女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

周期性條帶是指具有有限寬度的密鋪條帶，并沿一個方向以飾帶對稱性重復排列。這類結構在藝術與設計領域具有諸多潛在應用，尤其因為可以構建周期性條帶的有限部分，并將其無縫地包裹在圓柱體上。本文證明，在條件不嚴格的條件下，能夠鋪滿平面的形狀也允許產生任意所需寬度的周期性條帶。這一事實甚至對非周期密鋪也成立。本文將解釋周期性條帶存在的原因，給出構造它們的簡單方法，并展示多種著名鋪砌方式的實例。

引言

盡管我們將歐幾里得平面的鋪砌視為形狀向各個方向無限延伸的排列，但鋪砌的繪圖必然局限于一個有限的截取部分。截取部分的選擇自然取決于預期應用，并可能同時受到美學考量與制造工藝實際限制的影響。

在本研究中，筆者考慮瓷磚條帶的構造問題。所謂條帶，是指沿某一方向上的直線無限延伸、但在垂直方向上僅限于有限寬度的瓷磚排列。有限寬度的條帶提供了可用于提取任意長度的裝飾性帶狀圖案的原始材料。為了精確地定義條帶，首先回顧一下：一個“板層”是指由兩條平行直線所圍成的歐幾里得平面區域。一個瓷磚條帶是指瓷磚（拓撲圓盤）的無限集合，滿足以下條件：

1 瓷磚的內部互不相交（即它們不重疊）；

2 瓷磚的并集包含某個板層 Si，并且被包含在另一個板層 So中；

3 瓷磚的并集是單連通的，且其內部是連通的。

第三個條件確保了條帶的邊界恰好由兩條曲線組成。因此，瓷磚不會圍出任何內部孔洞，也不會形成僅通過一個點與條帶其余部分相連的子集。

在典型的設計場景中，我們通常希望構造一個覆蓋某一所需寬度 w 的板層的條帶，并且如果條帶在該板層的兩側略微超出一些，也是可以接受的。因此，與其度量條帶的“精確”寬度，不如這樣定義：一個寬度為 w 的條帶，是指包含一個寬度至少為w 的板層Si的條帶。

如果一條條帶具有平移對稱性，則稱其為周期性條帶。周期性條帶的平移對稱性必然都平行于其板層，這意味著其完整的對稱群將構成七個帶飾群之一 [3, 第 1.4 節]。周期性條帶的周期是指其最短平移對稱向量的長度。

本文將論證并討論一個初看起來可能違反直覺的事實：大多數能夠鋪滿平面的形狀集合，也允許構造出所有寬度的周期性條帶。這里我們非正式地使用“大多數”一詞，來指代那些在數學上被廣泛研究或常用于藝術與設計的鋪砌；稍后我們將討論一組形狀具備這種性質所需的條件。如果一個形狀集合本身就能生成周期性的平面鋪砌，那么這個事實是顯而易見的：一個周期鋪砌中已經包含了所有寬度的周期性條帶。更有趣的是，典型的非周期瓷磚集合同樣表現出這一特性，而且周期性條帶的存在并不與瓷磚的非周期性相矛盾。

周期性條帶具有許多天然的裝飾應用場景。由非周期瓷磚集合構造出的周期性條帶，能夠保留該集合鋪砌圖案的視覺特征，并遵守任何局部匹配規則，同時避免了處理一般條帶時的復雜性。此外，從任何周期性條帶中，我們都可以提取圖案的有限個周期，并將其卷成一個圓柱體。這個圓柱體可作為燈罩或水杯等物品的設計圖案。它也可以用于制造過程中，將任意長度的帶狀裝飾圖案施加到材料上。例如，金佰利公司曾使用彭羅斯菱形作為衛生紙的絎縫圖案 [5]，他們很可能就采用了類似的方法。其他自然應用還包括布料或墻紙的印刷，甚至用于制作帶圖案的餅干 [4]。

