【毅言堂】

從覃慧玲老師的《找質數》，理解教材設計的苦心

北師大版小學數學五年級上冊《找質數》一課，位于第三單元《倍數與因數》的第5課時，在前4個課時中，分別學習倍數與因數概念，探索2，3，5的倍數特征活動，找因數，在此基礎上學習質數的概念，幫助學生認識質數與合數。2022版新課標中對于第三學段（5-6年級）內容要求中，數與運算部分，要求知道2，3，5的倍數的特征，了解公倍數和最小公倍數，了解公因數和最大公因數，了解奇數、偶數、質量（或素數）和合數；對這部分內容的學業要求是，能找出2，3，5的倍數，在1~100的自然數中：能找出10以內自然數的所有倍數，10以內兩個自然數的公倍數和最小公倍數；能找出一個自然數的所有因數，兩個自然數的公因數和最大公因數；能判斷一個自然數是否是質數或合數。

教材內容

解決第一個問題：什么是質數？

原教材設計思路：

拼長方形活動

準備若干個小方塊，請同學們用它們拼出一個長方形，分別使用2、3、4、5、6個小方塊能拼出多少種長方形？你拼出的長方形的兩條鄰邊上各有幾個小方塊？

下圖是用2個、3個、4個、5個、6個小方塊拼出的長方形

活動解讀

當學生用小方塊拼長方形之后，發現面積為2、3、5的長方形，形狀是相同的，區別只是“橫放”或“豎放”，這些長方形的一條邊上只有1個小方塊，而面積為4、6的長方形，則出現了多種形狀，它們的一條邊上可能不止一個小方塊，還包括特殊的長方形——正方形；

每個長方形各邊上的小方塊數量，與所需小方塊總數之間，存在如下關系：長×寬=總數(面積)，所以拼長方形活動的實質，是找因數；找因數的目的是為了分類，我們可按所拼成長方形的特征來分類：

只有一種形狀的——>只有兩個因數；

不止一種形狀的——>有兩個以上因數；

這樣就把除1外的非零自然數不重復、不遺漏地完成了分類.

接下來就順理成章地對每個分類進行命名，便得到了質數與合數的概念.

解決第二個問題：怎樣找質數？

在課堂上我們可以根據質數的定義找到2，3，5，7，11，13等質數，在全班學號范圍內，這些不難辦到，同時學生自然會產生新問題：只有這些質數嗎？更多質數是多少？有限個還是無限個？質數分布有規律嗎？

當然，一開始，都是猜想，正如數學史上著名的猜想一樣，論證數學問題的一般經歷是猜想、驗證、拓展，這條路，在小學階段，需要讓學生體驗。

限于小學五年級學生的認知，我們不妨在百數表中尋找質數，怎么找？根據概念，除1和自身之外，若還有別的因數，則一定是合數，而在百數表中找2，3，5的倍數，前面已經學習過，不妨借用，這就是方法的遷移；

百數表本身的分布是有規律的，第一行是1-10，第二行是11-20，每列相鄰兩個數相差10，每行相鄰兩個數相差1；

去掉數字1后，先劃掉2的倍數，如下圖：

可以發現，除2外所有偶數消失了；接下來我勻繼續劃掉3的倍數，如下圖：

其實3的倍數分布是有規律的，接下來我們劃掉5的倍數，如下圖：

最后劃掉7的倍數，如下圖：

此處可繼續追問一下：是否還需要再劃掉11的倍數？13的倍數？

這是個很有意思的追問，部分學有余力的孩子會很有興趣知道為什么不再繼續劃下去，多數孩子會嘗試一下，發現已經都被劃掉了，就不再深究了，然而培養孩子的創新能力，有必要多問一句；

一位數乘兩位數，最多三位數，而兩位數乘兩位數，至少三位數；我們已經找出的質數中，個位數只有4個，它們的倍數已經覆蓋百數表中全部合數；而兩位數的質數，如果另一個因數是個位數，那必然在已劃掉的合數中，若另一個因數也是兩位質數，則結果會超出100；

所以沒必要繼續劃掉11、13等兩位數的質數的倍數了.

