學人簡介：沈乾若，博士，獨立學者。加拿大博雅教育學會名譽會長。從事比較教育研究，研究方向為教育體制與政策，基礎科學與數學教育。北京大學物理系畢業，北京航空航天大學工學碩士，加拿大西蒙菲沙大學應用數學博士。在中國大陸和加拿大有數十年大、中學教學及辦學經驗。標題為編者所擬，原標題為《 美國共同核心課標為何不能阻止數學下滑——小學算術的認知路徑偏差》。

目錄：

一．引言

二．視覺模型的誤用與泛濫

l視覺模型用于計算

l圖示與對象的錯配

l圖示對現實情境的取代

l圖示的持續使用阻礙抽象思維

三．程序性運算規則的貶低與削弱

四．目標迷失的多重解法

五．記憶、理解與結構

六．分數及其運算如何難倒了美國學生？

七．結束語

一．引言

半個多世紀以來，美國K-12數學教育經歷了三次大規模的改革：20世紀60-70年代的“新數學”運動，80-90年代的“改革數學”運動，和2010年至今的“共同核心數學”[1]。前兩項改革均未能達到設定的目標。共同核心數學標準，迄今為止也已實施十六年，其效果又受到廣泛質疑。

2003-2013年該標準實施之前，全美范圍內四年級和八年級的NAEP 數學成績在緩步上升，實施后卻均已下降[2]。 PISA和TIMSS等國際評估結果亦不容樂觀[3][4] 。該標準在社會上遭遇強烈反彈。許多家長抱怨：數學教學讓人一頭霧水，家庭作業變得莫名其妙；孩子學會了解釋，卻不會算題。教師則反映：課程目標抽象而難以落實，標準的實際操作性很差；課堂節奏被打亂，學生基礎明顯下降。

小學數學源于生活，用于生活，可以非常生動有趣，從而吸引學生的興趣；同時難度又不高。現今美國和加拿大的數學恐懼癥，居然從小學就已開始！問題顯然出在其源頭─課程標準和教材。多年來，美國數學教育改革及其成效引起了廣泛討論，部分研究從課程標準與政策層面進行評估。[5][6][7][8]

“發現式數學”是貫穿前兩次運動的核心教學思想體系。斯坦福大學數學教育博士馬立平系統分析批評了這一體系，指出其弊端首先在于內容與結構，即欠缺重心的所謂“支股并列”[9]。這一結構在小學階段壓縮算術，將方程、數列等中學內容下放至小學；而且各支股內容可以隨意更改，以致極不穩定。

當下的共同核心數學，摒棄了“支股并列”，恢復了小學數學以算術為重心的傳統內容與結構，這一點應予肯定。但發現式數學提倡“理解重于記憶”和“發現式教學”，在共同核心數學中仍然影響深遠。后者不但延續，而且放大并系統化了前者在認知路徑方面的偏差。本文的研究發現，正是這一偏差，使小學數學教育未得改善，反而持續下滑。

本文以共同核心廣泛使用的大概念數學教材為對象[10]，重點關注其算術部分，即整數和分數、小數的四則運算問題。

二．視覺模型的誤用與泛濫

在大概念數學教材中，首先映入眼簾的，是花樣繁多的各種視覺模型或稱圖示：從矩形、圓、方塊，到10x10數表，再到數軸、陣列等等；處理加減乘除任何一種運算，能用的幾乎都用，甚至于貫徹始終。

視覺模型在西方數學教學，尤其小學數學中占有重要地位。運用得當，它們可以使抽象概念具體化，形象化，事半而功倍。比如負數和零的引進，數軸十分必要而且關鍵；用十進制塊演示位值概念，準確恰當，一目了然；對分數及小數和百分數的理解，常用的圓和矩形圖示也頗有助益；等等。

圖示的使用，需要精準的語言闡述和符號運算相配合，才能夠清晰地解釋問題的結構與邏輯，使人理解。但大概念數學教材過分相信圖示的功能，其它手段往往跟不上；故即使圖示本身是精準的，也難達到應有的效果。

