一步法 部分線性 工具變量回歸 中的 平均邊際效應(yīng)

Average Marginal Effects in One-Step Partially Linear Instrumental Regressions

https://arxiv.org/pdf/2604.11393

摘要

我們提出了一種新穎的方法，用于借助再生核希爾伯特空間方法，估計(jì)部分線性工具變量回歸中的平均邊際效應(yīng)并進(jìn)行推斷。我們的方法僅依賴于單一的正則化參數(shù)。我們得到了該估計(jì)量的一致性與漸近正態(tài)性。由于極限分布的方差具有復(fù)雜的解析形式，我們提出了一種貝葉斯Bootstrap方法來(lái)進(jìn)行推斷，并確立了其有效性。我們的方法易于實(shí)現(xiàn)，并在模擬中展現(xiàn)出良好的有限樣本表現(xiàn)。三個(gè)實(shí)證應(yīng)用展示了其在真實(shí)數(shù)據(jù)上的實(shí)施過(guò)程，表明該方法能夠得出具有經(jīng)濟(jì)意義的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：工具變量，半?yún)?shù)估計(jì)，再生核希爾伯特空間，平均邊際效應(yīng)，Bootstrap。

1 引言

我們考慮部分線性工具變量（IV）模型

平均邊際效應(yīng)（AME）是許多實(shí)證應(yīng)用中的關(guān)鍵研究對(duì)象，例如估計(jì)教育回報(bào)率或衡量產(chǎn)業(yè)組織中的需求彈性。若處理函數(shù) 呈線性，則處理的 AME 將等于該函數(shù)的斜率系數(shù)，并可通過(guò)兩階段最小二乘（2SLS）回歸輕易估計(jì)。然而，線性或參數(shù)假設(shè)在經(jīng)濟(jì)理論上往往難以成立，且會(huì)帶來(lái)模型設(shè)定錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)線性假設(shè)不成立時(shí)，兩階段最小二乘法無(wú)法一致地估計(jì) AME，由此得出的因果推斷或反事實(shí)分析可能會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)。采用半?yún)?shù)工具變量（IV）模型設(shè)定有助于克服模型設(shè)定錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)，并能從數(shù)據(jù)中靈活地識(shí)別處理效應(yīng)，同時(shí)緩解維數(shù)災(zāi)難問題（參見 Florens, 2003；Florens 等, 2012；以及 Ai 和 Chen, 2003）。

盡管非參數(shù)與半?yún)?shù)方法有助于降低設(shè)定錯(cuò)誤風(fēng)險(xiǎn)，但對(duì)非參數(shù) IV 函數(shù)進(jìn)行推斷的難度遠(yuǎn)高于對(duì)標(biāo)量參數(shù)的推斷。此外，估計(jì)得到的非參數(shù)回歸結(jié)果仍不如線性模型易于解釋，在線性模型中，其系數(shù)可直接視為各變量及處理項(xiàng)的平均邊際效應(yīng)。這在應(yīng)用研究中尤為重要，因?yàn)檠芯咳藛T通常需要以政策制定者和實(shí)務(wù)工作者能夠理解的形式匯報(bào)研究結(jié)果。聚焦于式（2）中的 AME 具有兩大優(yōu)勢(shì)：（i）它在解決模型設(shè)定錯(cuò)誤問題的同時(shí)，提供了一個(gè)易于解釋的處理效應(yīng)指標(biāo)；（ii）它使得我們能夠?qū)?biāo)量參數(shù)進(jìn)行推斷，而非對(duì)復(fù)雜的非參數(shù)函數(shù)進(jìn)行推斷。

本文通過(guò)為式（2）中的 AME 提出一種具備兩項(xiàng)顯著特征的推斷方法，對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)做出了補(bǔ)充。首先，該方法僅依賴于單一的正則化參數(shù)。其次，該方法建立在機(jī)器學(xué)習(xí)與支持向量機(jī)（SVM）文獻(xiàn)中廣泛采用的框架之上，即再生核希爾伯特空間（RKHS）設(shè)定。

我們推斷方法的第二個(gè)顯著特征是，它建立在機(jī)器學(xué)習(xí)文獻(xiàn)中一個(gè)廣泛使用的框架之上，即再生核希爾伯特空間（RKHS）設(shè)定；參見，例如，Wainwright（2019，第12章）、Berlinet 和 Thomas-Agnan（2011）以及 Steinwart 和 Christmann（2008）。該框架中的工具與算法已在支持向量機(jī)（SVM）和分類方法中得到廣泛應(yīng)用。基于 RKHS 構(gòu)建 AME 推斷方法的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在兩個(gè)方面：首先，RKHS 工具能夠以可處理的方式解決復(fù)雜的計(jì)算問題。在我們的研究情境中，它們使我們能夠給出具有簡(jiǎn)潔且易于計(jì)算表達(dá)式的 AME 估計(jì)量與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。其次，正如我們?cè)谀M部分（見第 6 節(jié)）所示，該方法具有優(yōu)異的有限樣本表現(xiàn)。

