小樂數學科普：為什么紐結在數學和科學中很重要（下）——譯自Quanta Magazine量子雜志

（接上文）

作者：Steven Strogatz 播客主 2022-4-6 譯者：zzllrr小樂 2022-4-10

Strogatz (27:27)：

我們剛剛從 Colin Adams 那里聽到了很多關于紐結以及一些用途的信息。現在讓我們與解決了 50 年歷史的問題的人談談康威紐結。我的下一位嘉賓 Lisa Piccirillo 是在研究生期間自己完成的，她在大約一周的緊張工作中破解了它。Lisa Piccirillo 現在是麻省理工學院的數學助理教授，專門研究 3 維和 4 維空間。非常感謝你今天加入我們，麗莎。

麗莎·皮奇里洛

Lisa Piccirillo (27:57)：

謝謝你邀請我。

Strogatz：

我對此感到非常興奮。這是一個很好的享受。

這些年來，你的故事受到了很多媒體的關注。這是你做出的一個驚人的發現，一個非常巧妙的證據，一個美麗的論點。如果你能把它作為一個故事來講述，我想我會喜歡的。我的理解是當你第一次意識到這個問題時，你是在某人的生日會議上，還是在什么其他場合？

Piccirillo (28:21)：

好的，沒錯。我在奧斯汀 UT [德克薩斯大學] 參加Bob Gompf的生日會議，大概是那個周六的結尾時刻。我參加過很多次演講，有個人正在就與我所做的有點接近的事情發表演講。但在早期，你知道，她試圖讓人們相信她的工作很難，而且這里有很多難題。而她，放了這張幻燈片。她說，我們甚至不知道這個 11 交叉的紐結是不是切片。

我對這個領域有點了解。但我并沒有太仔細地研究。但是，你知道的，有工具，這是一個成熟的領域，我只是想，“加油。你是說，我們不知道那個11交叉的紐結是不是切片？”

我猜想，“嗯，一定沒那么難。一定只是沒人關心而已。” 但我想，我的系里有些人對這類事情感興趣，這與我正在做的一些工作很接近。那么也許我會嘗試使用我一直在開發的一些工具來做到這一點。或許就能展示給演講者。她會說，哇，太好了。做得好。就是這樣。

Strogatz (29:31)：

那么你說的演講者是誰？

Piccirillo：

哦，雪莉·哈維（Shelly Harvey）。她是萊斯大學的教員。

Strogatz ：

好的。我猜她是個拓撲學家。

Piccirillo (29:39)：

沒錯。她真的把紐結一致性作為她的主要興趣。

Strogatz (29:44)：

嗯。那么雪莉發表了這個演講。你坐在那里。那時你還有多久離開研究生院？

Piccirillo (29:51)：

那時我在我的第五個學年末。我還有一年的時間，那年秋天我要去就業市場。

Strogatz (29:56)：

好的。你提到那是星期六。會議就這樣結束了嗎？

Piccirillo (30:00)：

不，周日一大早有幾場會談，因為世界杯正在舉行。他們本來計劃的是正常時間。但后來大家讓他們把談話安排在早上 7 點左右，這樣他們就可以在 10 點左右去酒吧看世界杯。

Strogatz (30:15)：

就是這樣；數學家的真正秘密終于被揭開。

Piccirillo：

是的，也許我不應該這么說。

Strogatz (30:21):

好的，但你參加了這個活動，這是一個星期六，你聽到了談話。如你所說——顯然你當時不明白這個問題的重要性。

Piccirillo (30:29)：

她只是輕輕一說。是的，我們在紐結一致性方面有點糟糕，因為我們甚至無法做到這一點。

Strogatz (30:35)：

也許現在是你告訴我們一些問題的好時機，或者康威紐結為什么有趣？

Piccirillo (30:42)：
好的。約翰·康威是一位真正具有傳奇色彩的數學家。他研究了很多東西，比如紐結理論，研究了一兩次，但無論如何對這個領域都有很大的影響。他在 70 年代后期制作了這個紐結，現在稱為康威紐結。他把它打造成一種狡猾的病態紐結。他對它的更多三維屬性感興趣，但事實證明他做得很好，造出了一個狡猾的紐結。那么這很難，幾乎在所有情況下都很難處理康威紐結。

