半導體中的量子：以霍爾效應為例

姬揚

浙江大學物理學院

為了促進全球合作并應對科學與技術領域的重大挑戰，2024 年6 月7 日，聯合國大會宣布，將2025 年定為“國際量子科學技術年”(IYQ)，由聯合國教科文組織領導的這項全球性倡議將“通過各級活動來實施，旨在提高公眾對量子科學及其應用重要性的認識”。

圖1 2025年是“國際量子科學技術年”，聯合國教科文組織推動全世界“提高公眾對量子科學及其應用重要性的認識”

20 世紀是物理學革命的時代，量子力學和相對論是物理學革命的兩大成果或者說支柱，與此相關的紀念活動也是持續不斷。2000 年是紀念普朗克提出量子概念100 周年，2005 年“國際物理年”紀念愛因斯坦“奇跡年”100 周年(他的5 篇研究論文徹底改變了傳統的物理學)，今年則是紀念海森伯發表論文《關于運動學和力學關系的量子理論重新詮釋》，并以此為契機提高公眾對量子科學及其應用重要性的認識。

圖2 1925年，海森伯在《物理學雜志》(Zeitschrift für Physik)上發表了《關于運動學和力學關系的量子理論重新詮釋》(über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischerBeziehungen)，奠定了矩陣力學的基礎，標志著新量子力學理論的誕生

有些讀者可能覺得量子科學挺玄乎的，離我們的生活太遠了。其實并非如此，量子科學出現在方方面面，因為現在是半導體的世界，我們的生活離不開各種各樣的半導體器件，手機和計算機是最明顯的代表，而我們接觸(或者看不見)的電器里充滿了半導體芯片，它們都離不開量子科學。半導體科技有三個相輔相成的要素，材料、器件和物理，而物理通常就是量子科學。在過去的200 多年里，半導體科技的發展越來越快，半導體器件在生活中的應用越來越多，對經濟的影響也越來越大，而這一切跟物理學密切相關，特別是100 多年前開始的量子力學。

半導體科學開始于人類對自然界中材料的興趣。早在1782 年，伏特就造了詞“semicoibente”(半絕緣的)，隨后翻譯為英語“semiconducting”(半導電的)。在接下來的一百年里，人們通過實驗觀測陸續發現了半導體的一些特性，但是都沒有合理的理論解釋：1821 年，塞貝克在PbS等材料里，發現了溫度差導致的電學現象(熱電勢)；1833 年，法拉第發現了硫化銀電導率的負溫度依賴特性；1834 年，佩爾捷發現了電流導致了冷卻(佩爾捷效應)；1873 年，史密斯在體材料硒中發現光電導效應；1874 年，布勞恩在一些硫化物表面發現了整流效應；1876 年，亞當斯和戴伊發現了硒(Se)的光伏效應。

1879 年，二年級的研究生霍爾測量了玻璃上的金薄膜的橫向電勢差，首次發現了我們現在所謂的霍爾效應。霍爾的發現并不是憑空出現的，而是他深入思考的結果，通過巧妙細致的實驗否定了麥克斯韋在《電磁通論》中的論斷：“必須認真記住，促使一個載流導體掃過磁力線而運動的機械力，不是作用在電流上而是作用在電流所通過的導體上的。”

圖3霍爾(a)和他繪制的霍爾效應測量示意圖(b)；現在，在GaAs/AlGaAs材料制作的二維電子氣樣品中(c)，不僅可以觀察到霍爾效應，還可以觀察到整數和分數量子霍爾效應

現在我們知道，固體材料中的載流子在外加的垂直磁場中運動時，因為受到洛侖茲力的作用而使軌跡發生偏移，就會在材料兩側產生電荷積累，形成垂直于電流方向的電場，最終使載流子受到的洛侖茲力與電場力平衡，從而在兩側建立起一個穩定的電勢差，即霍爾電壓。

霍爾最初用的是延展性好的金(這樣可以做出非常薄的薄片)，后來又研究了銀、鐵、錫、鎳、鉑、銅、鈷、鎳等金屬，并在1881 年發現，鐵磁性材料表現出所謂的反常霍爾效應(不需要施加垂直磁場就可以表現出霍爾電壓)。

需要注意的是，在霍爾做出他的發現時，還沒有量子理論。甚至連原子存不存在，都是當時物理學界爭論的問題，距離洛倫茲在建立經典電子論時提出洛倫茲力假設(運動電荷在磁場中受到作用力)還有16 年，而湯姆遜發現電子則是1897 年。

