現代數學到底在研究什么？學習方法是怎樣的？（純干貨）

日本當代著名數學教育家遠山啟的著作《數學與生活5：數學的歷史、現代與方法》一本雖是數學史的寫作，但卻區別于一般的數學史，作者獨創性的將數學劃分為古代數學、中世紀數學、近代數學、現代數學，以生動的講述方法清晰呈現了數學的發展脈絡，并結合日常經驗講述了諸多數學概念與思想的來源與發展。

書中對現代數學部分有通俗易懂的展現，可以幫助我們更好的了解現代的數學家門都在研究哪些方向。

來源 | 《數學與生活5：數學的歷史、現代與方法》

作者 | [日]遠山啟

譯者 | 武曉宇

01

現代數學的特征

下面再看一下現代數學有什么樣的特征。

我們的主題是“數學容貌的改變”，“容貌改變”的意思是面容發生變化。在人的一生中，人本身不會發生變化，但面容可以千變萬化。這種情況下，本質不一定發生了變化，但可見的面容確實在改變。現代數學正是這種情況，或者說是這種情況的典型代表。

大家可能不太了解現代數學。近代數學的核心部分是微積分，以此來思考，我們可以大致把握數學的“性格”。但是，在現在的數學教育中，除了大學的數學專業之外，大家接觸到的數學都是到近代數學為止。

從這層意義上來說，現代數學對于大家而言，可能是一種全新的思考方法，或者是非常令人意外的思考方法。甚至可以說，如果把之前學過的數學概念都忘掉，可能更利于我們理解現代數學。

理解現代數學時，需要把數學中那些既有的概念暫且擱置，以一種了解全新事物的心態來學習，這樣反而會更加容易理解。大家可能沒想到數學還能這樣學，對此感到非常吃驚，對吧？

現代數學誕生于 20 世紀，是數學史中最前沿的部分。外行人可能認為，現代數學是最難的部分，不懂數學的人肯定無法理解現代數學。但這種觀點是錯誤的，對于不懂數學的外行人來說，現代數學反而有很多地方更易于理解。

近代數學的核心部分是微積分，其思考方法很簡單，只不過計算起來有些復雜。現代數學也一樣，雖然有計算復雜的地方，但整體的思考方法可以說都是非常簡單的。

02

幾何學成為數學發展的分界線

從數學的歷史來看，現代數學與之前的數學相比，其思考方法截然不同。明確提出現代數學的思考方法的，是數學家 D. 希爾伯特（1862 —1943）。他于 1899 年出版了著作《幾何基礎》，其中清晰地提出了現代數學的獨特思考方法。

回顧之前的數學歷史可以發現，古代數學發展到中世紀數學的契機是歐幾里得的《幾何原本》，這也是一本與幾何學相關的書。中世紀數學發展到近代數學的契機，是笛卡兒的《幾何學》。

推動近代數學向現代數學發展的，則是希爾伯特的《幾何基礎》。數學的歷史階段的分界線都是幾何學，這真是一件非常有趣的事。

為什么幾何學會成為數學發展的分界線呢？幾何學可以說是以“數學世界與我們所生活的現實世界之間的聯系”為研究對象的學問。幾何學中必須確定點、直線究竟是什么，如果不確定看待這些東西的方法，那么幾何學就無法展開。

雖然其他學問中也有這種問題，但不會像幾何學這樣清晰地來面對這類問題。我們該如何看待我們居住的世界，或者說如何看待所有客觀存在的事物，在這類問題上有著多種多樣的思考，而幾何學所直接面對的，就是我們在這類問題上的態度與思考。我認為這是幾何學能夠成為數學發展分界線的重要原因。

在之前的歐幾里得幾何中，歐幾里得設定了幾條任何人都不會對其有疑問的自明之事作為公理，然后通過對公理的組合推導出復雜的事實。

希爾伯特的《幾何基礎》的最初目標，就是給歐幾里得幾何構建正確的基礎。歐幾里得幾何中雖然有幾條公理，但這些公理非常不完備。這些公理不僅不完備，而且有一些是多余的東西，有一些則缺少內容。

所以希爾伯特的出發點便是，將這些公理中多余的東西刪掉，再將必要的部分全都補充進去，即打造一個能讓歐幾里得幾何成立的必要且充分的公理體系。歐幾里得的公理并不是邏輯性的，而且摻雜了很多奇怪的內容。

另外，歐幾里得幾何還經常在證明中悄悄地將不是公理的東西作為公理來使用。這些內容都是需要刪除的。這便是希爾伯特想要做的事，但如果僅僅以此為目標，看上去好像也沒有什么了不起。

