【解題研究】尋找失落的線——構全等、中位線

俗話說“幾何幾何，想破腦殼”，到八年級學生開始學習四邊形這一章時，各種添加輔助線的方法如過江之鯽，每一種都有其特定的使用背景及方式，而在幾何綜合題中，成功找到那些有用的輔助線，是解題關鍵。

在幾何綜合壓軸題中，補全圖形是對學生作圖能力、幾何直觀的一次考驗，很多時候，補完圖形之后，才能發現圖形間的關聯，進而由這些關聯出發，尋找合理的解決方案。

題目

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=α，點D在射線CB上，將射線DC繞點D逆時針旋轉180°-2α，所得射線交直線AC于點E，點F為EC的中點，連接BF.

(1)如圖1，若BC=BD，求證：CD=2BF；

(2)如圖2，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉180°-2α得到線段AG，連接DG.

①依題意補全圖形；

②用等式表示線段BF與DG的數量關系，并證明.

解析：

01

(1)題目條件中“∠C=α，將射線DC繞點D逆時針旋轉180°-2α”意味著△CDE是一個等腰三角形，讀懂它之后，我們連接DF就順理成章了，

方法一：如下圖

對于等腰△CDE，由“三線合一”推導出DF是其底邊上的高，可證Rt△CDF，而BC=BD則說明BF是Rt△CDF斜邊上的中線，所以CD=2BF；

方法二：

仍然以上圖為例，此時在△CDE中，BF是它的中位線，因此有DE=2BF，而CD=DE，于是CD=2BF；

02

(2)①按要求作圖如下：

②很顯然，圖中存在兩個等腰三角形，并且底角相等，分別是△CDE和△ADG，在探究BF與DG的數量關系的時候，通常的思路是利用等量轉換，將這兩線段放到一個合適的情景中，這個情景可能是全等三角形，也可能是直角三角形，也可能是等腰三角形，或者構造中位線，以上情景中，我們可以證明兩條線段相等、兩倍、一半等較為簡單的數量關系。

基于這個探究思路，利用好圖中相等的邊、角，尋找合適的轉換方式。

在前一小題中，由特殊位置關系的點B得到特殊結論，不妨還原這個特殊位置，如下圖：

在CB延長線上截取BH=BC，連接AH、CG、EH，借助前面的探索過程，我們知道了等腰△ACH與等腰△ADG均為底角相同的特殊三角形（相似），因此圖中的△ADH與△AGC能被證明全等，這屬于手拉手模型；

接下來觀察△EDH與△DCG，第一次全等已經得到了DH=CG，題目條件中給出了DE=DC，所以只要能證明∠EDH=∠DCG即可；

順這條線索，我們發現∠EDH=180°-2α，再看∠DCG=∠ACG-∠ACB=∠AHD-∠ACB=180°-α-α=180°-2α，至此我們湊齊了全等的第三個條件∠EDH=∠DCG，得到△EDH≌△DCG，于是EH=DG；

由于點B是CH中點，點F是EC中點，由中位線性質可得EH=2BF，所以DG=2BF.

解題思考

在研讀張鶴老師公眾號《從一般到特殊》系列文章后，對于本題，我們也可以嘗試用類似的眼光來教學生尋找思路。

這道題的“特殊”是它的第1小題，和第2小題相比，特殊之處在于多了條件BD=CD，如果我們嘗試在第1小題的圖上按要求作圖，則會得到下圖：

其中C、G兩點重合，此時可根據前面的結論，DG(C)=2BF，當我們從這種特殊情況變成一般情況之后，則得到下圖：

觀察這兩個圖形，變化過程中，是否存在一些不變的條件？

學生能發現①△CDE、△ADG依然是底角為α的等腰三角形；②點F依然是CE中點；

繼續觀察線段BF和線段DG，相對而言，它們都似乎比原來“變長”了，這是幾何直觀結果，二者長度都增加，那原來的2倍關系是否變改變呢？這需要一個參照，這個參照最好就是原來的圖形，所以我們嘗試將第1小題的圖在第2小題中“重現”，如下圖：

重新構造了△ACH，地位相當于第1題圖中的△ACD，當它被構造出來之后，連接EH，顯然BF成為了△CEH的中位線；我們很容易發現其中的一對全等三角形△ADH與△AGC，借助這一對全等三角形，又可以發現第二對全等三角形，如下圖：

而這一對全等三角形，就能完成等量轉換，將DG轉換到EH，至此思路基本暢通，回到了第1小題中的中位線場景.

一個有趣的結果，第1小題使用“斜邊上中線”的學生，第2小題思考時間會比較長，甚至想不出來，他們嘗試過取DG中點，試圖重現直角三角形斜邊上的中線，但無一例外失敗了；這也說明我們在選擇方法的時候，雖然存在多種途徑，但并非每種途徑都是最優，可能某種方法解決前面問題簡單，但無法遷移到后面的問題中，而能夠順利解決本題的通法，才是學生最需要的。