Strogatz (31:17)：

你能告訴我們它有什么隱秘之處嗎？

Piccirillo (31:19)：

是的，它的狡猾之處在于它有一個朋友。它的朋友被稱為木下-寺坂紐結。后面會有一個關于這個紐結的小測驗。它看起來很像它的朋友，但它們實際上并不是同一個紐結。但是很難說它們不是同一個紐結，因為它們看起來非常相似，以至于我們嘗試一些判斷紐結不同的方法，都無法分辨它們是不同的。

Strogatz (31:43)：

這非常優雅。我喜歡那個。這是一個很好的紐結，這是紐結理論中的一個大問題。我的意思是，科林·亞當斯向我們提到（當我們與他交談時），主要任務之一是找出區分兩個紐結的方法（如果它們真的不同的話）。你說在康威紐結的例子中，康威紐結被巧妙地設計成一個非常好，非常狡猾的冒名頂替者，看起來很像這個木下-寺坂紐結？它是啥？我不能通過測驗了！我對了嗎？

Piccirillo (32:14)：

完全正確。

Strogatz：

這就是重點。這就像這個巧妙的冒名頂替者。

Piccirillo (32:17)：

沒錯。對于冒名頂替者的類型有一個詞。它被稱為木下-寺坂紐結的變異體。

Strogatz (32:23)：

好的。那么無論如何，我的意思是，我聽說過關于康威紐結的一件事是，就康威的貢獻而言，他所做的一件事是，人們已經了解或分類了多達 10 個交叉點的紐結。但直到他的工作，所有具有 11 個交叉點的紐結都沒有明顯地分類，甚至沒有列出、枚舉。并且他發現了這個有 11 個交叉點的奇特紐結，就某個稱為亞歷山大多項式，甚至或許就康威多項式的不變量而言，康威的紐結是完美圓的冒名頂替者，亞歷山大多項式無法區分它。

Piccirillo (33:04)：

是的，沒錯。更糟糕的是，也許圓和木下-寺坂紐結和康威紐結都具有相同的亞歷山大多項式。

Strogatz (33:14)：

好的，那么你在會議上從雪萊那里聽到了這個問題，你有這種感覺……我完全忘記了你是怎么說的，但有點像，“哦，拜托，也許我可以解決這個問題給她看。”

Piccirillo (33:28)：

是的，那么我馬上就知道我將如何嘗試展示它。但是你必須做這種技術性的事情。我去參加會議晚宴，玩得很開心，沒有再做任何數學運算。然后在周日，我想，也許我沒有去看世界杯。相反，我去了一家咖啡館，開始寫下我需要做的那種技術性的事情，如果我要證明這個紐結不是切片的話。

我不知道，我工作了幾個小時，然后把它放一邊，因為我有些其他真正需要做的事情。我只是在這周剩下的時間里一直在晚上跟進，造出另一個紐結。也許到了周中，我有了另一個紐結。然后我為另一個紐結計算了一些東西。但我不是每晚都這樣做，也不是熬夜。

Strogatz (34:11):

好吧，那么也許我們應該后退一點。而且......我的意思是，因為你已經勾勒出你的策略是什么，你需要計算某種技術性的東西。這將解決問題。我猜后來你花了一周剩下的時間計算它，并且一切都或多或少湊效了。這確實讓它聽起來很容易，除了 50 年來沒有其他人能夠做到這一點。

