數學是自然科學的基礎，也是重大科技創新的基礎和原始驅動力。面對全球科學技術的迅猛發展態勢和滿足國家重大戰略需求，《中國數學2035發展戰略》面向2035年力圖闡明數學的科學內涵與戰略價值，分析數學學科的發展規律與態勢，提出基礎數學和應用數學未來的發展目標與發展方向，為我國從數學大國邁向數學強國提供發展路線圖。

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“中國學科及前沿領域發展戰略研究（2021—2035）”項目組編

北京: 科學出版社，2026.4

（中國學科及前沿領域2035發展戰略叢書）

責任編輯：朱萍萍 姚培培

本書可為數學相關領域的戰略與管理專家、科技工作者、企業研發人員及高校師生提供研究指引，為我國整體自主創新能力的提升提供基礎性、戰略性、前瞻性與關鍵性支撐，是社會公眾了解數學學科發展現狀及趨勢的重要讀本。本文節選分享“數學科學的發展態勢”。

數學科學的發展態勢

▋一、現代基礎數學的研究呈現團隊攻關的態勢

歷經幾千年的積淀，基礎數學形成了龐大的知識體系，知識層次不斷增加，且學習基礎數學需從最初級逐漸地深入下去，這造成一個孤獨的學習者畢其一生仍不容易抵達國際學術前沿。現代基礎數學研究探索的經驗告訴人們：基礎數學需要團隊協作和探索，在高水平團隊的熏陶下進入國際學術前沿。現代基礎數學的研究，需要組建高水平團隊，在前沿主流方向上實現突破，積極參與國際重大數學難題的攻關。國際學術前沿關注的數學難題是整個數學知識體系這座宏偉大廈建設中的關鍵基石。

做好基礎數學研究團隊的建設，能使有天賦的青年學者盡早地進入國際學術前沿，并通過團隊內部激烈的思想碰撞和相互啟發產出一流的學術成果。

▋二、現代基礎數學的發展呈現大統一趨勢

隨著基礎數學知識體系的不斷擴展，數學內部已形成了眾多數學分支。由于各基礎數學分支仍在不斷地抽象和深化，這在一定程度上造成了不同的數學分支彼此難以進行學術交流。打通不同數學分支的內在聯系是現代基礎數學的前沿課題。同時，國際重大數學問題往往涉及幾個不同的數學分支，需通過不同分支的內部融合才能有效地解決重大問題。以下列舉兩個例子。

01

朗蘭茲綱領（Langlands program）

這是一組關于局部對稱空間的調和分析與數論中伽羅瓦表示（Galois representation） 之間一一對應的猜想，是數論乃至整個基礎數學的核心數學問題之一。它揭示了調和分析與數論這兩個表面不相干的領域之間的內在聯系。懷爾斯（A. Wiles）證明費馬大定理（Fermat last theorem）的前提條件是證明了谷山- 志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture），揭示了橢圓曲線與模形式之間的關系，而這實際上恰好對應于GL(2) 情形下的朗蘭茲綱領。

02

龐加萊猜想（Poincaré conjecture）及三維空間形式的分類

空間形式（即數學中稱的流形）的分類是基礎數學的核心問題之一。早在19世紀中葉，德國數學家默比烏斯（A. F. M?bius）等已對二維空間形式進行了完全的分類。在20世紀初，法國數學家龐加萊（J. H. Poincaré）開啟了三維空間形式分類的研究，并對其中一種比較簡單的情形給出了猜想，即龐加萊猜想（Poincaré，1904）。在20 世紀70 年代，瑟斯頓（W. P. Thurston，菲爾茲獎得主）。給出了三維空間形式全面分類的猜想，即幾何化猜想（Thurston，1982）。這個猜想相當于化學學科中的門捷列夫元素周期表，在空間形式方面具有奠基性地位。從基礎數學的分支領域上講，三維空間形式的分類屬于拓撲學的范疇。在20 世紀80 年代，來自其他數學分支的哈密頓（W. R. Hamilton）提出了用幾何分析的方法來處理龐加萊猜想及幾何化猜想，并用了近二十年的時間建立了解決三維空間形式分類的框架。2002～2003 年，來自另一數學分支的佩雷爾曼（G. Perelman）把度量幾何結合到幾何分析中，宣稱能完成解決龐加萊猜想和幾何化猜想的哈密頓框架，并在互聯網上給出了簡略的論證。佩雷爾曼的突破性貢獻震動了整個國際數學界。但他僅把簡略的論證放在互聯網arXiv上，而arXiv如同提供了一個大字報欄，平均每天有幾百篇新的數學論文自由地出現在arXiv上，無需任何的審稿。這樣，其論證的完全性和正確性是當時國際數學界廣泛關注的問題。后經三年多的努力，國際上三個相互獨立的研究團隊于2006年完成了佩雷爾曼論證的細節補充，從而使龐加萊猜想和幾何化猜想成為定理。小結一下，三維空間形式的分類是一個拓撲問題，但是其最終是由兩個其他數學分支幾何分析與度量幾何的結合來解決的。

▋三、應用數學研究內涵呈現快速擴展、交叉融合趨勢

應用數學的發展歷程在一定程度上反映了人類理性認識自然、理解現實世界的歷史。歐幾里得幾何學、開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律等都是人類運用數學工具認識自然現象取得輝煌成功的例子。許多著名的數學公式，如經典力學中的牛頓第二定律、電動力學中的麥克斯韋方程、流體力學中的歐拉方程與納維-斯托克斯方程、量子力學中的薛定諤方程（Schr?dinger equation）等，都抓住了現實世界中自然現象的本質規律，成為自然科學的核心內容和基本理論框架。

