Classical and Quantum Dynamics in an Information Theoretic Space

信息論空間中的經典與量子動力學

https://arxiv.org/pdf/2604.09735

我們研究了與伯努利隨機變量相對應的信息幾何空間中的基礎經典與量子動力學，擴展了Goehle與Griffin [Chaos, Solitons & Fractals, 188, 115535, (2024)] 的工作，他們研究了彈簧-質量系統的信息論類比。信息幾何構造在統計物理學以及Friston自由能原理（貝葉斯大腦假說的一種形式）的物理解釋中均具有用途。在這篇短文中，我們推導了伯努利空間中拉普拉斯-貝爾特拉米算子的譜，并求得了亥姆霍茲方程的格林函數，該函數為波動方程、熱方程和泊松方程提供了解。隨后，我們展示了如何在伯努利空間中對動量進行量子化，并獲得了該空間中自由粒子以及多種量子（諧振）振蕩子的能量與波函數。特別地，我們證明了對Goehle與Griffin所采用的庫爾貝克-萊布勒勢進行二次近似，會得到信息空間中的一個量子振蕩子，其等價于歐幾里得空間中的一個量子擺。

I. 引言

非線性振蕩器已被多位作者在經典和量子領域進行了研究。Matthews 和 Lakshmanan 的早期工作導致了一種具有閉式解并產生自然哈密頓結構的非線性振蕩器，該結構后來被 Carine?a 推廣到了更高維度并易于量子化。同樣，Calogero & Graffi 和 Calogero 量子化了具有哈密頓結構和自然閉式解的非線性諧振子，而 Gubbiotti 和 Nucci 研究了 Liénard 型非線性振蕩器的量子化，Ghosh 等人量子化了一個等時振蕩器。雖然大多數工作集中在無阻尼系統上，但 Dekker & Blacker 和 Tilbrook 考慮了非線性阻尼振蕩器的量子化問題。在最一般的情況下，這項工作似乎屬于 Delbourgoet al. 和 Nishijima 和 Watanabe 研究的量子場論的非線性類比類。盡管更新的工作也考慮了非哈密頓系統的量子化（見 Chia 等人）。

在這封信中，我們通過考慮一個作為伯努利分布的信息幾何費希爾度量的度量張量 g 來應用上述原理。雖然該方法完全可推廣，但我們選擇伯努利分布是因為它產生了幾種類似于經典量子諧振子的簡單一維類比。有趣的是，像我們考慮的伯努利空間這樣的信息空間，允許（測地線）平方距離和一致的（Bregman）散度，由于它們與這些空間中信息投影的關系，可以用作偽平方距離。Goehle 和 Griffin 研究了伯努利空間中胡克定律的類比，使用公式 (1)，其中度量的平方距離被庫爾貝克-萊布勒散度替代。

這封信的動機來自以下觀察：(i) 信息幾何產生的黎曼流形具有自然曲率，高曲率區域對應低方差區域，從而提供了一種研究彎曲空間中量子化的自然方法。(ii) Crooks 展示了熱力學和信息幾何之間的自然關系，暗示了信息幾何流形上動力學的量子化與量子熱力學之間可能存在關系。(iii) 最近有工作使用信息幾何構造來表達 Friston 自由能原理的各個方面，這是貝葉斯大腦假說的一種表述。我們將這封信中的工作視為在經典神經科學框架下形式化 Penrose 量子意識假說的一種方法（多種方法之一）。在繼續之前，值得注意的是，這項工作與量子幾何、量子費希爾矩陣、量子統計學以及經典概率、量子力學和純態流形之間關系的工作有關，但截然不同。這些工作專注于量子力學中發現的獨特概率結構的幾何基礎，而這封信特別感興趣的是將費希爾流形視為研究經典和量子動力學的空間。