風箏與飛鏢

在討論周期性條帶更一般的構造方法之前，我們先基于彭羅斯的“風箏與飛鏢”（最著名的非周期瓷磚集合之一，見文獻[3, 第10.3節]）給出幾個具體例子。在由風箏和飛鏢構成的鋪砌中，通過肉眼特別容易識別出周期性條帶的構成單元，從而讓我們能快速看到這些想法的實際應用。

圖1展示了一個無限風箏-飛鏢鋪砌的局部截取。任何這類鋪砌中都包含一些線段，它們充當“局部反射對稱軸”：忽略任何匹配規則，這些線段要么穿過一個瓷磚自身的反射對稱軸，要么穿過一對瓷磚之間——這兩個瓷磚關于該直線互為反射鏡像。圖1中用藍色顯示了若干條豎直的局部反射軸。每條線盡可能遠地延伸穿過局部反射區域。這些線分為五對帶有標記的線對，每一對由兩條等長、水平偏移的線組成，并且沿其長度方向上遇到的是全等的瓷磚集合。由此可知，每一對線就定義了一個周期性條帶的一個周期。圖2展示了基于這五對標記線構造出的周期性條帶。需要注意的是，盡管圖中繪制的瓷磚并沒有施加用于強制非周期性的匹配規則，但這些周期性條帶中的瓷磚確實遵守了那些規則——在產生如圖所示重復的條帶時，并不需要使用任何取巧的方法。

圖1： 一個由風箏形與飛鏢形瓷磚組成的局部鋪砌。藍色垂直線標示出局部反射對稱區域。這些線成對出現并帶有標記，可用于構造周期性條帶。

圖2：基于圖1中成對標記線條構造的周期性條帶。

任何由風箏與飛鏢構成的鋪砌都必定包含這樣成對的平行線段，且其長度可以無限增長。（這些線對的存在可以由定義該鋪砌的替換規則推導出來，但完整的證明超出了本文的范圍。）因此，對于任意所需的寬度，只要取足夠大的一片風箏-飛鏢鋪砌，就一定會包含適合構造該寬度周期性條帶的一對線。

周期性條帶的存在性與構造方法

就允許構造周期性條帶這一能力而言，風箏與飛鏢在瓷磚集合中并非特例。在本節中，我們將論證（但不提供形式化證明）：如果一個形狀集合至少允許存在某種鋪砌，那么我們通?？梢哉J為該集合也允許構造出所有寬度的周期性條帶。

平面上的鋪砌被稱為是重復性的，如果對于任何有限大小的瓷磚拼塊P，都存在一個數r>0，使得平面上每個半徑為r的圓盤內都包含一個與P全等的副本 [2]。換句話說，無論你在鋪砌中選定一個怎樣的有限拼塊，都能保證在不太遠的地方找到該拼塊的另一個副本。并非所有鋪砌都是重復性的。但值得注意的是，Radin和Wolff證明了一個結論：如果一個形狀集合能夠鋪滿平面，那么它必然至少存在一種重復性鋪砌 [7]。

為了構造周期性條帶，我們需要一個稍強一點的條件。如果一個鋪砌滿足上述重復性的定義，但將其中的“全等”替換為“平移”，那么我們稱其為平移重復性鋪砌。也就是說，對于任意一個拼塊，總能在與其相距某個有界距離的范圍內，找到該拼塊的一個平移副本。

任何平移重復性鋪砌都可以用來構造任意寬度的周期性條帶。對于任意寬度w，在鋪砌中放置一個直徑為w的圓盤。然后構造包含該圓盤的最小瓷磚拼塊P，并找到附近的一個平移副本P′。接著，構造一個新的拼塊 Q，使其包含P、P′以及它們“之間”的所有瓷磚，即那些與連接兩個圓盤的、寬度為w 的有向矩形相交的瓷磚。然后，我們可以通過重復放置 Q 的副本，將每個副本中的P 與相鄰副本中的P′對齊，并消除重疊的瓷磚，從而構建出一個周期性條帶。如果Q 包含了一些嚴重超出P或 P′邊界范圍的瓷磚，這種構造方法可能會失敗。這個問題可以通過基于直徑為w+d的圓盤來構造P 和 P ′來避免，其中d 的選取需保證每個瓷磚形狀都能被包含在一個直徑為d 的圓盤內。