解決第三個問題：為何找質數？

其實這個問題最淺顯的答案，在最開始的拼長方形中，只能拼出一種形狀的長方形，是拼出結果中比較特殊的形狀，橫放或豎放都是一樣的，這種特殊性容易被五年級孩子接受；

接下來要說的是學生比較難理解，但更接近真實必要性的原因：

數學史話——質數

1963年，數學家烏拉姆在參加大學教學會議時感到無聊，便在紙上將已知的質數排成下圖樣式：

他隨即用方塊代表這些質數，繪制到一定規模之后，發現呈現出一組組的直線，于是他發現了一個令人難以置信的結果——質數的排列隱約呈現一定的規律！這些規律至今仍困擾著世界上最頂尖的數學天才們。這種質數方形螺旋因此被稱為烏拉姆螺旋。

利用烏拉姆螺旋，我們可以很好地解釋費馬和歐拉發現的質數生成器。這類生成器實際上是方形螺旋圖上的一條直線。雖然這條直線不能確保生成的全部都是質數，但相對于其他方向，它能生成更多的質數。例如，按照這一方法，我們可以簡潔明了地構造一個質數生成器，如 。事實證明，這是一個高質量的質數生成器，其效果甚至優于歐拉的生成器。目前，在這張圖上發現的最高效的質數生成器是下圖這個樣子：

這條線被稱為質數黃金線，是目前發現的能生成最多質數的生成器。但它是否最高效？這仍是一個數學猜想，期待有人能證明。

當烏拉姆方形螺旋的研究成果傳到德國后，德國數學家們露出了意味深長的笑容。他們問道：“兄弟，你是否聽說過高斯？這個方法高斯在一百年前就已提出，而且他的方法更為高級。”

高斯的思路十分巧妙。最初，他試圖在復平面上找到一個類似于整數的概念——負整數？

他提出了另一種定義：若負整數的模與輻角均為整數，則該數稱為磨藏整數。

例如，數字1的表示形式如此，數字2的表示形式如此，依此類推。在此基礎上，我們進一步定義負質數，例如3的表示形式如此，5的表示形式如此，等等。現在，我們將這些負質數逐一繪制出來。觀察這些圖形，它們呈現出螺旋線的形態。通過這種方式，我們可以研究質數在不同螺旋線上的分布規律。

高斯似乎打算沿著這一方向深入研究質數的分布。他是否會比黎曼早一步得出zeta函數？然而，我們低估了高斯在數學思維上的靈活性，這令人嘆為觀止。他并未繼續深入質數分布的研究，而是思考：既然已經找到了負數的整數表達形式，那么如果研究的整數不是十進制，而是二進制、四進制、八進制或十二進制呢？

高斯直接采用了分圓法，因為表示一個單位圓。若要研究12進制，可將圓分成12份，類似于鐘面。鐘面上的每個刻度對應數字除以12的余數。因此，進制即同余，同余即進制。高斯瞬間將復平面分析與同余分析聯系起來，使得我們可以用復分析研究同余問題，反之亦然。這一數學發現令人驚嘆。

高斯將同一進制下不同余數的復數值相加，創造出了數論中極其重要的算法，后人稱之為高斯和。高斯利用這一方法證明了數論中第一個奠基性定理——二次互反律。該方法后來被拉馬努金的導師哈代握，并由此開創了數論的劍橋學派。哈代后來收了一位來自中國的學生，名為華羅庚。

華羅庚從哈代那里繼承了高斯和這一工具，并且他運用高斯和的方法證明了完整三角和定理，該定理后來被稱為華氏定理。

借此機會，再次強調，切勿低估華羅庚先生的成就。由于戰爭原因，他的成果當時僅限于國內傳播。數論領域即便對頂級數學家而言也頗具挑戰性。

當華羅庚的成果最終傳入歐美后，立即引起轟動。他的證明被譽為臻于至善的證明。

中國還有一位天才數學家陳景潤先生，在數論研究領域中同樣取得了令世人矚目的成就，在驗證哥德巴赫猜想過程中取得了突破性進展。

正因為質數的規律發現如此困難，所以需要極強保密性的密碼學，便有了足夠堅實的根基。

質數很有必要研究下去，通過對它的研究，誕生了無數數學猜想、定理、推論，為我們今天的科技發展提供了足夠的理論依據。

覃慧玲老師的這節課，并沒有按照教材上的編排去設計，而是借鑒了深圳市數學特級教師、正高級教師，黃愛華老師的改編，從更抽象的數的角度去探索質數的奧秘，因為在前面幾節課的教學中，我們大量采用了拼圖方式，學生對圖示已經有了初步的理解，可以在思維上更深入一些，以“數”研質數。

事實上北師大版教材，給使用老師們留下了足夠寬闊的空間，在深入理解教材的基礎上，允許進行大膽改編重組，作為一線教師，學習并模仿專家步伐，理解教學設計意圖之后，也可以進行嘗試這種改編與重組，這對個人教學水平的提升有極大促進作用。