新智元報道

【新智元導讀】OpenAI用125頁思維鏈踹開Erd?s 80年猜想的門，Mythos如今找到了一條更短更優雅的路。最離譜的是，它拿到第一個可行解就停手了——面對名滿天下的開放問題，AI也會緊張。

AI做數學這件事，速度已經徹底「失控」了！

OpenAI前腳剛推翻了一個懸了80年的數學猜想，Anthropic后腳就亮出證明。同一周，DeepMind還一口氣啃下了9道同類難題。

就在剛剛，Anthropic研究員Levent Alpoge在上甩出十條推文：

OpenAI花了125頁才解開，他周末拿Mythos隨手一試。

不僅分分鐘搞定，而且路徑還更短更簡潔！

斷網隔離，Mythos開測

這位Levent Alpoge來頭可不小。

1992年出生，哈佛本科4.0滿分、劍橋Part III、普林斯頓博士（導師是菲爾茲獎得主Manjul Bhargava），2015年拿了Morgan Prize（美國本科生數學研究最高獎），哈佛Junior Fellow，并且解決了希爾伯特第十問題在所有數域上的推廣。

2023年GPT-4發布，他立刻被擊中了。

對我來說，它瞬間成了人類有史以來創造的最有趣的東西。回到CS！

緊接著，他便加入了Anthropic。

這周OpenAI破解Erd?s難題之后，Levent做了一件「顯而易見的事」——讓Mythos也試試。

為了確保公平，測試條件很嚴格。

多個Claude Code實例各自獨立工作，全程斷網，杜絕從OpenAI公開解法里「抄作業」的可能。

結果，模型不止一次找到了和OpenAI類似的解法，但它更偏愛另一條完全不同但更加簡潔的路。

更有意思的是，模型明明已經找到了一個能推翻猜想的方案，卻在第一個可行答案上就停了下來。

明明往前再走一步，就能拿到更強的結果。但Mythos太緊張了！

面對這道名滿天下的開放問題，它不敢相信自己的結論，保守地停在了第一個可行方案上。

看到這，Levent直接樂了：「這種感覺，所有數學家都懂！」

目前，Opus 4.7已完成了證明全文的整理排版：

https://www-cdn.anthropic.com/files/4zrzovbb/website/ca35f196125c899a5ad11f011080202a652aef02.pdf

