單調馬爾可夫模型中的平穩分布：理論與應用

STATIONARY DISTRIBUTIONS IN MONOTONE MARKOV MODELS:THEORY AND APPLICATIONS

https://arxiv.org/pdf/2604.03979

摘要

許多經濟模型在可能非緊的狀態空間上具有單調馬爾可夫動態。在此類設定中確立平穩分布的存在性、唯一性與穩定性，一直依賴于一系列拼湊而成的充分條件，且每個條件均針對特定應用量身定制。本文提供了一個單一的充要條件：單調馬爾可夫過程具有全局穩定的平穩分布，當且僅當它是漸近壓縮的且具有緊軌跡。該刻畫同時涵蓋緊與非緊狀態空間、離散與連續時間，并可推廣至依賴于總體狀態的非線性馬爾可夫算子。我們通過在工資動態、帶有信念沖擊的貝葉斯學習以及生成帕累托尾部的收入過程中的應用，展示了該結果。

1. 引言

經濟學與金融學中的許多模型關于狀態變量具有單調性。Hopenhayn和Prescott（1992）被廣泛引用的論文為在馬爾可夫設定下研究此類模型的動態提供了一般方法，該方法進而擴展了Stokey和Lucas（1989）以及Razin和Yahav（1979）的早期結果。該論文中使用的單調混合條件已成為在廣泛應用中建立穩定性性質的標準方法，應用領域涵蓋國際貿易、人力資本、商業周期、不平等、代際流動與勞動力市場，所用模型從世代交疊與競爭性搜索到平均場博弈不等（參見，例如，Chatterjee和Shukayev（2010），Hidalgo-Cabrillana（2009），Samaniego（2008），Marcet等（2007），Antunes和Cavalcanti（2007），Morand和Reffett（2007），Le Grand和Ragot（2022），Light和Weintraub（2022），Balbus等（2025），以及Kam等（2025））。

然而，Hopenhayn和Prescott（1992）中的條件并非普遍適用，因為它們要求狀態空間是緊的且具有最小元與最大元。這一設定損害了對經濟數據重要特征的分析，例如橫截面分布中的厚尾特征。此外，許多時間序列模型自然會生成無界狀態。擴展Hopenhayn和Prescott（1992）的需求催生了大量后續文獻。后續研究削弱了其混合條件，并用現代馬爾可夫過程理論文獻中的“緊性”類條件替換了狀態空間的緊性，同時還處理了部分單調模型（參見，例如，Kamihigashi和Stachurski（2012），Kamihigashi和Stachurski（2014），Kamihigashi和Stachurski（2016），Foss等（2018），Kamihigashi和Stachurski（2019），Foss和Scheutzow（2024），Light（2024），以及Light（2026））。

在本文中，我們通過為定義于緊或非緊狀態空間上的單調馬爾可夫模型中的全局穩定性——即平穩分布的存在性、唯一性與穩定性——提供簡單的充要條件，使該領域的文獻研究形成完整閉環。這些條件建立在本文所證明的一個新不動點定理之上。該不動點定理表明，在任何度量滿足對角性質的完備預序度量空間中，一個保序（即單調）算子具有唯一不動點，當且僅當它是漸近壓縮的且至少生成一條序有界軌跡。

在馬爾可夫設定中，我們證明了在弱混合條件下漸近壓縮性成立，這些條件可理解為對Hopenhayn和Prescott（1992）中著名的單調混合條件的推廣。我們還證明，在使用隨機占優偏序時，序有界軌跡的存在等價于緊軌跡的存在。這是概率有界性的一種弱形式，而概率有界性是馬爾可夫過程文獻中與穩定性相關的標準條件（參見，例如，Meyn和Tweedie（2009）；Hahn等（2024）；Ma和Toda（2025））。緊軌跡的存在也遠比假設狀態空間本身是緊的（如Hopenhayn和Prescott（1992）中那樣）要弱得多。

此外，我們在一個抽象半群框架中證明了所有這些結果，該框架（i）同時包含連續時間與離散時間，且（ii）允許非線性馬爾可夫算子以及線性算子。第（i）點意味著，在建立我們充要條件的過程中，我們也將Hopenhayn和Prescott（1992）及大量后續相關文獻擴展到了處理連續時間模型。第（ii）點意味著我們的結果可應用于非線性馬爾可夫分布動態，其中個體的馬爾可夫更新依賴于一個分布，而該分布又由個體的馬爾可夫法則決定（參見，例如，Light（2026））。