在實際操作中，這種構造方法不必如此通用。更自然、更適合手工操作的方式是：先生成一大片瓷磚鋪砌，然后通過肉眼識別出一個子拼塊P 及其附近的平移副本P′ 。如前所述，我們再根據P、P′以及它們之間的瓷磚，構建出一個可重復的拼塊 Q。這種方法的好處在于，我們可以選擇特定的拼塊來實現某個設計目標，例如最小化條帶的周期。圖1中圍繞局部反射對稱軸的那些窄條瓷磚拼塊，就可以看作是這種方法的一個實例。

當一組形狀配備有替換規則時 [2]，我們通常可以利用這些規則，以“自底向上”的方式更輕松地構造周期性條帶。在這里，我們并不需要事先依賴平移重復性的全部能力——只需足夠多次的替換能夠產生一個包含兩個具有相同朝向的瓷磚的拼塊就足夠了。從任意一個瓷磚形狀作為種子開始，反復應用替換規則，直到出現兩個這樣的瓷磚 T 和 T′。畫一條平行于從T到T′的平移向量的線段，使其端點分別位于這兩個瓷磚的內部。構造一個拼塊Q，包含所有與該線段相交的瓷磚。這個拼塊 Q 的作用類似于前面提到的Q：我們可以重復復制它，將每個副本中的 T 與相鄰副本中的T′重疊，從而形成一條條帶。此外，通常我們可以對Q 再應用任意次數的替換步驟，以得到更大的拼塊，這些拼塊通過重復可以構成更寬的條帶。下一節中的例子就采用了這種方法。

平移重復性鋪砌非常常見，為構造周期性條帶提供了豐富的素材來源。例如，替換規則通常會產生重復性鋪砌，而且據我所知，任何替換鋪砌也同時是平移重復性的。事實上，Radin和Wolff的結論可以限制在平移的情形下，因此如果一個形狀集合允許存在某種鋪砌，那么該集合必然也允許存在平移重復性的鋪砌。

實例

在本節中，我們將展示多種周期性條帶的例子，以說明這種構造方法的普遍性以及它們所能實現的表達范圍。

椅子形自復制瓷磚

我們從圖3所示的椅子形瓷磚開始 [3, 第10.1節]。椅子形是一種“四重復制瓷磚”：四個瓷磚可以排列成一個按比例放大的原始形狀副本（圖3左）。反復迭代這一規則會生成越來越大的拼塊，在極限情況下定義出一種極具吸引力的非周期性平面鋪砌。椅子形的替換規則會產生一個包含兩個朝向相同的椅子形瓷磚的拼塊，如圖中陰影部分所示。因此，我們可以采用上一節中的自底向上構造方法，基于這兩個瓷磚定義出拼塊Q。應用零次、一次或兩次替換，并將這些重疊的拼塊沿一條直線排列，就得到了圖3右側所示的三個帶狀圖案。

鑒于椅子形瓷磚本身也可以進行周期鋪砌，本文中的構造方法對它來說顯得有些大材小用。事實上，這里展示的帶狀圖案已經以相同的形式出現在通過替換規則生成的鋪砌之中。盡管如此，椅子形仍然是一個易于理解的入門例子，并表明真正的非周期性并非這些構造方法的必要條件。

圖 3：椅子形自復制瓷磚。 替換規則（左圖）將放大后的椅子形表示為四個椅子形瓷磚的并集。其中陰影標記的兩個椅子形可作為構造周期性條帶的基礎（右圖）。

風車鋪砌

Conway-Radin 風車鋪砌 [6] 是一種五重復制瓷磚，基于邊長為 1、2 和√5的直角三角形。風車鋪砌中的瓷磚具有無窮多種朝向。然而，其替換規則仍會產生兩個朝向相同的瓷磚，如圖 4 中深灰色所示。連接這兩個瓷磚內部的任意線段都會穿過圖中那兩塊藍色瓷磚。因此，這里的拼塊Q 將包含四個瓷磚。該圖展示了經過零次、一次和兩次替換步驟后，Q的重疊副本。盡管這些條帶是重復的，但它們保留了風車鋪砌那種略顯混亂的外觀，這或許比基于該三角形的周期性鋪砌所構成的更簡單的條帶更有趣。