后來人們發現，半導體材料往往具有更大的霍爾系數(標志霍爾效應大小的參數)，但有時候會表現出相反的符號。現在我們知道，這是因為半導體材料的載流子濃度低，而且載流子可能有兩種不同的類型(電子和空穴)。但是這一切都要等到量子理論建立并應用到固體材料以后才知道。盡管如此，人們已經利用霍爾效應來表征不同材料的性質了。

1925 年，以海森伯發表論文《關于運動學和力學關系的量子理論重新詮釋》為標志，新量子力學(矩陣力學和波動力學)很快就取得了巨大的成功，徹底改變了人們對原子世界的理解，而且這種成功很快就擴散到物理學的其他領域，比如說，固體材料的研究。

1928 年，布洛赫研究了晶格里的電子的量子力學，給出了電子在周期勢里的波函數，“布洛赫函數”。1929 年，派爾斯利用沒被占據的電子態，解釋了正電荷的霍爾效應。1930 年，派爾斯在泡利的建議下,第一次計算能帶結構和帶隙。1931 年，海森伯提出了“空穴”態的理論。

圖4為固體的量子理論做出重要貢獻的幾位理論物理學家(從左到右)：布洛赫，派爾斯，泡利，威爾遜

1931 年，英國的理論物理學家威爾遜把嶄新的量子力學應用于電導的研究，提出了能帶理論，解釋金屬、半導體和絕緣體在導電性上的差別，能隙決定了半導體的特性。泡利的名言是：“不要研究半導體，它們就是一團糟。鬼才知道半導體，到底存在不存在？”1932 年，威爾遜又提出了雜質能級和缺陷能級的概念，為理解摻雜半導體的導電機理做出了重大貢獻。先是在金屬里，然后是半導體。他呼吁大家要關注鍺，但回應是“一片沉寂、氣氛非常尷尬”。人們跟他說，關注半導體這樣混亂的東西，很可能會損害他作為物理學家的職業。威爾遜不理睬這些警告，在1939 年推出了名著《半導體和金屬》，用電子能帶解釋半導體的性質，包括備受懷疑的本征半導電性質。但是他也犯過錯誤，曾經認為“硅是一種金屬”。他的學術生涯也因為研究半導體而受到損害，盡管學術很出色，卻一直是助理教授。

1939 年，蘇聯的達維多夫、英國的莫特和德國的肖特基獨立提出了勢壘理論，解釋金屬-半導體接觸的整流效應。1940 年，塞茲出版了《現代固體理論》。至此，量子理論為固體材料的研究奠定了堅實的理論基礎，并且最終導致在1947 年12 月，布拉頓和巴丁終于成功地發明了點接觸式晶體管，標志著現代半導體科技的開端。

霍爾效應的應用日漸廣泛，但是直到它被發現100 周年的時候，仍然沒有表現出什么特別出奇的地方，跟量子理論的聯系似乎也不密切。可是當它剛剛過了百歲誕辰，突然就有了重大的實驗突破，完全沒有人想到的突破：實驗發現了量子霍爾效應(馮·克利青，1980 年)和分數量子霍爾效應(崔琦，霍斯特·施特默，阿瑟·戈薩德,1982 年)。這主要是來自于半導體材料生長技術和低溫強磁場下的精密測量技術的進步。羅伯特·勞克林等理論物理學家很快給出了理論解釋。

圖5克利青(左一)，因為發現量子霍爾效應獲得1985年諾貝爾物理學獎。崔琦(左二)和施特默(右二)因為發現分數量子霍爾效應、勞克林(右一)因為給出正確的理論解釋而獲得1998年諾貝爾物理學獎

整數量子霍爾效應和分數量子霍爾效應是凝聚態物理領域的里程碑式發現，不但深刻改變了人們對量子物態的理解，并且在理論和應用上產生了深遠影響。整數量子霍爾效應表現出的量子化霍爾電導非常精確，不受材料缺陷或雜質影響，只依賴基本常數(電子電荷e 和普朗克常數h)，從1988 年起被用作國際電阻標準。分數量子霍爾效應揭示了電子間的庫侖相互作用導致的新量子態，挑戰了單粒子物理的傳統認知，并且有可能具有所謂的“分數統計”(任意子)，為拓撲量子計算提供可能。

