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數千年來,科學家們一直在試圖測量宇宙的大小。
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作者:Peter Lynch(都柏林大學數學與統計學院名譽教授)2026-1-15
譯者:zzllrr小樂(數學科普公眾號)2026-1-23
宇宙的范圍是有限還是無限?這個問題數千年來一直是哲學界的關注焦點,科學家們至今仍在為之不懈探索。無論 “無限” 出現在何處,悖論總會隨之浮現:鑒于光速是有限的,一個無限的宇宙中必然存在人類永遠無法觸及的區域。但即便是有限的宇宙,也同樣令人困惑:如果宇宙是有邊界的,那么邊界之外又是什么?
空間形狀問題的核心,在于 “曲率”(curvature)這一數學概念。我們都熟悉平面上的曲線,比如道路上平緩或陡峭的彎道。通過讓一個圓與曲線相切,我們可以用該圓半徑的倒數來描述曲率:半徑越大,曲率越小;半徑越小,曲率越大。一級方程式(F1)賽車手對此深有體會。
曲率的概念同樣適用于曲面。在平坦的平面上,歐幾里得幾何(Euclidean geometry)占據主導:任意三角形的內角和為兩個直角(180°),勾股定理(Pythagoras' theorem)完全成立。但在球形的地球表面,情況則截然不同 —— 這里遵循的是非歐幾何(non-Euclidean geometry):一個以北極點為一個頂點、另外兩個頂點在赤道上的三角形,可能包含兩個甚至三個直角,勾股定理也不再適用。
正曲率曲面(上)、負曲率曲面(中)、零曲率曲面(下)
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圖源:維基共享資源(Wikimedia Commons)
在曲面上的某個固定點,不同方向的曲率可能存在差異:不妨想象山路埡口的頂端 —— 左右兩側地勢隆起,而前后方向則向下傾斜。
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大數學家卡爾?弗里德里希?高斯(Carl Friedrich Gauss)提出,可通過三維空間中貼合曲面的 “最大圓” 與 “最小圓” 來描述曲面的總曲率。對于球面而言,這些 “相切圓”(kissing circles)的半徑完全相同,其曲率為半徑的平方的倒數,且球面各處的曲率均為正值。而在山路埡口處,前后方向與左右方向的曲率符號相反,它們的乘積即為高斯曲率(Gaussian curvature),其值為負。
高斯證明了一個他稱之為 “絕妙定理”(Remarkable Theorem)的重要成果。該定理指出,三維空間中曲面的曲率,完全可以通過曲面內部的測量來確定。高斯曲率具有 “內在不變性”(內稟性)—— 即便曲面被彎曲(而非拉伸),其曲率也不會改變。例如,圓柱面的曲率為零,因為它可以被無損展平為平面;與之相反,球形地球的表面永遠無法在不產生畸變的情況下映射到平面上,這也是為何不存在完美的世界地圖。
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伯恩哈德?黎曼(Bernhard Riemann)極大地拓展了高斯的研究,將曲率的定義延伸至多維空間。黎曼曲率張量(Riemann curvature tensor)成為了愛因斯坦廣義相對論的核心數學工具。在這一理論中,宇宙的曲率與其總質量 - 能量密度(mass-energy density,質能密度)緊密相關:正曲率(類似球面)意味著宇宙是有限的;而零曲率(類似平面)或負曲率(類似馬鞍面或油炸薯片形狀),則預示著宇宙是無限的。
可觀測宇宙(observable universe)是一個直徑約 500 億光年的近似球形區域,但我們目前的認知是,空間的延伸范圍遠不止于此。最新的天文學觀測表明,宇宙的曲率極其微小—— 這意味著宇宙要么是無限的,要么是 “難以言喻的龐大”:其尺度如此廣袤,絕大多數區域將永遠超出人類的探索范圍。
參考資料
https://thatsmaths.com/2026/01/15/the-shape-and-size-of-the-universe-curvature-is-key/
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