80年沒人贏過的賭注

時間撥回1946年。

匈牙利數學家Paul Erd?s提了一個聽起來極簡單的問題，在平面上撒n個點，最多能有多少對點之間的距離恰好是1？

舉個例子，你在桌上擺100枚硬幣，每兩枚硬幣圓心之間如果剛好隔一個硬幣直徑，就算一對「單位距離」。100枚硬幣最多能湊出多少對？

Erd?s自己給了一個答案：把點排成方格網格，經過適當縮放后，單位距離對的數量大約是n^(1+c/log log n)。

也就是，100枚硬幣大概能湊出100多一丟丟對。

然后他下了賭注，這就是極限了，沒人能做得更好。

之所以這么自信，因為這里有個關鍵瓶頸——高斯整數Z[i]。

Erd?s的方格網格依賴這個數系，而一個固定范數在Z[i]里能分解出多少種方式，取決于除數函數，上限大約是 exp(O(log n / log log n))。

這就是那個「多出一丁點」的天花板。

80年來，所有人都在這個框架里打轉。

數論重武器，降維打擊幾何學

對于人類數學家來說，代代相傳的直覺是「答案要在高斯整數Z[i]里找」。

Mythos沒讀過這個傳統，一上來就把Z[i]換成了次數遠比2大的數域K的整數環O_K。

聽起來像「用大炮打蚊子」，但就是這種跨學科的暴力，撬開了80年的僵局。

方法是，先利用Golod-Shafarevich判則，在一個二次域上面搭一座無限高的「數域塔」K? ? K? ? K? ?……

然后對每一層K_n取一個四次根擴張F_n = K_n(D^{1/4})，次數為d_n。

這座塔之所以管用，靠的是一個關鍵性質：

不管塔造多高，數域的「復雜度密度」始終有界，結構始終可控。一旦參數夠大，幾何計數就能啟動。

接下來是整個證明的核心。

在Erd?s的Z[i]里，單位群只有{±1, ±i}四個元素。能往外伸的「單位距離方向」就這么幾個，直接被除數函數死死卡住。

但在高維數域里，單位群的秩隨維度增長，van der Corput定理直接把秩轉化成方向數。

如此一來，4個方向就變成隨維度爆炸式增長。

這段看不懂沒關系，記住一件事就行——

Erd?s被困在一個只有4個出口的房間里，Mythos把墻拆了。

接下來是具體的構造。

首先，選一個實嵌入把這些數投射到平面上，就得到了點集P。

然后，取一個單位向量平移這些點，新舊兩點之間的距離恰好是1。

因為方向數增長極快，滿足條件的點對數量遠超Erd?s的上限。

兩者相乘，就得到了多項式增益。

更直覺地說：

單位距離方向數增長為exp(Ω(d log log d))，而所有其他損耗全是exp(O(d))量級。d log log d碾壓d。

Erd?s的猜想，就這樣被推翻了。

整個論證沒有任何解析上的復雜性。和OpenAI那條125頁路徑相比，簡潔得多。

用Levent自己的話說：

高層來看，這本質上還是Erd?s原始構造加上一座類域塔。

只不過這里做的是字面意義上最蠢的事——把大小不超過半徑一半的點加到大小不超過半徑一半的單位上。

而它之所以管用，是因為類域塔的幾何計數增長實在太快了。

一周三連，各自破城

過去這一周的時間線，信息密度高到離譜。

5月20日OpenAI官宣，一個未公開名稱的通用推理模型，自主反駁了Erd?s單位距離猜想。

同一天，普林斯頓教授Will Sawin在arXiv貼出手工改進版，把指數從6×10?3?干到了0.014。103?倍的差距。

Georgia Tech數學家Tom Trotter，Erd?s本人的合作者感慨道：「如果Erd?s還活著，他一定會激動到發瘋。」

5月21日DeepMind上場，AlphaProof Nexus一口氣啃下9道Erd?s題，每道推理成本最多只需幾百美元。

5月26日，Anthropic也宣布實現獨立證明，路徑比OpenAI的125頁短得多。

三家路線完全不同，但結果都收斂到了同一個點。

從笑話到《數學年刊》

要知道，在七個月前AI做數學還是個笑話。

2025年10月，OpenAI時任VP Kevin Weil在上宣稱GPT-5解決了10個Erd?s問題。

看到推文后，負責維護erdosproblems.com的數學家Thomas Bloom當場回懟「嚴重歪曲事實」，模型只是檢索到了已知解法。Yann LeCun和Demis Hassabis都跟著嘲諷了一波。

很快，Weil就刪了帖，并在四個月后離開了OpenAI。

當時所有人的判斷都一樣：模型會做題，但不會做研究。

轉眼到了今天。

Bloom簽了驗證報告。Gowers寫下了「提交到《數學年刊》我會毫不猶豫推薦接受」的盛贊。Litt說這是「AI自主產出的第一個讓我覺得本身就有意思的結果」。

甚至，Litt還在Nature的采訪中表示：「沒有人類能像LLM那樣吸收全部數學文獻。AI正在打破學科之間的壁壘。」

三年前GPT-4還做不了本科數學題。

如今，讓最偉大的數學家都感到絕望的Erd?s問題，卻正在變成AI的入學考試！

打破80年僵局的，是一個不知道「這題應該怎么想」的模型。

沒有包袱，反而能從代數數論里借來重武器去打一道幾何題。

Erd?s留下了超過1000道未解題。這周又解了1道。

參考資料：

https://x.com/__alpoge__/status/2059298565093196012?s=20

https://x.com/_sholtodouglas/status/2059303540150137244?s=20

https://www-cdn.anthropic.com/files/4zrzovbb/website/ca35f196125c899a5ad11f011080202a652aef02.pdf

編輯：摩西