圖示一旦被濫用，更適得其反。共同核心數學比發現式數學更甚，在不少情況下，對圖示的依賴大大超出了合理范圍。以下為幾種典型情況：

l將圖示當作計算工具。這是共同核心小學數學中最明顯的設計錯誤之一。圖示的目的與功能為概念的形象展示，是為了理解，掌握其結構和意義；視覺模型不適合承擔計算功能；要麼難以操作，要麼模糊不清，要麼繁瑣費時。

譬如用10x10數表做加減法，乃較為原始幼稚的方法，相當于小孩子掰手指；用數軸做大數加減，學生很難在數軸上準確找出和或差的位置；以陣列來作乘法計算同樣不切實際，此類運算通過乘法表的熟練運用快速而高效。

l工具與對象的錯配當教學工具在結構上無法映射概念本質時，教學不但難以奏效，而且會造成認知退化。

譬如用數軸演示乘法。數軸可以清晰地演示加減法: 向右移動為加法，向左為減法。但它卻無法形象地解釋乘法。盡管當乘法最初被定義為相同加數的和時，數軸概念仍具合理性。但作為二階運算，乘法的本質在于結構縮放而非方向移動；而數軸卻無法體現這一核心特征。在此情境下應用數軸，實則暴露出工具與對象的脫節，致使二階運算停留在一階層面。

l圖示對現實情境的取代小學數學的內容本來與日常生活緊密相關。在引入新概念時，教學理應從學生熟悉的現實情境入手，以激發興趣并促進理解。然而，在大概念教材中，概念往往首先通過圖示來呈現，而現實情境的運用則相對不足，或被推后處理。

例如引入乘法與除法，“一盒裝有12個雞蛋，4盒共有多少個？” ，“40名學生分成5組，每組多少人？” 這類直觀而富有意義的提問，頗能調動思維，然而教材中很少看到。

分配律同樣可以借助日常情境來說明，例如通過不同方式計算一次聚餐的費用。教材卻常常從網格圖入手，盡管在數學上是正確的，但直觀性和吸引力都明顯不足。

分數的教學亦是如此，教材通常借助圓形、網格和數軸等圖示展開，而與實際情境的聯系較為有限。

因此，圖示的使用，往往取代了學習本應有的出發點─具體經驗，從而削弱了概念理解在初始階段的形成。

l持續使用圖示阻礙抽象思維圖示的功能，本應引導學生理解概念，從具體走向抽象，而不該停留在具體的層面。圖示須適可而止，及時地轉移到數學抽象的軌道之中。

比如十進制塊，用于整數位值的解釋直觀到位。然而，講授小數時再接著展示方塊則無必要。一則圖示本身比較復雜，不易理解；再則此時學生已經構建起位值概念，故亦無必要。至于掌握加減法之后再要求學生畫方塊來計算，甚至小數乘整數都用方格來展示，則更畫蛇添足。

類似的例子不勝枚舉。從自然數加減，到分數與小數乘除，大概念數學教材都反復盲目地、持續地使用同樣的視覺模型。然而，圖示只是引入工具，而非認識終點；抽象能力需要脫離圖示的階段。長期依賴圖示，使思維停滯在低層次、幼稚化的感性層面，實際上阻礙學生思維能力的提升。

無論從數學發展的歷史、認知科學的研究，還是課堂教學的實踐來看，對于圖示的恰當作用，早已形成廣泛共識。圖示并非學習的核心，其功能在于在適當階段用以呈現概念的內在結構。圖示不應主導整個學習過程。當前那種反復、無選擇且持續使用圖示的做法，已成為一項顯著的弊端，反映出對數學本質的誤解。

三．程序性運算規則的貶低與削弱

當圖示被視為理解的主要路徑時，長期以來形成的程序性知識與運算規則，往往被視為僵化的、學生難以理解的操作程序而遭貶低或忽視。

美國學生對四則運算的標準豎式算法掌握不足，是這種邊緣化現象的一個明顯例證。

豎式算法經長期驗證可靠而高效，乃基礎數學中數值計算強而有力的工具。其核心原理建立在十進位制及分配律之上：將數分解為位值單位（個位、十位、百位等），分別運算，再通過規范的進位與借位加以整合。由此，計算過程呈現出結構清晰、邏輯透明且可重復的特點。