因此，任何人都沒想到，希爾伯特做的這件事給數學整體帶來了巨大的影響。

03

未定義概念

歐幾里得幾何首先定義了作為幾何學出發點的點、直線、平面究竟是什么。歐幾里得幾何認為“點是沒有部分的東西”，也就是說點自身不具有部分。“不具有部分”的意思是，點不可再繼續分割，即認為點是沒有大小的東西。直線的定義則是“直線是筆直的東西”。這些定義實際上說明了幾何學中使用的點、直線、平面等概念與現實之間的關聯。

不過，希爾伯特沒有做類似的事，他沒有為點、直線、平面等概念確定一般意義上的定義，而是將它們統稱為“未定義概念”。

在閱讀《幾何基礎》時要格外注意，雖然希爾伯特將點、直線、平面作為日常用語來使用，但他的頭腦中所描繪的這些東西，與日常用語中的完全不同。這一點普通人可能覺得非常難理解，但如果能理解這件事，差不多就可以理解現代數學一半以上的內容了。這可以說是一個難點。

為什么希爾伯特會從“未定義概念”出發呢？后文中我會詳細解釋。不過，可以先說一點，從“未定義概念”出發，可以說是希爾伯特幾何與歐幾里得幾何的根本性區別。當然，希爾伯特的這種構想也并不是突然出現的，其中包含了數學歷史的許多積淀與發展成果。

例如，早在希爾伯特之前近百年的時間里，幾何學中已經出現了“對偶原理”的相關內容。“對偶原理”出現在“射影幾何學”中，這種幾何學只研究點與直線，暫且不將曲線考慮在內。

也就是說，光照射直線時會映射出直線，照射點時會映射出點，暫不考慮曲線。在射影幾何學中，假設有一條關于點與直線的定理是成立的，那么在這條定理中，可以將“點”替換為“直線”，將“直線”替換為“點”。

相應地，“相交”可以替換為“相連”，“相連”也可以替換為“相交”。這樣一來，該定理同樣成立。這就是有名的對偶原理。

在我們之前的印象中，“點”是用筆尖在紙上點出的記號之類的東西，“直線”則是用尺子畫出的線。但是在“對偶原理”中，“點”和“直線”是可以互相替換的。

此時的“點”，在某些情況下，可以看作普通意義上的“點”，但將其看作“直線”也沒問題。同樣，“直線”既可以看作普通意義上的“直線”，也可以替換為普通意義上的“點”，這都沒問題。這就是希爾伯特構想“未定義概念”的契機之一。

也就是說，與其說沒有給“點”確定定義，不如說是根據實際的關聯來確定“點”是什么。這實際上是一種靈活變通的方法，沒錯，“未定義概念”就是為了這種便利性。

希爾伯特恐怕是近百年來最偉大的數學家之一，他非常喜歡顛覆性的反論。在出版《幾何基礎》時，他對其中的“未定義概念”這樣描述：“我在此所說的點、直線、平面，將其替換為桌子、椅子、啤酒杯也完全沒問題。”這讓世人非常震驚。這就是“未定義概念”。

雖然希爾伯特的書里并沒有真的說桌子、椅子、啤酒杯，但他就是這種喜歡用這類刺激性表述的人。不去定義東西具體是什么，這樣會比較方便。至于如何確定某種東西當下是什么，這由被稱為“點”的東西與被稱為“直線”的東西之間的關系來決定。這就是公理，也是《幾何基礎》的基本思考方法。

由于這種思考方法的出現，20 世紀的數學也誕生了新的思路。大家可能覺得這是一種很奇怪的方法，但是仔細想一想的話，會發現這種方法在以前的數學中也存在。

代數中的與 ，在某種意義上可以是任何東西，也就相當于“未定義概念”。 的取值，最開始可以是整數、有理數、實數等，但不少情況下，其取值并不會一開始就確定下來。比如在解二次方程時， 最初被認為是實數，但現在也可以是虛數了。

這就是最初未考慮其究竟是什么的方法，該方法非常靈活，可以直接去描述未經定義的 與 之間的關系。

這種構想雖然之前也有雛形，但是希爾伯特將其徹底發展為系統的方法。之前我們說過數學的容貌發生了改變，出現了新的思考方法，現在想來，數學中的新方法其實大多在以往就已經存在了。那種徹頭徹尾的嶄新構想是非常稀少的，大多數情況是研究者調整以往構想的形式，然后將其整理、表達出來。

像這樣，希爾伯特在《幾何基礎》中，將確定“未定義概念”之間關系的東西作為公理，并以此展開研究。像這樣徹底的思考方法，在希爾伯特之前是不存在的。

希爾伯特的這種思考方法，用現代的方式來說，就是“結構”的方法。結構的英語單詞是 structure。

04

數學學習法

至此，我已經講述了現代數學的特征，不知各位讀者是否已經理解了現代數學的基本情況。最開始時我已經說過，與近代數學相比，現代數學更加容易理解，就算是沒有多少數學背景知識的人也能理解現代數學。