圖 4：左上角的替換規則定義了風車鋪砌。深灰色和藍色的三角形可作為基礎，用于構造不同寬度的周期性條帶（右圖和下圖）。

Ammann-Beenker 鋪砌

Ammann-Beenker 鋪砌 [3, 第10.4節] 有兩種基本瓷磚：一個正方形和一個 45° 菱形。它是彭羅斯菱形的一種類似物，具有四重局部旋轉對稱性而非五重對稱。該鋪砌可以通過基于一個菱形和一個半個正方形的替換規則來構造（圖 5）。這些替換規則保留了一套復雜的匹配規則（通過瓷磚上的標記來可視化），并且總是將兩個半正方形配對成一個完整的正方形。

圖 5：Ammann-Beenker 鋪砌的替換規則（左圖）。 將這些規則迭代三次后，會生成一個包含兩個朝向相同的正方形的拼塊（以黃色高亮顯示），這兩個正方形可用于定義用于構造周期性條帶的子拼塊（以粗線框出）。

為了構造周期性條帶，我們對一個半正方形應用了三輪替換，生成了一個拼塊，其中首次出現了兩個朝向相同、且帶有各自標記的完整正方形。這些正方形在圖5右圖中以黃色高亮顯示。連接這兩個正方形中心的線段會與粗線框內所有其他菱形和正方形相接觸，從而得到一個可以重復的拼塊Q。圖6展示了基于Q 的副本，在零次、一次和兩次替換后所構成的條帶。需要注意的是，這些條帶都與表達匹配規則的標記完全兼容。

圖 6：基于圖 5 中的拼塊，經過零次、一次或兩次替換步驟后構造出的周期性條帶。

帽子形瓷磚

帽子形瓷磚 [8] 是近期發現的一種非周期單瓷磚：該形狀只允許非周期性的鋪砌，且不需要任何特殊的匹配規則。圖7a所示的“H7/H8”替換規則 [8, 圖2.11] 為構造周期性條帶提供了一個便利的基礎，但需注意一些細節。H8替換規則會產生一個包含兩個相鄰且朝向相同的帽子形瓷磚的拼塊。然而，如果我們對這樣堆疊的一行帽子形瓷磚反復應用替換，得到的條帶會出現很深的凹陷，從而無法變得更寬（圖7b）。一種解決方法是使用一個包含重疊瓷磚的基礎拼塊 Q 作為起始（圖7c）；經過一次替換后，這些重疊就會消失。另一種避免該問題的方法是，從驅動H7規則的雙帽子組合塊開始（圖7d）。Yoshiaki Araki 已經將帽子形瓷磚的周期性條帶用作水杯的裝飾圖案（圖8）。

圖 7：基于“帽子”非周期單瓷磚的周期性條帶。

H7/H8 替換規則（a）可用于構造瓷磚拼塊。從一行“帽子”瓷磚開始進行簡單的重復（b），并對其應用 H8 規則，會產生無法無限增寬的條帶。這個問題可以通過從重疊的“帽子”（c）或一行由兩個“帽子”組成的復合塊（d）開始來避免。

圖 8：一卷印有“帽子”帶狀圖案的透明膠帶（左圖），以及將其應用于水杯的效果（右圖）。設計與攝影：Yoshiaki Araki。

幽靈形瓷磚

幽靈形瓷磚同樣是一種非周期單瓷磚，是帽子形瓷磚研究的衍生成果，它們允許鋪砌中所有瓷磚具有相同的手性 [9]。這種被稱為 Tile(1, 1) 的多邊形，如果我們人為禁止在同一個鋪砌中混合左手性和右手性的瓷磚，則允許存在等價的鋪砌。這些鋪砌可以通過一個基于單塊瓷磚和一個名為“Mystic”的雙瓷磚組合塊的替換系統來定義（圖9上方）。與帽子形瓷磚類似，這些鋪砌中包含相鄰且朝向相同的 Tile(1, 1) 副本，可用于構造周期性條帶（圖9）。