這些方法本身并不難。通過清晰的講解和循序漸進的例題訓練，學生完全可以逐步達到理解與掌握。然而在實際教學中，他們卻成了難點；基礎性錯誤─諸如位值錯位、做減法時不分減數與被減數而一律用大數減小數等─在作業和測試中頻繁出現。

這些錯誤的教學根源即在于對程序化記憶的貶低─豎式計算僅作為諸多方法中的一種加以介紹和練習，而非核心技能─同時冗余繁雜的圖示也并未達到切實理解的目地。

程序性學習的傳統路徑是清晰的：從原理出發，經由規則形成，再到記憶、練習，進而達到熟練，最終實現自動化。一旦基本原理得到理解，關鍵就在于建立明確的操作規則，并通過反復練習加以鞏固。正如斯坦福大學數學家 R. James Milgram 和 Ze’ev Wurman 所指出的[11]，共同核心標準并未要求學生達到自動化水平─而這恰恰是高水平教育體系中數學能力的基石。

當基本規則未能牢固建立并加以訓練時，從理解走向熟練再到自動化的過程便無法完成。算術基礎上的這一缺陷，使學生數學能力的進一步發展愈加困難。

四．目標迷失的多重解法

作為“理解”的體現，“多重解法”在共同核心中幾乎被神圣化。一個問題能夠通過不止一種方法解決，無疑很理想。然而，多種解法屬于錦上添花，并非解決問題所必需。數學的目標是解決問題：哪一種方法更本質、更高效、更具遷移性？準確而簡潔，方為數學之美。

譬如過河，或趟水，或游泳，或駕船，或搭橋；抵達對岸就達到目的。有何必要把各種途徑都重復一遍呢？然而，共同核心標準要求學生為同一個問題嘗試所有可能的方法。其結果未必深化理解，卻往往成為多余負擔。

譬如100以內的加減法，73+12=(70+10)+(3+2)，稱為“部分和”; 29+34=(20+30+10)+(9+4-10)=60+3稱為“重組”；85-57=28，是由于57+28=85，這叫“用加法做減法”；73-28=73-30+2,稱作“補償法”；如此等等，不一而足。還要使用10×10數表和數軸。實際上，這類簡單的題目，豎式算法一蹴而就，心算亦不難。上述種種大多是些心算技巧; 學生通常能夠自行悟出；不需要正規地一一講授，占用篇幅。

再舉一例。大概念數學在講兩位數乘兩位數時，羅列了位值法（十位數×十位數+十位數×個位數+個位數×十位數+個位數×個位數），面積法（總面積等于四個矩形面積之和）、分配律（14×23=(10+4)×(20+3)= 10×20+10×3+4×20+4×3），以及部分乘積和重組等所謂多重算法。一望便知，它們實際上是一回事；稱為不同算法十分勉強，是將一項簡單任務變得不必要地復雜、冗余；結果學生做題時反而不知如何是好。

七年級講授百分數的運算，乃多重解法的又一例證。譬如，問什麼數的52%為39？教材介紹了百分比例（39:W = 52:100)和百分公式(39 = 52%×W)兩種方法，第三種為引入比例概念時常用的表格。其實百分數不過是分數之一種，此處并無任何新概念需要探究；所謂的三種方法反應的也是同一個關系。七年級學生已然掌握乘除法和分數、百分數以及基本方程知識；最適合的，乃是超越表格和比例式等初等方法；直接作兩數相除（39÷52%）或解方程（X·52% = 39)這樣的簡潔計算。

以上種種將概念碎片化包裝成創新的做法，用來展示多樣性；在大概念教材中屢見不鮮。

五．記憶、理解與結構

“理解”已成為共同核心數學中的一個核心口號。前文所討論的幾類傾向——對圖示的高度依賴、對程序性規則的弱化以及對多種解法的推崇——都服務于這一目標。

在美國K–12數學教育中，一個普遍的現象是：學生的學習困難往往在小學高年級至初中階段變得明顯。此前的內容多屬于常識，即使不經過系統學習，學生也能在日常生活中逐漸習得。 然而一旦進入需要系統教學的內容，許多學生便迅速陷入困境。

對于這一現象，“死記硬背”、“缺乏理解”是比較普遍的解釋。然而，美國學生既不背乘法表，也無需記憶公式（考試中通常會提供），何談機械記憶？他們不是記憶過多，而是太少；童年強大的記憶力在數學上很少用武之地。