Piccirillo (34:31)：

嗯，50 年來，技術上的東西并不流行。它可能仍然不流行，但它是我所喜歡的。這也許就是我擁有其他人所沒有的，就是我研究的軌跡（trace）。

Strogatz (34:45)：

但我們還不知道軌跡是什么。也許你可以試著告訴我們，一個紐結的軌跡是什么？

Piccirillo (34:50)：

好的。拓撲學家一直在做的事情是他們使用紐結來構建流形。流形是一個空間。事實上，對我來說，流形是數學的重點，而紐結只是你用來獲得流形的東西。

這就是我對紐結所做的事情，我用它們構建流形。有很多方法可以從一個紐結中構建一個流形。如果你想到一個紐結，也許你認為它只是漂浮在你面前的 三維空間中。你可以做的是看看它的補空間。也就是說，紐結周圍的空間，而不是紐結本身。就是這種有趣的三維的東西。那么這是一個與紐結相關的三維流形。

軌跡是與紐結相關聯的四維流形，而且——我應該怎樣告訴你思考軌跡呢？

讓我先談降一個維度的事情。如果你有一個嵌入二維空間的紐結。你有一個圓圈，也許它看起來有點無聊，沒關系，你有一個圓圈放在桌面上。然后，有一些位于桌子下方的三維空間，那里有空氣。你可以做的是拿一個碗，把它倒過來放在桌子上，這樣碗的邊緣就可以放在你的紐結上。我們稱之為位于桌面上的那個紐結的三維軌跡，將是桌子下方的空間加上碗。

你知道，那是桌面，那是紐結所在的二維空間。桌子下面是空氣。那是三維。還有，就像，這個陶瓷碗，也是 三維，放在紐結上方。那么這將是二維空間中的紐結的軌跡。

Strogatz (36:16)：

聽到你試圖解釋這一點非常有啟發性。誠然，這非常艱難，我要祝賀你做到了。但我認為它揭示了你正在使用這些類比向下的維度，讓我們可以在其中描繪事物。當你研究的時候，你真的是這樣做的嗎？你有類比嗎？因為我設想你無法真正描繪出這些四維軌跡。

Piccirillo (36:53)：

沒錯。我們將這些稱為類比圖，而我整天所做的就是繪制類比圖。當然，因為我不會畫四維空間的圖片。但我認為吸引我關注拓撲學（尤其是四維拓撲學）的一個原因是，拓撲學是一個真正的視覺領域，我真的很喜歡。在三維中，有時我們只需通過畫出正確的圖片來證明事物。

在四維中，這變得更加困難。也就是說，只從字面上觀察空間的能力消失了。但是你仍然可以在丟失一些但不是全部信息的情況下繪制這些具有代表性的圖片。你或許可以像這樣畫很多不同的圖片，如果它們各自丟失了不同類型的信息，那么這組圖片組合在一起，實際上仍然可以讓你了解你的空間。

也許這里有一些東西。讓我說一下紐結是切片的含義，然后嘗試讓你對為什么不是所有的紐結都是切片有一點直覺。我將使用一個非常低維的例子來做到這一點。如果一個紐結在四維空間中界定了一個圓盤，那么它就是切片。那么圓盤會進入那個四維泡沫塊中，但紐結必須停留在它的邊界上，在三維空間中。你我都無法想象這些畫面，但這就是它的意思。

那么讓我們試著想象一下我們可能會想象到的東西。如果我們把我們的一維紐結再次放在桌面上，你知道，你可以在桌子下面的泡沫塊中找到一個盤子，你可以想象一個碗，在泡沫中，那將是一個紐結邊界的二維圓盤。

Strogatz (38:29)：

雖然實際上，如果我——在這里暫停一秒鐘，我不希望你失去你的思路。但是當你說圓盤時，我認為此時大多數人都在想象一個幾何圓盤。那么他們會想到碗下面的桌子的平坦部分。但在拓撲中我們不關心平坦度。那么你會說任何以那個圓圈為邊界的碗，包括我正在描繪的圓盤，但它可能是泡沫中的軟的東西。

Piccirillo (38:54)：

是的，沒錯，我甚至忘了區分。我所有的物品都是橡膠做的。

Strogatz (38:58)：

好的，但是抱歉，我打斷了你。

Piccirillo (38:59)：

我們將討論一維空間中的零維紐結。一個零維紐結是兩個點。如果我們讓它存在于一維空間中，它就存在于一條線上。如果像這樣的紐結要被切片，我們會要求的是一個一維圓盤。就像一個區間，要有它的邊界（即那個紐結）。

