A Domain-Theoretic Foundation for Imprecise Probability and

Credal Sets

不精確概率與信度集的域理論基礎

https://arxiv.org/pdf/2604.09272

摘要

我們建立了一個域理論框架，用于在具有可數基的連續開集格的一般拓撲空間上進行不精確概率的推理與推斷。本文研究兩種不同形式的不確定性：部分或不完整的事件描述，以及以信度集形式表示的概率分布集合——以及二者的結合。在該框架下，我們構建了條件概率理論，并推導出新的推理規則，用于在存在這兩種互補的不精確類型的情形下執行貝葉斯更新。我們將這些結果進一步推廣至不精確概率事件的條件獨立性理論。我們還為條件概率、貝葉斯更新與條件獨立性形式化了邏輯謂詞，并獲得了相應的可靠性與完備性結果。本文的一項核心貢獻是構造了從任意信度集到區間域的Scott連續映射，從而為容量理論與Choquet積分中的經典結果提供了域理論層面的實現。最后，我們引入并研究了一類由帶不精確概率權重的迭代函數系統所生成的新型信度集，拓展了計算上可處理的不精確概率模型的適用范圍。由此構建的可計算框架統一了關于不確定性的邏輯、拓撲與測度論視角，為在部分信息與集值信息條件下進行魯棒的概率推斷提供了支持。

關鍵詞： 域理論；條件概率；信度集；條件獨立性

1 引言

當信息是部分的、模糊的或集值的時候，不精確概率為不確定性下的推理提供了一個魯棒的框架。它通過允許分布集（信度集）和區間值概率，推廣了經典概率論，從而在安全關鍵應用中能夠實現更謹慎的推斷。

我們考慮第二可數局部緊致Sober拓撲空間。我們將這樣的空間稱為基本拓撲空間。在這些空間中，開集格是一個可數基連續格 [GHK?03]，代表著一個具有可數基的空間locale。這些基本空間包括可分局部緊致度量空間以及可數基連續域。此外，任何波蘭空間都是其形式球連續域的最大元素空間 [EH98]。這意味著基本拓撲空間涵蓋了概率論中使用的所有標準空間。

此外，在此類空間上的任何連續概率賦值都可以擴展為博雷爾測度 [AMESD00, KL05]。對于豪斯多夫空間，由所得博雷爾測度的外正則性，這種擴展是唯一的。

在接下來的章節中，我們在這種不精確設定下，為條件概率、貝葉斯更新和條件獨立性建立了域理論基礎。一個關鍵結果是從信度集到區間概率的 Scott 連續包絡映射，它將容量理論思想和 Choquet 積分提升到了域框架中 [Cho54, Gra16, ACdCT14, GL13]。我們還引入了一類由帶不精確權重的迭代函數系統產生的新型信度集。

雖然區間算術已在工程背景下應用于貝葉斯法則 [FKG?03]，且魯棒貝葉斯分析考慮了先驗集 [Ber85]，但據我們所知，精確端點公式的基于單調性的推導此前尚未發表。我們證明（引理 6.1）經典的貝葉斯更新

由于基本空間的開集格是可數基且連續的，它可以被賦予一個有效結構，使得格上的可計算開集和可計算函數可以被枚舉；參見 [Plo81, Smy77]。這導致了一個針對不精確概率和信度集的可計算框架。

記號約定

對于任何基本空間，無論是豪斯多夫空間還是域，我們都用 D D 表示。當我們專門僅處理豪斯多夫基本空間時，我們用 X X 而不是 D D 來標記它。

2 域理論基礎

2.1 可逼近關系

遵循不精確概率的既定框架和傳統，正如經典開創性工作 [Wal91] 中詳盡描述的那樣，我們將為基本的域理論構造形式化謂詞。這可以通過域理論中豐富的可逼近映射、locale 和 Stone 對偶性理論來實現 [Sco70, Smy77, AJ95, Abr91, Vic89]。