將理解與記憶對立起來─推崇前者、貶低后者─是對認知規律的一種曲解。事實上，理解與記憶是相互依存的：理解有助于記憶，而記憶則為理解提供基礎。缺乏記憶與練習，所謂的“理解”往往只是一種印象，模糊而不穩定。對許多學習者，尤其是兒童，“先記憶、后理解”并不罕見。當完整的概念理解暫時難以達成時，仍然需要學習規則并加以練習；而不能停留在似懂非懂的狀態止步不前。

數學終歸是關于概念、結構和關系的理性學科；對概念的把握和抽象思維能力的形成，乃數學教學的目標。數學學習需遵循由現象到本質，由表及里；亦即從具體到抽象，從淺層表現到底層邏輯的認識規律。

核心的概念結構通常是簡潔而統一的；深刻的理解體現為清晰與簡約。相比之下，圖示和解法的繁多，缺乏核心，令教學停留在表層特征之上，并未真正指向概念結構的深化。課程因而整體上呈現“多而雜”的形態；模糊，漂移而莫衷一是。[12] 同時徒增學生負擔，延長了學習時間。

這在一定程度上解釋了何以許多美國學生難以發展起數學抽象能力。

六．分數及其運算如何難倒了美國學生？

國際評估如TIMSS和PISA的結果多次揭示，分數及其運算是美國學生的一個薄弱環節。其中突出的，如未能掌握分數加減的通分法，以及分數乘除法中的各種基礎性錯誤：等等，都清楚地反映了前文所分析的認知問題。

在大概念數材中，從分數的等值，比較大小，到分數加減，每一步都不厭其煩地使用矩形、圓和數軸等視覺模型。故而僅同分母分數的加減法這一相對簡單的運算，即用了數十頁來解釋。相比之下，異分母分數加減─既是學習的核心內容，又是主要難點─卻處理得較為有限且零散。通分法這一標準而高效的方法，只是作為多種解法中的一種，而非需要重點掌握的核心程序。這一偏差，給學生對分數的掌握造成嚴重困難。

講授分數乘除法，教材通常同時采用條形圖（一維）和面積模型（二維）。如前所述，二維的面積模型較為合適。

上圖所示為一個二維面積模型，解釋1/2 與3/4相乘的原理：(1/2)×(3/4)=(1×3)/(2×4)=3/8。藍色部分包含1×3個小矩形，而整體則包含2×4個；故乘積為3/8。

在教材中，圖示的應用往往局限于具體例題，缺乏清晰嚴謹的原理闡述，概括與提升遠為不足。因此，它難以充分說明為何分子與分母需要分別相乘，也未曾解釋清楚為什么除以一個分數等于乘以它的倒數。在這種情況下，對相關運算規則進行記憶與反復練習就更為重要。

美國學生在分數乘除法中常犯的錯誤，如整數乘分數時用它同時乘分子分母；分數乘分數時做交叉相乘；做除法時顛倒被除數而非除數；等等，都反映出概念不清，規則不明。

此外，在通分時，教材往往采用分母相乘，而不是使用最小公倍數；乘法和除法運算中，也未要求學生在中間步驟進行約分；運算過程因而無法擺脫大數計算的繁雜。對約分這一技能的系統性教學的推遲，在分數運算方面留下明顯缺口。

美國學生能識別圖形中的分數；能比較簡單分數大??；但在涉及分數運算但缺乏視覺輔助的情況下，其表現會急劇下降；因為他們未能掌握關鍵運算規則，不知如何操作。

2022年的一項研究提供了一個發人深省的例子[13]。研究要求學生比較2/3、3/4 和 3/8的大小。令人驚訝的是，研究者從學生解答中竟歸納出多達12種不同的方法，包括圖示、符號計算與語言表達等。在214名學生樣本中，約四分之一的學生未能給出答案。將近一半的學生依賴圖示模型，但其中只有28%得出了正確結論。相比之下，在使用通分法的學生中，大約三分之二回答正確。