我們通過若干經濟學應用展示了我們結果的適用范圍。在緊狀態空間設定中，我們重新審視了Hopenhayn和Prescott（1992）的單調混合條件，提供了更精確的結果，包括指數收斂率與遍歷性，并將該框架擴展至連續時間。我們以一個連續時間的工資動態職位階梯模型為例進行說明。對于非緊狀態空間，我們開發了對分段確定性馬爾可夫過程（PDMPs）的應用，這是一類結合平滑確定性動態與隨機跳躍的連續時間模型。PDMPs自然出現在財富積累或企業動態模型中，非常適合捕捉連續時間中跳躍與離散沖擊的作用。我們的應用包括：一個連續時間的工資動態職位階梯模型，通過允許狀態依賴的工資報價擴展了Burdett和Mortensen（1998）以及Moscarini和Postel-Vinay（2013）的框架；一個受信念沖擊影響的貝葉斯學習模型，此類沖擊出現在逆周期不確定性與預測偏差模型中（Orlik和Veldkamp，2014；Cogley和Sargent，2008）；以及兩個收入動態模型——一個純跳躍過程和一個具有確定性漂移的PDMP——兩者均在平穩分布中生成帕累托尾部，補充了近期關于連續時間異質性主體模型中平穩分布（Gabaix等，2016）以及乘性經濟中帕累托指數（Beare和Toda，2022）的研究。

在理論層面，與本文最接近的論文是Kamihigashi和Stachurski（2014）以及Foss和Scheutzow（2024），他們證明了全局穩定性在（a）序理論混合條件與（b）暗示平穩分布存在的附加條件相結合下成立。在對底層狀態空間的匹配假設下，這兩項結果均為本文定理2.1中抽象穩定性結果的特例，該定理表明漸近壓縮性與序有界軌跡的存在足以保證全局穩定性。（Kamihigashi和Stachurski（2014）以及Foss和Scheutzow（2024）的結果均蘊含漸近壓縮性以及至少一條軌跡的序有界性。）同時，定理2.1更進一步，允許作用于任意預序空間的算子，提供全局穩定性的必要條件，并同時處理連續時間與離散時間。雖然Kamihigashi和Stachurski（2014）本質上已被本文結果所取代，但Foss和Scheutzow（2024）具有互補性，在時間為離散時提供了關于序有界性與漸近壓縮性的有價值的充分條件。

本文其余部分結構如下。第2節發展了保序半群的抽象不動點理論。第3節專門針對概率空間，引入Bhattacharya度量并將緊性與序有界性聯系起來。第4節涵蓋隨機核與轉移概率函數。第5節處理緊狀態空間上的單調混合條件，并附有工資動態的應用。第6節將研究擴展至離散時間下的非緊狀態空間，并附有帶有信念沖擊的貝葉斯學習應用。第7節發展了連續時間下的對應結果，并附有收入動態的應用。第8節發展了PDMP框架，并將其應用于具有確定性漂移的收入動態。證明匯總于附錄A節。

2. 漸近壓縮的穩定性

我們首先介紹預序度量空間和對角性質的背景知識。接著引入半群以及漸近壓縮性和全局穩定性的概念，最后陳述我們的主要結果。

圖 1 有助于說明前兩種情況下的對角性質。

3. 概率空間上的穩定性

接下來，我們考慮所研究的半群作用于概率測度空間這一特殊情況。換句話說，我們分析在給定的運動定律下分布隨時間向前推移的環境。在這種設定下，我們將能夠把穩定性與軌跡上的一種緊性類條件（即胎緊性，tightness）聯系起來，這種條件在分布動態的分析中經常被應用。

總之，定理 3.1 和推論 3.1 為分布空間上的保序半群和映射的全局穩定性提供了充要條件：漸近壓縮性與至少一條軌跡的緊性相結合。

通常我們要考慮的算子是由轉移概率函數生成的馬爾可夫算子。此類算子具有其他有用的性質，例如關于分布的線性性。我們在第 4 節討論這種情況。然而，我們也要注意，定理 3.1 和推論 3.1 可用于研究分布上的非線性映射，這在經濟動態中經常出現（參見，例如，Light (2026)）。

4. 概率馬爾可夫模型

本節將介紹馬爾可夫動態的概率方面背景，以及底層馬爾可夫模型與其所生成的算子與半群之間的聯系。

為了方便起見，并與大量文獻保持一致（參見，例如，Meyn and Tweedie (2009)），算子和隨機核都使用同一個符號 P 。此外，我們將省略術語“左”和“右”，假設其含義通常能從上下文中清楚得知，并在必要時加以澄清。

以下結果與一個眾所周知的事實相平行：分布之間的全變差距離在通過馬爾可夫核后不會增加。它將對我們要進行的連續時間模型分析有用，同時也表明在某些附加條件下漸近壓縮性應該是可以達到的，這些條件結果是混合條件。

1. 單調混合

   Hopenhayn與Prescott（1992）的定理2表明，在離散時間下，單調混合條件（MMC）是單調馬爾可夫鏈全局穩定性的充分條件。在本節中，我們通過以下方式擴展了他們的結果：（a）建立了收斂至平穩分布的顯式指數收斂速率；（b）證明了對有界遞增可觀測量的遍歷性；以及（c）從離散時間推廣至連續時間。我們在第5.1節中陳述了主要結果及其證明，隨后在第5.2節中將其應用于一個連續時間的工資動態模型。

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原文鏈接： https://arxiv.org/pdf/2604.03979