍；此外，增加 σ 會增強這些振蕩的幅度。這些振蕩是多模態的：最慢模式涉及跨層序參量的同相振蕩，而次慢模式顯示反相關系。這些模式的疊加——結合中心-外圍同步與外圍節點間的局部擴散——產生了豐富的“閃爍”動力學，這可能為理解大腦網絡中普遍觀察到的多模態振蕩是如何組織的提供啟示。

總之，我們的結果表明，層間連接挫敗和層間頻率失配的分布共同支配相變和振蕩動力學的涌現。通過將宏觀同步和多模態振蕩與微觀定向信息流聯系起來，本工作為理解復雜模式如何從多層系統中的網絡相互作用中涌現提供了見解。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2603.00313