實際上，我們將形式化一個謂詞 G G，它可以用于 (i) 為基本空間 D D 定義 P ( D ) 的 Scott 開子集的一組基，以及 (ii) 刻畫 O ( D ) 上給定的連續賦值。我們考慮基本空間 D D 的開子集格的一個可數基 ，它在有限并和有限交下封閉。

我們通過如下給出的集合來定義連續賦值空間上的開集基：

3 基本空間的事件域

給定一個基本空間 D ，我們將它的開集視為可觀測或半可判定謂詞 [Abr91, Smy77]。由于在概率論和統計學中取事件的補集是一個基本工具，且由于開集的補集未必是開集，我們通過不相交開集來逼近開集的外部。這引導我們得出 D 的事件域 E ( D ) ，即按子集包含關系按分量排序的不相交開集對的偏序：

4 信度集

用于指代概率分布凸集的現代術語 credal set（信度集）是在后來的論述 [ACdCT14] 中標準化的，盡管其基礎理論是由 Walley [Wal91] 在“概率測度集”（sets of probability measures）這一名稱下發展的。

5 事件的條件概率

5.1 條件概率謂詞

由于 Scott 連續映射 C 是由輸入連續賦值 σ 在輸入開集或其交集上的一對有理函數給出的，原則上，人們可以通過對給定運算進行復合來獲得表示 C 的可逼近映射。然而，這種方法會導致相當復雜的表達式。一種更自然且直接的技術是為 C 的下端和上端形式化兩個關鍵謂詞，并將它們與表示 σ 的謂詞 G 聯系起來。

信度集方法產生一個區間，用以捕捉多個先驗下的不確定性，而經典方法則產生一個依賴于先驗任意選擇的單一數值（此處為平均值）。在安全關鍵應用中，區間的下界提供了一個魯棒的、風險厭惡的估計，而經典點估計可能會誤判真實的不確定性。進一步的比較見表3。

6 事件的貝葉斯更新

6.1 貝葉斯推理規則

我們現在像在第 5.1 節針對區間條件概率所做的那樣，為區間貝葉斯方法形式化兩個謂詞。這兩個新謂詞分別是

例 6.5. 考慮一種針對某種疾病的醫學檢測。設：

• H H：患者患有該疾病的假設。
• E E：檢測結果呈陽性的證據。

我們擁有不精確信息：

1. 先驗患病率：根據流行病學研究，該疾病的患病率估計在 1% 到 5% 之間，但確切數值不確定。
2. 檢測靈敏度：在患病條件下檢測呈陽性的概率在 85% 到 95% 之間。
3. 檢測特異度：在未患病條件下檢測呈陰性的概率在 90% 到 99% 之間。

在經典貝葉斯分析中，通常選擇點估計：

6.2 信度集的貝葉斯更新

經典點估計位于該區間內部，但未能捕捉到全部的不確定性。0.6617 的區間寬度反映了對參數 a 和 b 的顯著敏感性。在安全關鍵應用中，這揭示了后驗概率可能低至 28.6% 或高達 94.7%，而當任意選擇單一精確參數集時，這些信息就會丟失。

7 擴展到多維情形

8 條件獨立性

8.1 強條件獨立性

在本節前文中，我們看到，當兩個獨立事件 U U 和 V V 以 W W 為條件時，經典條件獨立性意味著下條件支撐是可分解的。在此域論設定下，我們還擁有由上條件支撐所提供的額外信息。

強條件獨立性中關于右端點的額外假設具有局限性，在許多應用中不太可能成立。然而，它帶來了計算上的高效性，因為條件概率的兩個端點可以通過對應端點的乘積來獲得。可以將強條件獨立性視為在圖模型中提供的一種樂觀規則，用于計算條件概率的右端點。

對于強條件獨立性，我們有兩條額外的規則來替換 (CI7) 和 (CI8)：

關于各種方法的比較，見表 5。主要區別如下：

• 經典方法：點估計 (0.56) 假設具備精確知識和完美分解。
• 弗雷歇 (Fréchet) 方法：保守區間 [0.42, 0.80] 保證了包含性，但區間較寬（寬度為 0.38）。
• 強獨立性方法：區間更窄 [0.42, 0.72]（寬度 0.30），但需要強分解假設。

