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青年數學家王虹與扎爾聯手攻克百年三維掛谷集猜想，奠定調和分析理論根基，憑頂尖成果成為2026年菲爾茲獎最大熱門，有望成為數學史上第3位女性菲爾茲獎得主。

圖源：圖靈APP

作者：圖靈APP（theturingapp.com）2026-5-20

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-5-22

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1 改寫數學史的里程碑

純數學領域中，不少難度極高的難題，第一眼看上去都十分淺顯。試想拿起一支筆，緩緩轉動，讓筆尖朝向四面八方，這支筆轉動過程中需要占據多大空間？

人們最先想到的答案，大概率是它會掃出一個實心球體。但早在一個多世紀以前，數學家就發現，這個簡單的謎題，實則揭示了高頻波的奇特運動規律，也由此成為學界重點攻堅的研究方向。

2025年2月，一篇論文發布于預印本平臺，成功攻克三維掛谷集猜想。王虹與其合作者約書亞?扎爾（Joshua Zahl）發表的這篇證明論文 https://arxiv.org/abs/2502.17655，標題為《凸集并集的體積估計與三維掛谷集猜想》Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions。

論文面世短短數日，全球各地的數學家都意識到了這項研究的重大意義。其影響力空前深遠，麻省理工學院的拉里?古斯（Larry Guth）為此撰寫了一篇長達21頁的綜述文章 https://arxiv.org/abs/2505.07695 《掛谷猜想證明導論》Introduction to the proof of the Kakeya conjecture，幫助同行讀懂這份證明。

到2026年1月，古斯、王虹與扎爾又推出精簡版論文 https://arxiv.org/abs/2601.14411 《三維空間掛谷集猜想的簡化證明》 A streamlined proof of the Kakeya set conjecture in R3，全文共計47頁，讓核心思路更加通俗易懂。

萊斯大學數學家內茨?卡茨（Nets Katz）評價道：“這項成就根本無需刻意宣揚。” 紐約大學庫朗數學研究所所長埃亞爾?盧貝茨基（Eyal Lubetzky）稱其為 “21 世紀最頂尖的數學研究成果之一”，普林斯頓高等研究院也表示，這一難題曾讓諸多在世頂尖數學家束手無策。

簡單來說，該定理證實：三維空間內任意一個掛谷集，也就是在所有方向上都包含單位長度線段的集合，它的閔可夫斯基維數與豪斯多夫維數必然嚴格等于3。王虹與扎爾嚴謹證明出，在三維空間中，將筆這類一維線段朝各個方向旋轉排布時，所能構成的幾何圖形，其規模存在固定的數學下限。

學界一致認定，這是一場百年難遇的重磅數學證明（詳情參閱）。二維掛谷猜想早在1970年代就已被破解，而三維情形的研究價值遠超二維。多出一個維度后，幾何結構變得愈發復雜，異面直線帶來了諸多研究難點。在三維空間里，各類管狀結構可以朝向任意方向延伸，還能以錯綜復雜的方式相互交疊，排布緊湊程度遠勝于平面空間。

這場重大突破，也讓年輕的研究者王虹一躍成為未來數十年最具發展潛力的數學家之一。早在攻克掛谷猜想之前，她就憑借在限制理論與局部光滑性猜想領域的研究成果，斬獲2022年瑪麗亞姆?米爾扎哈尼前沿數學獎。而2025年完成的這份證明，更是讓她的學術地位再登新臺階。

論文發表之后，她接連斬獲2025年塞勒姆獎、2025年奧斯特洛夫斯基獎、國際華人數學家大會數學金獎，以及2026年美國女性數學協會薩多斯基獎https://awm-math.org/awards/awm-sadosky-research-prize/ 。如今她已是2026年菲爾茲獎的頭號熱門人選，菲爾茲獎素有數學界諾貝爾獎之稱，將于2026年7月評選揭曉（參閱：）。

