宇宙的形狀與大小：曲率是關鍵——ThatsMaths數學博客

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數千年來，科學家們一直在試圖測量宇宙的大小。

作者：Peter Lynch（都柏林大學數學與統計學院名譽教授）2026-1-15

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-1-23

宇宙的范圍是有限還是無限？這個問題數千年來一直是哲學界的關注焦點，科學家們至今仍在為之不懈探索。無論 “無限” 出現在何處，悖論總會隨之浮現：鑒于光速是有限的，一個無限的宇宙中必然存在人類永遠無法觸及的區域。但即便是有限的宇宙，也同樣令人困惑：如果宇宙是有邊界的，那么邊界之外又是什么？

空間形狀問題的核心，在于 “曲率”（curvature）這一數學概念。我們都熟悉平面上的曲線，比如道路上平緩或陡峭的彎道。通過讓一個圓與曲線相切，我們可以用該圓半徑的倒數來描述曲率：半徑越大，曲率越小；半徑越小，曲率越大。一級方程式（F1）賽車手對此深有體會。

曲率的概念同樣適用于曲面。在平坦的平面上，歐幾里得幾何（Euclidean geometry）占據主導：任意三角形的內角和為兩個直角（180°），勾股定理（Pythagoras' theorem）完全成立。但在球形的地球表面，情況則截然不同 —— 這里遵循的是非歐幾何（non-Euclidean geometry）：一個以北極點為一個頂點、另外兩個頂點在赤道上的三角形，可能包含兩個甚至三個直角，勾股定理也不再適用。

正曲率曲面（上）、負曲率曲面（中）、零曲率曲面（下）

圖源：維基共享資源（Wikimedia Commons）

在曲面上的某個固定點，不同方向的曲率可能存在差異：不妨想象山路埡口的頂端 —— 左右兩側地勢隆起，而前后方向則向下傾斜。

大數學家卡爾?弗里德里希?高斯（Carl Friedrich Gauss）提出，可通過三維空間中貼合曲面的 “最大圓” 與 “最小圓” 來描述曲面的總曲率。對于球面而言，這些 “相切圓”（kissing circles）的半徑完全相同，其曲率為半徑的平方的倒數，且球面各處的曲率均為正值。而在山路埡口處，前后方向與左右方向的曲率符號相反，它們的乘積即為高斯曲率（Gaussian curvature），其值為負。

高斯證明了一個他稱之為 “絕妙定理”（Remarkable Theorem）的重要成果。該定理指出，三維空間中曲面的曲率，完全可以通過曲面內部的測量來確定。高斯曲率具有 “內在不變性”（內稟性）—— 即便曲面被彎曲（而非拉伸），其曲率也不會改變。例如，圓柱面的曲率為零，因為它可以被無損展平為平面；與之相反，球形地球的表面永遠無法在不產生畸變的情況下映射到平面上，這也是為何不存在完美的世界地圖。

伯恩哈德?黎曼（Bernhard Riemann）極大地拓展了高斯的研究，將曲率的定義延伸至多維空間。黎曼曲率張量（Riemann curvature tensor）成為了愛因斯坦廣義相對論的核心數學工具。在這一理論中，宇宙的曲率與其總質量 - 能量密度（mass-energy density，質能密度）緊密相關：正曲率（類似球面）意味著宇宙是有限的；而零曲率（類似平面）或負曲率（類似馬鞍面或油炸薯片形狀），則預示著宇宙是無限的。

可觀測宇宙（observable universe）是一個直徑約 500 億光年的近似球形區域，但我們目前的認知是，空間的延伸范圍遠不止于此。最新的天文學觀測表明，宇宙的曲率極其微小—— 這意味著宇宙要么是無限的，要么是 “難以言喻的龐大”：其尺度如此廣袤，絕大多數區域將永遠超出人類的探索范圍。

參考資料

https://thatsmaths.com/2026/01/15/the-shape-and-size-of-the-universe-curvature-is-key/

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