剛才說過，霍爾效應產生的原因是，載流子在垂直磁場中運動時感受到洛倫茲力，也就是說，磁場破壞了時間反演的對稱性，載流子在磁場中運動就會朝一個方向偏。即使沒有這個磁場，如果有某種機制使得載流子朝一個方向偏，偏移后的載流子堆積在器件的兩側,同樣會建立起電壓差，所以，霍爾效應并不一定需要外加磁場，不加磁場也能產生霍爾效應。前面說過，霍爾本人在發現霍爾效應的兩年以后又發現，在鐵磁性材料薄片中，不加磁場也能產生霍爾效應，這就是后來所謂的反常霍爾效應，可以簡單地認為反常霍爾效應的原因是材料本身磁性原子或能帶結構所引起的等效的內稟磁場。

內稟磁場也是磁場，有沒有方法可以不用磁場就讓載流子發生偏轉呢？有的。任何材料中都有缺陷和雜質，它們是影響材料電導(或者說載流子遷移率)的重要因素，它們散射了電子，使得電子不再沿著原來的運動方向行進，通常我們認為這種散射不依賴于自旋，但這只是個近似。任何一個散射中心實際上都可以視為一個局域電場，電子被這個電場散射的幾率實際上是依賴于電子自旋的。這是個相對論效應，可以這樣來看：電磁場是不可分割的整體，它是電場還是磁場，或者是二者的混合，完全依賴于參考系的選擇。在半導體晶體的靜止參考系中，散射勢場是個電場，但是換個參考系，換到相對于電子初始運動保持靜止的慣性參考系中，就出現一個磁場，這個磁場就確定了空間中的一個特殊方向，自旋向上和自旋向下的粒子就會感受到差異，它們的散射也就有所不同，不同自旋的粒子向左右散射的幾率也就有差別，所以樣品兩側堆積的自旋粒子的數量就會有差別：總的來說，樣品兩側并沒有出現凈電荷，只是在某一側，自旋向上的粒子比自旋向下的粒子多，而在另一側，情況正好相反。邊上的粒子濃度高了，它們就會向中央擴散，這種擴散最終會抵消掉粒子散射的差異。這就是自旋霍爾效應，1971 年，蘇聯科學家迪阿科諾夫和佩瑞爾提出了與此相應的理論，1984 年，巴昆等人在實驗上觀察到了逆自旋霍爾效應。

由于自旋散射差別引起的這種機制，要求材料中要有雜質和缺陷。到了21 世紀，科學家發現，不需要雜質也能出現自旋霍爾效應。因為電子位于周期勢場中，存在自旋軌道相互作用，可以導致自旋簡并的能帶發生劈裂，成為自旋非簡并的能帶。2004 年，科學家們在實驗中觀測到了自旋霍爾效應。他們是怎么檢測的呢？一種方法是利用光的偏振(克爾效應)，看反射光偏振狀態的變化。我們知道，光的反射過程是由材料的能級決定的，因為反射率和透射率都依賴于折射率，依賴于介電常數，而介電常數是由材料的能級分布和電子的能帶決定。另外一種方法就是利用熒光的方法，即在邊緣上電子也有空穴，如果電子沒有取向的話，發出的光就沒有偏振，對左邊測量熒光的偏振狀態和右邊的熒光狀態進行比較，就可以了。

后來，科學家們又預言(2006 年)和實驗實現了(2007 年)量子化的自旋霍爾效應。需要指出的是，美國著名華裔物理學家張守晟在自旋霍爾效應和量子自旋霍爾效應的理論研究方面都做出了重要貢獻，還在此基礎上(與其他科學家一起)開辟了拓撲絕緣體這個新興研究領域。2013 年，我國科學家薛其坤領導的研究團隊實驗實現了量子反常霍爾效應，這是近年來凝聚態物理學領域的重大進展，楊振寧先生評價這是“諾獎級的工作”。在實現這個重大成果的過程中，我國的實驗物理學家(薛其坤、王亞愚、何珂、常翠祖，等等)和理論物理學家(方忠、戴希、翁紅明、余睿，等等)都做出了有世界影響力的重要工作。

最近十年以來，各種新型的霍爾效應繼續出現，軌道霍爾效應、非線性霍爾效應、三維霍爾效應、熱霍爾效應、分數自旋霍爾效應，等等，讓人眼花繚亂。量子力學仍然在努力推動半導體物理迅速發展，為半導體科技提供強大助力。在新量子理論誕生百年之際，半導體科技正在繼續高速發展，各種各樣的霍爾效應只是一個例證。

本文選自《現代物理知識》2025年6期YWA編輯

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