這封信的其余部分組織如下。我們在第二節中提供了關于信息幾何構造的必要背景。在第三節中，我們構造了 Laplace-Beltrami 算子，并表明其對應的（非正則）Sturm-Liouville 算子沿著一組正交本征函數系接受（正）整數作為其離散譜。然后我們在第四節中使用該結果以及 Carine?a 的方法來構建哈密頓量的自然量子化，并識別自由粒子問題的能級和本征函數解。在該幾何中量子諧振子變體的能級和本征函數在第五節中推導。我們在第六節提供結論和未來方向。

II. 背景

設 p ( x ; η ) 為由 η 參數化的概率分布。源于 p ( x ; η ) 的費希爾度量（Fisher metric）由下式給出，

III. 拉普拉斯-貝爾特拉米算子的譜

IV. 量子力學自由粒子

遵循 Goehle 和 Griffin 的方法，我們使用修正的動能拉格朗日量，

最后，我們現在計算伯努利空間中自由粒子的波函數。在這種情況下，薛定諤方程為，

伯努利空間中動量算子的不可觀測性提出了一個關于可觀測性本質的有趣哲學問題，因為我們利用了該空間與歐幾里得空間之間的映射，而在歐幾里得空間中動量是可觀測的。我們將其留作未來進一步探討的問題。

V. 量子諧振子

公式(2)中的動能作用量給出了測地線平方距離，

推導其哈密頓量并對其進行量子化是直接的，并且利用前述分析，可以立即清楚地看到，我們將獲得針對伯努利空間的標準量子諧振子的一個修正。

或者，在研究伯努利空間中的非線性彈簧動力學時，Goehle 和 Griffin使用庫爾貝克-萊布勒散度作為其平方距離以獲得經典哈密頓量，

選擇該哈密頓量（及其對應的拉格朗日量）是為了更好地表示受外部信息（以 q ′ 的形式）影響的隨時間變化的信念。在這種情況下，勢能項代表了處理進入推理系統的新信息所需的能量，它像彈簧一樣牽引著信念（粒子）。

在繼續之前，進行量綱分析是有益的，因為散度以納特為單位作為平方距離單位
，而動能作用量的單位是納特每秒。方程的結構暗示動能（不含質量）的單位是納特每二次方秒。為了在信息空間中建立清晰且一致的物理學，我們必須定義一個該空間獨有的新慣性單位，我們異想天開地稱之為“nert”。于是，彈簧常數 k 的單位為 nert 每二次方秒。隨后，在該空間中進行的物理學研究可使用納特、nert 和秒作為單位，它們有效地對應于普通空間中的三個基本單位：（平方）米、千克和秒。這些單位與在貝葉斯大腦假說背景下使用該模型是一致的，其中 nert 是心理慣性的度量，而納特是通過關聯能量與信息的蘭道爾原理對學習所需（真實）能量的間接測量。是否存在更深層的熱力學解釋留待未來研究。

不幸的是，KL 散度的非線性似乎使得對給定哈密頓量的任何閉式分析都變得難以處理。在二階近似下，我們有，

VI. 結論與未來方向

在本文中，我們研究了由伯努利分布產生的信息論流形上的經典物理和量子物理，擴展了 Goehle 和 Griffin 的工作。由于信息流形不僅允許自然的平方距離測地線，還允許一致的散度，我們表明在這些流形上有多種方法來定義自然的量子諧振子，并且對 Kullback-Leibler 勢（伯努利空間中的樸素量子諧振子）進行二階近似會產生一個等效于歐幾里得空間中量子擺的諧振子。這一分析得益于對先前工作中所識別的動量算符進行了量子化。

有幾個未來的方向值得考慮。確定這些結果是否能在實驗環境中得到應用顯然具有意義。將這項工作推廣到更一般的信息空間可能會為高度彎曲空間中的量子力學提供額外的見解，因為所有信息流形似乎都表現出與低方差區域相對應的曲率。最后，更深入地研究本工作與更廣泛的量子幾何工作之間的關系可能會帶來進一步的見解。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2604.09735