數形結合解分段

2024年荊州四月調考第24題

近期各地的四月調考卷紛紛出爐，命題質量都比較高，都在各自教學導向上對2024年省考進行了模擬，從壓軸題命題角度，可以看出已經超越了元調框架，并結合往年自身的特點進行了“預測”。

2024年荊州四月調考，整卷命題質量高，尤其是在壓軸題中堅持考察分段函數，值得學習。

題目

如圖，已知經過點A(-2,0)和B(x,0)(x>-2)的拋物線y=-1/4x2+1/2mx+n(m>0)與y軸交于點C，過點C作CD∥x軸交拋物線于點D.

(1)請用含m的代數式表示n和點D的坐標；

(2)設直線EF垂直平分OC，垂足為E，交該拋物線的對稱軸于點F，連接CF，DF，∠CFD=90°，求m的值；

(3)若在(2)的條件下，若點Q是拋物線上在y軸右側的一個動點，其橫坐標為t，點Q到拋物線對稱軸和直線CD的距離分別是d1，d2，且d=d1-d2，①求d關于t的函數解析式；②當0

解析：

01

(1)將點A坐標代入拋物線解析式中，得0=-1-m+n，所以n=m+1；

由CD∥x軸，可知點D與點C關于拋物線對稱軸對稱，不妨將拋物線解析式化為頂點式，y=-1/4(x-m)2+1/4m2+m+1，可知對稱軸為x=m，因此點D橫坐標為2m，縱坐標與點C相同，為m+1，所以D(2m,m+1)；

02

(2)仍然由拋物線的軸對稱性，CF=DF，且∠CFD=90°，所以得到等腰Rt△CDF，其中對稱軸與斜邊CD交點為G，如下圖：

FG是直角三角形斜邊上的中線，由此可得FG=1/2CD=m，而CE=1/2OC=(m+1)/2，由CE=FG可列方程m=(m+1)/2，解得m=1；

03

(3)①在m=1的條件下，拋物線解析式為y=-1/4x2+1/2x+2，化為頂點式為y=-1/4(x-1)2+9/4，對于點Q，不妨設它坐標為(t,-1/4t2+1/2t+2)，題目描述中，它在y軸右側，涉及到兩個距離，其一是點Q到拋物線對稱軸的距離d1，其二是點Q到直線CD的距離d2，因此需要考慮點Q在不同位置下，距離的表示不同，所以需要分類討論：

Q在對稱軸左側
Q在對稱軸右側
CD上方
CD下方
CD上方
CD下方

由于點C在y軸上，因此只剩下三類需要討論，分別對應的t范圍是0 2，下面我們分別來寫d關于t的函數解析式：

②對于分段函數的圖象，學生作圖要求比較高，由于是草圖，首先要能分別繪制每一段函數圖象，并確定各自的自變量范圍，其次要明確分界點(線)，最后是求出各函數分支與x軸、直線y=1的交點；

在0

在1

在t>2范圍內，d=-1/4t2+3/2t-1與x軸的交點是(3+√5,0)，與y=1交點為(2,0)，(4,0)；

依據上述信息作草圖如下：

請注意，d≠0，但d可以是1，因此，滿足0

解題反思

對于二次函數的教學要求，我們先來讀新課標，如下圖：

作為二次函數壓軸題，無論難度如何，都是按課標要求命題，本題也不例外。其中針對畫函數圖象，很多老師也在平時教學中注重課堂上學生的動手操作，但依然存在面對本題第3問，作圖出現困難，這個教學上的問題如何解決？

在張欽博士工作室系列研題視頻中，至少有10位以上的老師在反思中提到了學生作圖，也不止一次提到了平時教學中要多讓學生作圖，只是個人認為，似乎還缺少了一點什么。這道題我給自已班學生也做過，并且站在部分學生旁邊看著他們作圖，經過觀察之后，才發現作圖能力的培養，并不是簡單的“多畫”就能解決，單純的時間累加，并不能促進學生作圖能力的成長，關鍵在于對函數概念和圖象的深刻理解。

作圖之前必先算，這是原則，這個所謂算，包括特殊點坐標、特殊線段長、特殊解析式等，而是否“特殊”則依賴于對函數概念的理解，例如頂點、坐標軸上的交點等。

我想起曾經課堂上的某個片段，關于函數概念：

函數是研究兩個變量間的關系，那什么是變量間的關系？我們列舉一個最容易理解的例子，你手里有一個糖盒，我手里也有一個，并且我的糖果數量始終是你的2倍，這就建立了一種關系，將你我手中的糖果分別作為兩個變量x、y，則y=2x則是它們之間的關系，這就是一種函數關系；

生活中的實例可以有很多，關鍵是用函數去理解它們，你得想到用它，這和我們多次研題時，總是在探討學生如何想到如出一轍，所以我們才不斷研究課堂、研究教材、研究學生等。

因此，在畫函數圖象之前，不妨先讓學生想一下，估一下，你的圖可能畫成什么樣？打個樣在旁邊，再正式開始畫，當你按列表、描點、連線的規范步驟完成之后，再和旁邊打的樣對比，這個過程就是培養作圖思維的過程。其實作為老師用幾何畫板用圖，本質是一樣的，我自已解題，也是徒手作圖，然后才到電腦上去作圖，去驗證一些徒手完成不了的步驟。

關于分段函數，新課標中也有它的例題，如下圖：

對于每個界點，我們需要明確它的實際意義，而在本題中，也是同樣的要求，分段函數的分支中是一次函數、二次函數或反比例函數，都可以用于命題。

上圖中有一句話頗有深意，“在許多情況下，有效的教學不僅能從條件推演結果，也可從結果想象條件。”達到這個層次，我覺得函數就學得不錯了。