菲爾茲獎沒有官方候選名單，國際數學聯盟也會嚴格保密評選結果，所有相關評選預測都僅為業內推測。但王虹兼具出眾的思維直覺、持之以恒的鉆研毅力與扎實深厚的專業功底，是最當之無愧的獲獎人選。

2 猜想層級體系：調和分析為何離不開掛谷問題

很多人不禁心生疑惑：長久以來學界執著研究旋轉筆桿這類問題，看起來是否怪異，甚至毫無意義？為何要耗費大量時間與精力投身其中？這份研究究竟有何價值？

答案在于，掛谷猜想實則是調和分析領域一系列核心難題的理論根基。這段學術研究歷程始于1917年，日本數學家掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）首次提出經典的筆桿旋轉問題。人們原本以為，全方位旋轉筆桿，在三維空間會填滿球體，在二維平面會填滿圓形。可數學家找到了巧妙的構造方法：通過精準逐步平移轉動筆桿，就能打造出結構極度纖薄的幾何集合。

圖源：DVDP | Quanta Magazine

1928年，俄羅斯數學家艾布拉姆?別西科維奇（Abram Besicovitch，1891 - 1970）圓滿解答了最初的二維空間體積問題，得出了極具顛覆性的結論：這類圖形的面積能夠無限趨近于零。從數學層面來講，我們可以構造出體積為零，卻囊括所有方向單位線段的幾何圖形。

隨著研究不斷深入，學界的研究重心從體積轉向維度，掛谷集這一核心概念就此誕生。在高等數學范疇內，體積和維度有著截然不同的定義。體積僅代表物體實際占據的空間大小，而豪斯多夫維數、閔可夫斯基維數這類維度概念，用來描述幾何圖形的復雜程度、粗糙形態以及空間縮放規律。

我們可以借助多孔奶酪或是海綿來理解分形維度：不斷在物體上雕琢出細密孔洞，最終留存的實體物質極少，體積極小，但海綿依舊擁有長、寬、高三個完整延展方向，整體結構依舊屬于標準三維結構。

掛谷猜想的核心內涵便是：即便用巧妙方式構造出體積趨近于零的掛谷集，它的分形維度依舊和所處空間的整體維度保持一致，放在三維空間中，其維度就固定為三維。這也正是王虹與扎爾破解的核心悖論：一個幾何圖形幾乎不占據任何空間體積，卻依舊保有完整的分形維度。

該問題之所以成為學界研究核心，是因為它搭建起了完整的猜想層級體系。掛谷猜想位于整個體系的最底層，是一切研究的基礎，向上依次排布著限制猜想、博赫納-里茨（Bochner-Riesz）猜想，層級最頂端則是局部光滑性猜想，各大核心猜想環環相扣，下級猜想是上級猜想成立的前提。

“針尖上的猜想之塔”，若下一層不成立，則上層的猜想都將不成立。

倘若三維掛谷猜想被推翻，倘若三維空間中存在違背該猜想的極端反例，那么依托波動方程與傅里葉變換建立起的整套理論體系，都將面臨崩塌的風險。王虹與扎爾最終證實，在三維空間之內，無論如何精巧排布纖細線段使其相互交疊組合，最終形成的分形結構必定具備三維空間維度。

這件事看似違背常理，卻是經過嚴謹推導得出的數學真理：我們可以搭建出零體積的空間框架，但這個框架永遠具備三維屬性。如今三維掛谷猜想成功得證，處在這一猜想體系上層的諸多棘手數學難題，也迎來了極高的破解概率。

3 走近王虹：從地學學子蛻變為數學天才

王虹于1991年出生在中國廣西桂林，這座城市憑借如夢似幻的喀斯特山水風光聞名天下，民間流傳著 “愿做桂林人，不愿做神仙” 的千古名句。她成長在教師家庭，父母均為中學教職工，求學階段多次跳級深造。