我無法為你構建一個不是切片的零維紐結，但我可以為你構建一個非切片的零維鏈接（link）。你會認為你的一維空間是真實的數字。讓我們將第一個紐結設為點 -1 和 1，將第二個紐結設為點 0 和 2。那么我們的紐結有點交織在一起。

Strogatz (39:43)：

哦，那很酷。這已經是一維鏈接的意思的想法。是那兩個點嗎，這對點是相互交叉的，其中一個在另外兩個之間。

Piccirillo (39:53)：

Interdigitated（點對之間相互交叉） 是一個非常好的詞。是的。

Strogatz ：

好的。

Piccirillo (39:58)：

一維空間，我們認為它是某張紙的頂部。我們想要在紙上找到兩個不相交的間隔（區間interval），它們的邊界是兩個紐結。好吧，你可以想象嘗試這樣做。而且我認為你正在想象的是它進展得不是很好，對，如果你想要它們，這兩個間隔必須相互碰撞。

Strogatz (40:21)：

我在想象兩條下頦帶（下巴帶chin strap）。

Piccirillo ：

沒錯。

Strogatz (40:24)：

是的，一條線上有兩個點，它們都是點——每一對點都有一條下頦帶垂下來，從一個點到另一個點。然后當我將另一條下頦帶交叉時，下頦帶相互交叉。這很糟糕嗎？這不好嗎？

Piccirillo (40:40)：

那很糟糕。是的，你不能擁有它。我會稱那個鏈接不是切片，因為下頦帶是接觸的。

Strogatz ( 40:47)：

哦，天哪，這太棒了。謝謝你，這真的很有幫助。

Piccirillo (40:51):

是的，在零維度中，你可以學到一些東西，這有點令人驚嘆。但我們走了。

Strogatz (40:56)：

聽起來我們需要更多地討論 拉斯穆森不變量（Rasmussen invariant），你還沒有提到它，以及諸如此類的東西。

Piccirillo (41:02)：

好的。它分為兩部分。從我知道的這個事實開始，因為每個研究軌跡的人都知道這個事實，如果你有一對具有相同軌跡的紐結，那么它們要么都是切片的，要么都不是切片。因為我知道這個事實，顯然康威紐結很奇怪。那么我不想嘗試證明康威紐結是否是切片的，我要做的是建立另一個與康威紐結具有相同軌跡的紐結。我要研究另一個紐結，希望它不會那么奇怪和難以處理。

我回家要做的就是造出另一個紐結。我一直沒得到，直到星期四。在星期四晚上，我有了另一個紐結。現在我只需要證明另一個紐結不是切片。為此，正如你提到的，我剛剛使用了一個不變量，這是我們用來檢測紐結屬性的工具之一。有一種常見的阻礙成為切片的不變量，稱為“s”不變量，由 Jake Rasmussen 定義。這就是我使用的，然后它起作用了。

Strogatz (42:07)：

這是第一次嗎？你第一次嘗試就很幸運？還是你嘗試了其他一些不變量但它們不起作用？

Piccirillo (42:13)：

嗯……兩者都有。我知道許多其他不變量無法工作。并且如果紐結具有相同的軌跡，有許多不變量是相同的。因為康威紐結的例子……事實上，我沒有檢查，但由于雪莉似乎認為很難證明康威紐結不是切片，我假設她檢查了康威紐結的不變量，那么我不應該使用任何保持軌跡相同的東西。我最近在一些早期的工作中表明，拉斯穆森不變量不具有這種保持軌跡的特性。這是一個不錯的選擇。

Strogatz (42:48)：

好的，麗莎，謝謝。老實說，這非常有趣，而且令人興奮。我只能說非常感謝你的分享。真的很喜歡和你聊天。

Piccirillo (42:59)：

謝謝。很高興來到這里。