我們證明了基于 RKHS 的 AME 估計(jì)量具有漸近正態(tài)性，但其極限分布的方差具有復(fù)雜的解析形式。因此，我們開發(fā)了一種依賴于貝葉斯 Bootstrap 的推斷程序，并確立了其有效性。我們的方法易于實(shí)現(xiàn)，并且我們提供了一個(gè) R 軟件包，供實(shí)務(wù)工作者直接使用。除了操作簡(jiǎn)便之外，我們?cè)谀M中表明，該方法在小樣本和中等樣本設(shè)定下，能夠在原假設(shè)下實(shí)現(xiàn)良好的尺寸控制，并在備擇假設(shè)下展現(xiàn)出良好的檢驗(yàn)功效。我們還通過(guò)三項(xiàng)基于 Angrist 和 Lavy（1999）、Frankel 和 Romer（1999）以及 Sokullu（2016）的實(shí)證應(yīng)用展示了本方法的潛力，其樣本量分別為 2,024、150 和 117 個(gè)觀測(cè)值。這些應(yīng)用揭示了我們的估計(jì)與推斷程序在真實(shí)數(shù)據(jù)（包括小樣本）上的良好表現(xiàn)。得益于其計(jì)算簡(jiǎn)便性、對(duì)單一正則化參數(shù)的依賴以及在有限樣本中的優(yōu)異表現(xiàn)，我們的方法可被實(shí)務(wù)工作者便捷地采納。

相關(guān)文獻(xiàn)。基于級(jí)數(shù)展開的方法用于估計(jì) AME 以及更一般的工具變量回歸泛函，已在 Ai 和 Chen（2003）、Ai 和 Chen（2007）以及 Santos（2011）中得到發(fā)展。在最近的一篇論文中，Chen 等（2023）研究了基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的若干 AME 估計(jì)量的性質(zhì)，并考察了其有限樣本表現(xiàn)。所有這些論文均基于多步回歸方法，且需要選取多個(gè)調(diào)優(yōu)參數(shù)（每一步回歸估計(jì)均需設(shè)定一個(gè)），這可能增加實(shí)際應(yīng)用的復(fù)雜性。Breunig 和 Johannes（2016）研究了非參數(shù)工具變量模型中已知泛函的自適應(yīng)估計(jì)，但并未對(duì)其推斷問題進(jìn)行探討。Chen 和 Christensen（2018）以及 Chen 等（2025）為非參數(shù)工具變量回歸中已知泛函的推斷提供了程序。我們的研究情境與他們不同：在我們的設(shè)定中，AME 是非參數(shù)工具變量回歸的一個(gè)未知泛函，因?yàn)樗婕?關(guān)于 Z 的未知分布的期望。Beyhum 等（2024b）與 Zhang 等（2023）提出了非參數(shù)工具變量模型的一步估計(jì)量，但并未研究針對(duì) AME 的推斷問題。Singh 等（2019）與 Zhang 等（2023）也研究了非參數(shù)工具變量模型的 RKHS 估計(jì)方法。然而，他們既未考慮部分線性設(shè)定，也未針對(duì) AME 開發(fā)推斷程序。

論文結(jié)構(gòu)。第 2 節(jié)介紹我們的 AME 估計(jì)量并推導(dǎo)其表達(dá)式。第 3 節(jié)確立我們估計(jì)量的漸近性質(zhì)。第 4 節(jié)提出 Bootstrap 檢驗(yàn)并證明其有效性。第 5 節(jié)討論我們推斷程序的具體實(shí)施以及唯一正則化參數(shù)的選取方法。第 6 節(jié)通過(guò)模擬證據(jù)展示我們 Bootstrap 檢驗(yàn)在小樣本下的表現(xiàn)，證明其具有優(yōu)異的有限樣本性質(zhì)。第 7 節(jié)包含三項(xiàng)我們方法的實(shí)證應(yīng)用。最后，第 8 節(jié)總結(jié)全文。附錄匯集了本文結(jié)果的數(shù)學(xué)證明、輔助引理以及額外的模擬內(nèi)容。用于實(shí)現(xiàn)我們推斷程序的 R 軟件包可從以下網(wǎng)址下載：https://github.com/lucasgirardh/rkhsiv。

2 估計(jì)量

2.1 估計(jì)設(shè)定

2.2 估計(jì)量的計(jì)算

根據(jù) Steinwart 和 Christmann（2008，定理 4.20 與 4.21），每個(gè)對(duì)稱半正定核都對(duì)應(yīng)唯一的 RKHS，且每個(gè) RKHS 都有唯一的再生核。為清晰起見，我們提供兩個(gè) RKHS 的示例。更多示例參見 Wainwright（2019，第 12 章）、Berlinet 和 Thomas-Agnan（2011）以及 Steinwart 和 Christmann（2008）。

下列示例中的 RKHS 在統(tǒng)計(jì)學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)文獻(xiàn)中非常流行。

3 漸近分析

5 Implementation

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2604.11393