新定義“α可及點”

2024年北京中考數學第28題

每次解新定義壓軸題，都會完整經歷一次數學概念的生成到應用全過程，這通常也是數學學習的常態。整個數學學習就是由無數個這樣的過程構成，初中階段，學生通過學習初中數學知識，從而學會學習數學，這也是對能力上的要求，用現在最時新的話，叫核心素養。

2024年的“α可及點”，與2023年的“關聯點”相比，還是有較大不同，理解過程中需要構造的圓比較多，因此我們有必要對圓的概念進行加強。在解這道題的過程中，尤其是最后一問，直接寫出答案，對于學霸而言，憑數感和直觀可以秒出結論，但作為老師講給普通學生，則需要剖析每一步的依據，引導學生去理解學霸們的思維，乃至成為學霸。

對于圓的定義，不再重復，我們需要理解的是圓的各向同性，即在各個方向上性質是相同的，初中階段也稱旋轉對稱性，這種旋轉不變性來源于定義， 即“一中同長”，當我們用圓規或其它工具畫一個圓的時候，實質上也是在體驗它的旋轉對稱性。

題目

解析：

01

(1)我們依然首先來理解題目中描述的這段定義，圓O的弦AB，點C關于直線AB的對稱點C'，∠ACB=α；

對于圓內的一條弦，我們重點關注它的長度，因為在圓中，最長的弦是直徑，即它的數量存在一個上限；

點C與點C'，按定義中的描述，我們關注的是點C'的位置，它必須在圓O上或在圓O內部，這也是我們判斷是否“α可及點”的依據；

∠ACB=α，這個角的頂點在C點，兩邊經過弦AB的兩端點，這很重要！

為方便理解，題目給出了特殊條件下的“α可及點”；

①按定義作圖如下：

顯然只有C2是“α可及點”；

然后我們連接AC2和BC2，根據這三個點的坐標可判斷△ABC2是一個等腰直角三角形，如下圖：

于是α=45°；

②對于弦AB的“90°可及點”，點D位置非常重要，它需滿足兩個條件，一是它的對稱點D'在圓O上或圓O內，二是∠ADB=90°；

對于第一個條件，我們用逆向思維，若要使點D關于直線AB的對稱點在圓O上或圓O內，則可將圓O關于直線AB對稱，得到圓P，它在圓O外的部分即點D可能存在的位置，如下圖：

對于第二個條件，∠ACB=90°，我們可聯想在某個圓中，直徑所對的圓周角是直角，于是想到構造出這個以AB為直徑的圓，如下圖：

這個圓在綠色區域內的部分，即為點D可能存在的位置，圖中的半圓AB；

接下來我們需要在半圓AB上尋找一個橫坐標最大的點D，不妨找到AB中點F，它是半圓AB的圓心，此時OA是圓F的一條弦，半圓上距離弦OA最遠的點，一定在垂直于弦OA的直徑上，我們作出這條直徑，如下圖：

很顯然△AOB是等腰直角三角形，于是△AFH也是等腰直角三角形，由于F是AB中點，于是FH是△AOB中位線，求得FH=1/2，而FG=FB=√2/2，故GH=1/2+√2/2，即點D的橫坐標最大值是1/2+√2/2;

02

(2)作圖之前，先明確弦MN的位置，它是圓O內任意一條弦，由旋轉對稱性，圓心距為某個值的弦MN性質完全一樣，因此MN的多樣性取決于圓心距，所以對于MN長度，我們目前知道最大值是2即可；

第一步：以MN為對稱軸，作圓O的對稱圓O'，如下圖：

圖中藍色部分關于直線MN的對稱點一定在圓O上或圓O內部；

第二步，確定α角，繼續按定義尋找點P，由于它是“60°可及點”，即要求∠MPN=60°，結合上一問的結果，我們可作MN的垂直平分線，并在這條線上取點E，使∠MEN=120°，再以E為圓心，ME為半徑作圓E，此時圓E在藍色區域內的部分上，任意一點為頂點，兩邊經過M、N的圓周角，都等于60°，如下圖：

我們只保留圓E在藍色區域內的部分，隱藏其余線條以方便分析，特別強調一點，若E與O'重合，是臨界點，當點O'在線段OE上，則找不到相應的點P，即OE≤OO'，這是尋找點P過程中的一個非常重要的條件，如下圖：

基于以上條件，我們重點觀察藍色的優弧MN，如下圖：

第三步，探究點P到原點的距離，當弦MN繞圓心O旋轉時，優弧MN掃過的區域是一個圓環，如下圖：

上圖圓環中所有的點都有可能是點P，接下來我們要考慮的問題是，這個圓環內徑為1，外徑可能是多少呢？

不妨將M、N中的某個點放在特殊位置，例如點N放在(1,0)處，再連接FM、FN，可得等邊△FMN，為方便理解點F的最值，我們在x軸下方再構造以ON為邊的等邊三角形，如下圖：

顯然點C在圓O上，我們很容易找到其中的△ONF≌△CNM，則OF=CM，而CM作為圓O中的一條弦，最長為2；

此時OF最大值為2，點E與點O'也重合，至此我們確定了圓環的外徑最大為2；

第四步，尋找臨界P點，我們現在可以作出點P所在的圓環，以及直線y=√3x-√3，如下圖：

總共四個臨界點，P1,P2,P3,P4，注意由于M、N不能重合，于是點P不在內圓O上，要寫范圍的時候要細心，然后我們來分別求這四個點的橫坐標；

點P橫坐標為t，縱坐標為√3t-√3，P1、P4在半徑為2的圓O上，則它到原點的距離為2，即t2+(√3t-√3)2=4，解得t=(3±√13)/4；P2、P3在半徑為1的圓O上，則它的原點的距離為1，即t2+(√3t-√3)2=1，解得t=1或1/2，現在我們可以寫出P的橫坐標t的取值范圍了，(3-√13)/4≤t<1/2，1

解題思考

從解題角度來看，本題難點在第2問，即MN為圓O內任意弦的時候，無法確定它的位置，但考慮到圓的旋轉對稱性，使我們可以讓MN先位于某個特殊位置，求解后推廣到一般的情況，這也給學有余力的學生“秒殺”的可能，但對于多數學生來講，理解學霸們的解法還是有一定困難的，在網上找到了很多關于本題第2問的解法，都沒有說清楚為什么點P離原點最遠距離是2，因此在本題解析中，用了較多篇幅來詳細說明這一問題。

本題中涉及到的圓比較多，尤其是確定α的時候，對定弦定角要非常熟悉，新定義“α可及點”中的對稱，實質上是限制點P可能的位置，要與取值范圍聯系起來，將這些因素綜合起來，如下圖：

理解這道題的過程中，關鍵在于突破定義中對點P的各種限制，第1問中的特殊位置的弦AB，實際上也可以在第2問中使用，并不影響結果，理由就是圓的旋轉對稱性，一旦理解上突破了，本題就顯得很簡單了。

以學生的理解能力作為本題區分度，這道題十分優秀，通常情況下，多數中等生的思維遇到障礙，就是限制條件較多，且環環相扣，腦中的思緒稍一混亂，整個邏輯就錯了。這也要求我們在平時的概念教學中，注重概念的生成以及發散，不拘泥于教材上有限的例題和習題，2024年人教版新教材，其實給了一線教師足夠的拓展空間，只要認真研讀新課標和新教材，在課堂上讓學生充分發展，這一類綜合題解決起來才會容易。