現代應用數學正全面地從傳統基礎理論研究進入量化應用的階段，從傳統的力學、物理學、生物學、經濟學、信息學等領域延拓到材料、能源、航空航天、國防安全、生物醫藥、海洋、人工智能、先進制造等領域。應用數學正在快速擴展和交叉融合到自然科學、工程技術及社會科學的方方面面，舉例如下。

1

偏微分方程被用于描述電磁信號、地震波、力學、控制過程、生態與經濟系統、流行病學等，并考慮空間、時間、時滯的影響來更準確地建模求解，最后將算法模塊化，如多波長非線性薛定諤方程的簡化、大氣海洋多尺度模型、兩相流模型等。

2

在許多工程技術問題和科學計算中，需要大量的非線性優化、方程求解和特征值計算等。在當前人工智能、第五代移動通信技術（5th generation mobile communication technology，5G）、大數據、物聯網等背景下，應用于科學計算領域的高并行、高計算密度和高應用頻率的典型算法，面臨著超大規模數據的優化問題，模塊化算法是解決這些實際問題的關鍵。

3

數學向社會科學的數學化滲透也呈加速發展的態勢。文本表征的可解釋性與泛化性能、區塊鏈數學技術在金融風險監管領域的應用等都是當前社會背景下突顯出來的重要應用。

4

應用數學在國家重大戰略需求中發揮著關鍵作用。例如， 第二次世界大戰期間，數學家圖靈通過破譯密碼幫助歐洲戰場實現逆轉，同時產生了計算機原型—圖靈機。1946 年計算機的發明， 使得應用數學迎來嶄新起點。我國的應用數學也是伴隨著“兩彈一星”工程等國防事業發展起來的。我國從那時開始建立了相關的應用數學學科：偏微分方程、計算技術（包含計算數學）和概率統計等。國家重大戰略的需求切實驅動了我國應用數學的發展。

5

在社會經濟發展過程中，原始創新和自主創新需求正驅動著應用數學的發展。一方面，以知識為基礎的社會正在科技的推動下加速形成；另一方面，轉變經濟增長方式是企業長期探索和實踐的話題，也是困擾企業經濟發展的瓶頸。一些企業當前的發展模式，依賴于重復投資、擴大規模項目和廉價的勞動力。這種以要素投入驅動的模式不僅難以形成可持續的競爭優勢，而且注定難以為繼，因此必須通過原始創新和自主創新來推動經濟增長方式的根本轉變。

從人類認識現實世界、探索自然科學問題，到國家重大戰略需求，再到社會經濟發展的原始創新和自主創新，應用數學研究呈現出快速擴展、交叉融合的趨勢。

▋四、應用數學呈現技術化趨勢

在今天的高科技時代，計算機的應用正影響和改變著人類日常生活的方方面面。前面已經提到，在電子計算機從設想、理論設計、研制到實現程序存儲的整個發展過程中，數學家哥德爾、圖靈、馮·諾依曼和香農等起到了主導作用。人們在享用現代高科技成果時，往往只看到技術成果，而看不到其背后起到關鍵作用的數學知識。早在1984年，美國國家研究理事會的《復興美國數學：90年代的關鍵資源》中已寫道：“進入高技術時代的時候，我們也就進入了數學技術的時代。”數學與計算機技術相結合，已形成了一種普遍的、可以實現的關鍵技術—數學技術。

例如，在信號傳播技術中，信號在光纖中的傳播過程可表述為非線性偏微分方程。通過求解方程，可以從失真的信號中提取信號，提高光纖傳輸容量。數學可以幫助建立信號在光纖傳播的非線性模型，并簡化方程和求解過程；利用數值方法降低非線性仿真復雜度，縮短仿真時長，提高仿真效率，提高相關器件的性能。

又如，醫療診斷中常用的計算機斷層掃描（computer tomography，CT）技術和磁共振（Magnetic Resonance，MR）技術的原理是數學上的積分幾何。通過記錄X射線對掃描對象提取的多角度斷層信息，基于積分幾何理論編寫的計算機軟件將掃描斷層的信息按數學原理進行整合，形成掃描對象的立體影像。基于更深層次數學理論的、更先進的成像技術正應用于血管造影數字減影技術、虛擬現實技術、石油地震勘探的數據處理、自動駕駛等領域。

再如，區塊鏈技術的核心是按時間順序記錄數據與合約，只能讀取和寫入，不能修改和刪除。在金融領域，區塊鏈的安全、透明、高效三大優勢，使其特別有助于規范互聯網金融的發展， 促進物聯網和共享經濟的普及與創新。

進一步體現數學技術的是其在大數據和人工智能中的廣泛應用。數據科學既要用概率，也要用統計、計算和優化等。在圖像識別、語義分析和知識圖譜等人工智能領域，運用深度學習技術， 隨著節點數的增加，可以模擬極其復雜的決策過程。研究深度學習算法的理論，需要綜合運用優化、概率和計算等。大數據和人工智能等促進了應用數學不同方向的滲透與協同發展。

總之，近年來發展迅猛的高新技術本質上是一種數學技術。數學技術是聯系數學與實際應用的重要橋梁，是數學走向實際應用的必經之路。

本文節選自《中國數學2035發展戰略》（“中國學科及前沿領域發展戰略研究（2021—2035）”項目組編. 北京: 科學出版社，2026.4）一書“第二章 　數學科學的發展規律與發展態勢”，標題為編者所加。

（中國學科及前沿領域2035發展戰略叢書）

責任編輯：朱萍萍 姚培培

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（本文編輯：劉四旦）

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