十六歲時，她在競爭激烈的高考中取得 653 分的優異成績，名次穩居全省考生前百分之一，順利考入頂尖學府北京大學。和眾多依靠國際數學奧林匹克競賽嶄露頭角的數學新星不同，她最初進入北大就讀的是地球與空間科學學院，并非數學專業。入學一年后，她決定轉入數學專業，這也成為她人生道路上至關重要的轉折點。

王虹曾坦言，跨專業學習的初期十分艱難，學習過程屢屢碰壁，學業成績也一度不盡如人意。北京大學是她正式踏上科研道路的起點，順利轉入數學科學學院后，她于2011年取得北京大學學士學位。

在北大求學期間，她徹底分清了應試考試與學術研究的本質區別。考試題目條理清晰、答案明確，講究快速作答；而數學科研往往需要耗費漫長時間，嘗試大量雜亂無章、屢屢失敗的研究思路，才有可能找到正確的研究方向。

北大嚴苛系統的數學訓練，沒有讓她的求學之路變得輕松，也讓她深刻意識到，想要攻克頂尖數學難題，過人的天賦與強大的心理抗壓能力缺一不可。在北京的宿舍與圖書館里，她完成了蛻變，從一名單純汲取知識的學生，成長為能夠直面未解難題、承受科研壓力的專業研究者。

從北大畢業之后，王虹遠赴法國求學，2014年順利取得巴黎薩克雷大學碩士學位。在巴黎深造的這段時光里，她收獲學識成長的同時，也陷入了深度的自我懷疑。在后續采訪中她提及，當時的自己對未來的學術道路充滿迷茫，甚至暫停了長達半年的數學研究工作。停工期間，她認真斟酌過轉行學習建筑學。

最終，秉持著 “遵從本心，追隨熱愛” 的人生信條，她重新回歸數學研究領域。堅定初心之后，王虹在2014年遠赴美國，進入麻省理工學院攻讀博士學位，師從拉里?古斯教授。這位導師深刻塑造了她的研究思維，也規劃了她此后的學術發展道路。

在導師的指導下，她主攻傅里葉分析與限制理論兩大方向，2019年順利完成博士論文，取得博士學位。拉里?古斯讓她領略到數學獨有的內在美感，王虹后來坦言，導師教會了她系統化開展學術研究的思維方式，更為重要的是，培養出了她獨到的數學審美能力。

擁有數學審美，意味著能夠精準區分真正具備深層研究價值的難題，和僅僅計算繁瑣卻無核心內涵的普通題目，這份能力也成為了她此后科研路上的行事準則。

從麻省理工學院畢業之后，她的學術事業一路高歌猛進。2019 年至 2021 年，她任職于普林斯頓高等研究院，擔任博士后研究員；2021 年入職加州大學洛杉磯分校，擔任助理教授；2023 年正式入職紐約大學庫朗數學研究所；2025 至 2026 年期間，她同時受聘于紐約大學與法國高校，擔任教授一職。

她的研究領域橫跨傅里葉分析、幾何測度論與相交幾何三大方向。調和分析依托傅里葉變換，將復雜的信號拆解為簡單的波形，就好比將交響樂團混雜的合奏聲，拆分出每件樂器單獨演奏的音符。

聲波、圖像成像以及量子物理領域都離不開波形研究，調和分析也因此成為探索物質世界的基礎理論。她所鉆研的傅里葉變換，如今也廣泛應用于圖像壓縮、核磁共振掃描等諸多實用技術當中。

與之不同的是，幾何測度論主要研究不規則、碎片化點集的大小、形態與維度規律，分形結構就是典型的研究對象。王虹擅長從空間幾何視角開展研究，因此格外聚焦管狀結構、曲線與空間維度相關問題，而掛谷問題恰好完美契合這幾大研究領域的交叉核心。