關于實際意義，我們有：

• 診斷：如果我們需要大于 0.7 的概率來進行診斷：
• • 經典方法：否 (0.56 < 0.7)
  • 弗雷歇方法：可能 (0.42-0.80 包含 > 0.7)
  • 強獨立性方法：可能 (0.42-0.72 包含 > 0.7)
• 安全性：弗雷歇方法更安全（總是包含真實概率）。
• 效率：強獨立性更高效（區間更窄）。

最后，關于何時使用每種方法：

• 弗雷歇規則：適用于安全關鍵應用、依賴關系未知以及保守風險評估的情況。
• 強獨立性：適用于負面證據的獨立性合理且效率為優先考量的情況。
• 經典方法：適用于參數精確已知且獨立性假設經過充分驗證的情況。

9 帶有不精確概率的迭代函數系統

在本節中，我們通過考慮與基本空間的事件域對偶的域，繼續架起經典容量理論 [Cho54, Wal91] 與域理論之間的橋梁。該對偶域采用基本空間的覆蓋閉子集對，并按反向包含排序。利用這個對偶域，我們將一類新的信度集形式化為帶有概率的迭代函數系統 (IFS) 的不變測度。

迭代函數系統 (IFS) 及其不變測度已在分形幾何和動力系統中得到廣泛研究，其應用范圍涵蓋從計算機圖形學和圖像壓縮到自然現象建模、信號處理、生物結構分析和金融時間序列 [IFS22]。我們在本節的結果為將這些經典應用擴展到概率不確定或部分指定的場景提供了數學上嚴謹的基礎。

在下文中，我們將考慮 IFS 的信度集。具有以區間形式給出的不精確輸入的馬爾可夫鏈的情況將在附錄 B 中給出。

9.1 帶有概率的 IFS 的信度集

在本小節中，我們引入一類新的信度集，即那些由帶有概率的迭代函數系統 (IFS) 的不變測度組成的信度集。IFS 理論一直是多個學科中一個活躍的研究領域。

對應于該不變測度的連續概率賦值可從域論角度獲得，具體為：若 X X 是緊致空間，則其為 X X 的上空間之概率冪域上 Hutchinson 算子的最小不動點；或為完備度量空間之形式球域的概率冪域上 Hutchinson 算子的最小不動點。

并且，我們獲得了該不動點算子到容許集上的擴展：

9.1.1 具有不精確轉移矩陣的馬爾可夫鏈

在本節中，我們介紹并分析了帶有不精確概率權重的迭代函數系統。類似地，據我們所知，附錄 B 針對轉移概率以不精確值指定的有限狀態馬爾可夫鏈，提供了一種新穎的論述。

結論

我們已經為不精確概率與信度集建立了一個綜合的域理論基礎，提供了一個統一的計算框架，該框架既能處理部分事件描述（在事件域 E ( D ) 中表示為不相交開集對），又能處理由上空間 U ( P ( X ) 中的緊致信度集所捕捉的分布不確定性。我們的主要貢獻包括：在事件域上構造了 Scott 連續區間概率映射；推導出了貝葉斯更新的基于單調性的精確區間擴展，并附帶了可靠且完備的推理規則；建立了針對不精確事件的條件獨立性理論，包含保守（弗雷歇）與強分解規則；以及引入了一類由帶有不精確概率權重的迭代函數系統生成的新型信度集，并證明了相關不動點映射的連續性。我們為相關概念形式化了邏輯謂詞，并獲得了可靠性與完備性結果。所有運算均 Scott 連續地擴展至信度集空間，從而確保了有限逼近的收斂性。

這項工作為信度網絡與不精確貝葉斯網絡的域論處理奠定了必要的數學基礎。該框架保證了使用不精確參數和部分指定觀測值進行的推斷具有堅實的計算基礎，并得到域論逼近性質以及通過可逼近映射提供的邏輯基礎的支持。未來的工作將集中于構建明確的域論信度網絡，開發利用此處所提出的連續性與逼近結構的精確與近似推斷算法，并將該方法推廣至不精確條件下的序列決策問題。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2604.09272