圖 9：基于 Spectres 和 Mystics 替換規則構造的周期性條帶（上方），以及使用 Tile(1, 1) 的副本繪制而成的條帶。

對于非周期瓷磚集合，任意寬度的周期性條帶的存在性在數學上引人入勝。Grünbaum 與 Shephard 證明了，在相對溫和的條件下，如果一個瓷磚集合允許存在具有某種平移對稱性的鋪砌，那么它必然也允許存在周期性鋪砌 [3, 定理 3.7.1]。乍一看，如果我們能構造任意有限寬度的周期性條帶，那么當寬度趨于無窮大時，我們似乎就能得到一個具有全局帶飾對稱性的平面鋪砌，從而甚至可以推導出非周期瓷磚集合也允許存在周期性鋪砌！為了避免這一明顯的矛盾，我們只能得出結論：隨著我們構造的條帶寬度不斷增加，它們的周期也必然無界地增長。這樣一來，在極限情況下，周期會與寬度一起趨于無窮，此時具有帶飾對稱性的鋪砌的假象也就消失了。

從非周期瓷磚集合構造周期性條帶的可能性并非全新發現。金佰利公司那次失敗的衛生紙實驗為這一事實提供了現實世界的證據。此外，Dworkin 與 Shieh 在證明其“欺騙性”鋪砌存在性的構造中，也隱含了所有寬度周期性條帶的存在性 [1]。本文通過將周期性條帶單獨提煉出來加以強調，給出了幾種簡單的構造方法，并用大量實例展示了這一過程，從而為現有文獻提供了有益的補充。

參考文獻

[1] S. Dworkin and J.-I. Shieh. “Deceptions in quasicrystal growth.” Communications in mathematical physics, vol. 168, 1995, pp. 337–352.

[2] N. P. Frank. “A primer of substitution tilings of the Euclidean plane.” Expositiones Mathematicae, vol. 26, no. 4, 2008, pp. 295–326.

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0723086908000042.

[3] B. Grünbaum and G. Shephard. Tilings and Patterns, 2nd ed. Dover, 2016.

[4] R. Hanson and G. Hart. “Custom 3D-Printed Rollers for Frieze Pattern Cookies.” Proceedings of Bridges 2013: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. G. W. Hart and R. Sarhangi, Eds. Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, 2013. pp. 311–316.

http://archive.bridgesmathart.org/2013/bridges2013-311.html.

[5] Independent Digital News & Media Ltd. “Kleenex art that ended in tears.” The Independent, 1997.

https://www.independent.co.uk/news/kleenex-art-that-ended-in-tears-1266536.html.

[6] C. Radin. “The Pinwheel Tilings of the Plane.” Annals of Mathematics, vol. 139, no. 3, 1994, pp. 661–702. http://www.jstor.org/stable/2118575.

[7] C. Radin and M. R. Wolff. “Space tilings and local isomorphism.” Geometriae Dedicata, vol. 42, 1992, pp. 355–360. https://api.semanticscholar.org/CorpusID:16334831.

[8] D. Smith, J. S. Myers, C. S. Kaplan, and C. Goodman-Strauss. “An aperiodic monotile.” 2023. https://arxiv.org/abs/2303.10798.

[9] D. Smith, J. S. Myers, C. S. Kaplan, and C. Goodman-Strauss. “A chiral aperiodic monotile.” 2023. https://arxiv.org/abs/2305.17743.

[10] Craig S. Kaplan, Periodic Strips from Aperiodic Tiles

最后照例放些跟張大少有關的圖書鏈接。

青山 不改，綠水長流，在下告退。

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