甚至可以說，這些門外漢可能更容易理解。也就是說，數學到了現代階段，已經更加接近常識。即便是那些覺得自己上學時連 sin、cos 都記不住，認定自己數學完全不行的人，也能理解現代數學，因為現代數學中并不使用 sin、cos那些知識，即使忘記了也沒關系。

有的人覺得自己數學不行，其實并非如此，因為學校里所教的數學只到近代數學，所以并不能以此為依據來下結論。即便是將在學校學過的數學知識都忘記，從零開始學習現代數學也是沒有問題的。學不好近代數學，并不代表無法理解現代數學。

有人認為學習現代數學之前必須掌握sin、cos 以及二次方程等知識，其實這種觀點是錯誤的，這些知識完全可以放到后面去學。如果真的想學習現代數學，完全可以把這些知識暫時擱置，直接去學習現代數學，也有很多可以直接理解的部分，而且這部分在數學之外的許多領域會非常有用。

前文曾提過，結構這種思考方法在心理學、語言學、文化人類學等領域均有廣泛的應用。這些領域的人也許并沒有學習數學，是從自己研究的領域中思考出這種方法的，但從數學這邊來看，會發現那些領域中關于結構的思考，與數學中的結構是相同的。

所以說，結構的思考方法的應用范圍是非常廣的。

數學發展到近代時，還可以說是關于數的學問，“數學”這一稱呼也名副其實。但是，到了現代階段，“數學”這一稱呼就未必那么貼切了。雖然現代數學也研究數，但它研究的是更加具有廣泛性的東西，那就是結構。所以，從某種意義上來說，數學到了現代階段已經可以被稱為“結構的科學”了，這其實更能體現出現代數學的特征。“數學”這個稱呼在現代數學階段會顯得有那么一點點不貼切。有觀點認為，數學中必須出現“數”，這到近代數學階段是沒問題的。但是到了現代數學階段，情況就不一定是這樣了。在現代數學階段，只要出現“結構”，數學就已經登場了。也正因為如此，我才說到了現代階段，數學的“容貌”已經發生了大幅改變。

結構這一思考方法，并非在以前的階段完全不存在。如果我們改變視角，會發現結構的身影早已出現在古代數學中。

比如，可以是 2 個橘子加 3 個橘子等于 5 個橘子，也可以是 2 個蘋果加 3 個蘋果等于 5 個蘋果，還可以是 2 支鉛筆加 3 支鉛筆等于5支鉛筆，它可以表示的現實情況可謂無窮無盡。實際上，就是不同物體在計算上的同構。

如果將 看作這個同構的代表，那么結構這個概念就已經出現了，同構這個概念也已經誕生。所以可以說，從很早之前開始，數學就是關于結構的學問了。但是，在那些歷史階段里，關于結構的這一面并不顯著。

“改變容貌”的意思是，面容發生了改變，但內在其實或許沒有發生改變。所以，我在講述數學史的時候借用了這個說法。

未來，數學的容貌或許還將繼續發生改變。當前階段那些不顯著的概念，會在未來的研究中顯現出來。我們說數學發生改變，并不意味著 2 加 3 不再等于 5 而變成等于 6，而是指思考角度上發生的改變。

我們在較短的時間內回顧了數學從古代到現代的變化，相信各位讀者現在都已理解，那種認為自己不擅長數學、完全學不會數學的想法是錯誤的。數學其實是一門非常簡單的學問，只要掌握了數學中的要點，它就會變得非常簡單。

我希望各位讀者能明白這一點，再嘗試重新學習數學。學習現代數學時，可以把古代到近代的數學知識先置于一旁，直接去學習現代數學的知識。如果我的講解能讓大家鼓起勇氣去了解現代數學，哪怕只有一個人，那么這些講解就是有價值的。

《數學與生活5：數學的歷史、現代與方法》

作者：[日]遠山啟

譯者：武曉宇

一部數學史，講明現代數學的本質和意義，讀懂百年數學。

數學教育巨匠遠山啟的數學科普力作，回答“數學是什么”的疑問；

講清數學的發展脈絡，解讀數學思想的來源與發展，還原數學多變“容貌”的本質。

《數學與生活》系列

作者：[日]遠山啟

譯者：武曉宇等

《數學與生活》系列為日本數學教育改革之作，旨在還原被考試扭曲的數學，為讀者呈現數學的真正容顏，消除應試教學模式帶來的數學恐懼感。

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