然而，更令人擔憂的并非學生的表現，而是研究者的認知。該研究將解決之道理解為鼓勵學生掌握多種解法，對這一傾向的局限性和偏差沒有任何警覺與反思。如此一來，它實際上會強化測試結果所揭示的那種混亂，進一步弱化學生對分數及其運算的掌握。

七．結束語

小學數學面向所有兒童，其首要任務在于為學生奠定基本的生活技能。課程標準和教材應當堅持這一目標。趣味性和實用性是其中的關鍵因素，二者相輔相成；只要把握得當，大多數學生都能夠掌握小學數學。至于概念理解和思維能力，本就在學習過程中自然形成，并不需要另設體系。離開基礎而空談思維，恐會導致方向性的偏差。

在K–12教育體系中，小學數學因其簡單，尤易成為改革和大規模重構的對象。然而，作為數學與科學學習的基礎，一旦這一階段受到削弱，其影響將是深遠的。運算不熟練與概念結構不穩，往往會轉化為后續代數、三角、幾何以及各類科學學習中的困難。不怪美國人不喜歡數學，也不是美國的孩子和老師們懶惰，不努力。真實的情況是，學生們剛剛起步，就遭遇了被隨意修改過的數學課程。他們被搞得暈頭轉向，很多學生只好放棄。

始料未及的是，本世紀以來，國內也深受這一套似是而非觀念的影響，搞什麼“大概念教學”、“理解型學習”。這樣下去，國內數學教育的優勢恐難長久維持。

美國長期以來在創新方面處于領先地位。然而，教育并非一個以快速創新為特征的領域，而是一項以知識和文化傳承為宗旨的社會功能。其變革必須設有明確的邊界，并經過審慎的驗證。過去半個多世紀中，美國多次教育改革已提供不少經驗與教訓；近年來共同核心課程的實踐也再次令人反思。凡是涉及基礎知識結構和認知路徑的改革，更應格外謹慎——這一基本原則在當代教育話語中卻常被忽視。

正如Frederick M.Hess所指出的[5]，共同核心在全國范圍內推行時，既無充分的前期試驗，也缺少必要的糾錯機制。這類大規模改革的代價，并不止于效果不佳，而是波及整整一代人的認知發展，關乎國家的科技與經濟實力。

要恢復教育的穩定與質量，需要重新確認上述原則，并在此基礎上推進穩健而審慎的持續改進。

2026年3月

參考文獻

[1] National Governors Association Center for Best Practices and Council of Chief State School Officers. Common Core State Standards for Mathematics. Washington, DC, 2010.

[2] Pioneer Institute. “Study Finds Historic Drop in National Reading and Math Scores Since Adoption of Common Core Curriculum Standards.” April 27, 2020.

[3] Mullis, Ina V. S., Michael O. Martin, Pierre Foy, et al. TIMSS 2019 International Results in Mathematics. Boston: TIMSS & PIRLS International Study Center, 2020.

[4] Organisation for Economic Co-operation and Development (OECD). PISA 2022 Results (Volume I): The State of Learning and Equity in Education. Paris: OECD Publishing, 2023.

[5] Hess, Frederick M. “How the Common Core Went Wrong.” National Affairs, no. 65 (Fall 2025).

[6] Polikoff, Matthew S., Michael J. Petrilli, and Tom Loveless. “A Decade On: Has Common Core Failed?” Education Next 20, no. 2 (2020): 72–81.

[7] McArdle, Elaine. “What Happened to the Common Core?” Harvard Graduate School of Education. September 2014.

[8] 蓮溪. 美國百年數學戰爭[EB/OL]. 皮皮蝦微信公眾號，2017.

[9] 馬立平. 美國小學數學內容結構之批評[J]，數學教育學報，2012，21（4）

[10] Larson, Ron, and Laurie Boswell. Big Ideas Math: Student Edition (Common Core 2019). Erie, PA: Big Ideas Learning, 2019.

[11] Milgram, R. James, and Ze’ev Wurman. The Mathematics Standards in the Common Core State Standards Initiative. Stanford University, 2014.

[12] 沈乾若. 發現式課標拖垮小學數學[J]. 數學通報, 2017, 56(11): 7–11.

[13] Liu, J., and E. Jacobson. “Examining U.S. Elementary Students’ Strategies for Comparing Fractions After the Adoption of the Common Core State Standards for Mathematics.” 2021.