在幾何測度論中，線段與管狀結構的排布規律，能夠精準模擬出調和分析領域內高頻波的重疊方式與相互作用形態。

4 約書亞?扎爾：攜手同行的世紀學術搭檔

沒有任何一位數學家能夠獨自完成重大研究成果，三維掛谷猜想的圓滿證明，是一場完美的學術搭檔合作成果。這位并肩作戰的合作者，便是約書亞?扎爾。扎爾出生于1986年，2008年取得加州理工學院學士學位，2013年獲得加州大學洛杉磯分校博士學位。他的研究方向與王虹高度契合，深耕調和分析、組合數學、相交幾何以及各類掛谷類相關問題。

舉世聞名的重磅數學證明，幾乎都不是一時靈光一閃得來的，而是建立在歷代數學家的研究成果之上。在2025年這份重磅證明問世之前，無數頂尖學者耗費數十年心血，一步步推進掛谷問題的研究進程。

1971年，羅伊?戴維斯（Roy Davis）成功攻克二維掛谷問題；但三維掛谷問題始終固若金湯，遲遲無法突破。1995年，湯姆?沃爾夫（Thomas Wolff）取得重大研究進展，推算出三維掛谷集維度的數值下界，證實其維度數值最低不低于2.5。

2014年，內茨?卡茨與陶哲軒梳理出清晰的研究思路，提出所有能夠推翻掛谷猜想的反例，都必然具備一種名為 “粘性”（stickiness） 的特殊反常性質，也就是朝向相近方向的管狀結構會過度聚攏在一起。

同一時期，拉里?古斯提出另一項關鍵研究思路，指出三維空間內的掛谷猜想反例，必然具備 “顆粒化” 特征，整體結構由無數小型三維單元組合而成。

王虹與扎爾整合前人得出的維度下界結論，將復雜的猜想問題轉化為各類細管組合模型，以此直觀模擬出旋轉線段的空間排布形態。二人率先攻克 “粘性” 集合相關難題，在 2022 年證實，管狀結構不會依據延伸角度出現反常聚攏現象，拿下首個研究難關。

隨后二人著手攻克剩余難題，也就是古斯提出的顆粒化集合問題。顆粒化集合由無數細碎的管狀片段構成，海量細管在這些微小片段中相互交錯重疊。二人不再著眼于完整長管結構，轉而聚焦微觀層面，分析這些細碎管段的相交規律。

他們獨創了一套循序漸進的迭代推導方法，被學界奉為經典。研究初期，二人沿用湯姆?沃爾夫得出的 2.5 維度下界數值，將其代入管段重疊運算公式之中。依靠細碎管段的組合排布規律，逐步抬高維度下界數值，再運用更新后的數值重復迭代運算，持續拉高維度下限。

陶哲軒將這套推導方式比作永動推演機制，依靠細微的幾何規律推導，反復迭代運算，最終順利將維度數值推進至完整三維標準。

如今這一理論根基徹底穩固，該成果對調和分析與偏微分方程領域都產生了極為深遠的影響。數學家們無需再顧慮掛谷類相關難題，能夠篤定波動方程具備穩定的運算性質。

評判一項數學定理的價值，往往不在于它能否快速落地應用，而在于它能否催生全新的研究方法。王虹與扎爾創立的顆粒分析法與投影推演技巧，如今已經成為數學界通用的標準研究工具。目前王虹的研究重心，已經逐步轉向斯坦因（E. M. Stein）限制猜想。

純數學領域的研究成果，往往需要漫長時間才能顯現實際應用價值，無法立刻催生新型芯片、改良發動機等實體技術。但掛谷問題和傅里葉分析、波動方程、數論、密碼學以及隨機理論都聯系緊密。

這份證明成果，進一步夯實了所有依托波形與信號研發的技術背后的理論根基。即便暫時沒有實際落地用途，數學家們依舊十分重視這項研究，因為摸清波形干涉的極限規律，能夠助力工程師在未來研發出穩定性更強的各類系統。這就好比研發新式燈泡，和鉆研光線本身的運行原理，二者有著天壤之別。

5 榮譽加身與2026年菲爾茲獎熱門預測

自 2025 年 2 月攻克掛谷猜想之后，王虹接連斬獲塞勒姆獎、奧斯特洛夫斯基獎以及國際華人數學家大會數學金獎。美國女性數學協會也將 2026 年度分析數學領域薩多斯基獎頒發給她，以此表彰她開創性的研究思想。與此同時，紐約大學正式聘任她為銀席教授。

接連不斷的榮譽加持，也讓她距離數學界最高榮譽越來越近。菲爾茲獎每四年在國際數學家大會上評選頒發，憑借極高的含金量，被譽為數學界的諾貝爾獎，獲獎者能夠收獲長久且享譽全球的學術聲望。

該獎項有著明確年齡限制，獲獎者在頒獎當年的1月1日，年齡必須未滿四十周歲。下一屆國際數學家大會定于2026年7月23日至30日在美國費城舉辦。（詳情參閱： 以及 ）

1991年出生的王虹，完全符合年齡評選標準，而2026年這個時間節點，也剛好契合學界消化理解這份重磅證明的節奏。

在知名預測平臺波利市場上，2026 年菲爾茲獎得主相關預測數據顯示，2026 年 4 月期間，王虹的獲獎預測概率穩定維持在百分之八十至百分之八十七點五之間，換算成賠率足以看出，業內絕大多數人都認定她是頭號奪冠熱門。

緊隨其后的雅各布?齊默爾曼，憑借安德烈 - 奧爾特猜想相關研究成果，獲獎預測概率在56%至75%之間，薩姆?拉斯金與杰克?索恩的預測概率僅有48%左右，和王虹差距懸殊。

私下生活里，王虹十分注重運動健身，也樂于分享自己的生活理念。身心疲憊時，她不會強行逼迫自己鉆研數學，懂得合理停下腳步休息放松。平日里她熱愛體育運動，擅長乒乓球、擊劍，還會參與線上跆拳道課程的學習。

談及擊劍運動，她曾說道：“擊劍運動講究各類標準動作姿勢，每一個姿勢都必須精準規范，結束訓練之后，我總會反復琢磨自己做得不夠標準的動作。” 她始終堅信，充足的休息深度思考的必要條件。

對待做事拖延、提前規劃這類現實問題，她也有著務實通透的見解。面對后輩學子，她給出的建議十分質樸：求學治學，最可貴的品質是強大的內心韌性。這些生活細節，也讓世人看清她從容應對科研難題的處事方式。

斬獲一項重大科研成果，從來不是王虹的科研終點，她始終向著全新的學術難題發起挑戰。根據近期學術報告與學術會議分享內容來看，她早已跳出掛谷問題的研究范疇，全身心投入斯坦因限制猜想的研究工作之中。

該猜想由伊萊亞斯?斯坦因（E. M. Stein）于1960年代提出，也是當下調和分析領域亟待攻克的核心難題。目前她正攜手印第安納大學的吳澍坤，嘗試運用幾何思路破解限制猜想。

二人不再局限于傳統調和分析研究手段，轉而依托純粹的幾何視角，重新測算空間內細碎管狀結構的相交頻率。

整體而言，她的研究依舊持續串聯起傅里葉分析、幾何測度論與相交幾何三大領域。

四維掛谷猜想以及各類衍生限制難題依舊等待探索探索，屬于王虹的數學探索之路，依舊前路漫漫，精彩未完。

參考資料

https://www.youtube.com/watch?v=WRM-VRl5qV8

https://arxiv.org/abs/2502.17655

https://arxiv.org/abs/2601.14411

https://arxiv.org/abs/2505.07695

https://arxiv.org/abs/2512.09397

https://arxiv.org/abs/2401.12337

https://arxiv.org/abs/2210.09581

https://awm-math.org/awards/awm-sadosky-research-prize/

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