解法多樣任君取

2024年福建省中考數學第25題

在幾何綜合題解題教學中，除了追求一題多解，更要思考多解歸一，在2022版新課標的學段(7-9年級)目標中，也明確指出了讓學生從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法，如下圖：

而一道優秀的幾何綜合壓軸題，命題之初便留下充分的空間供學生思維馳騁，讓具備不同思維特性的學生都能發揮出自已的水平，并給予相應的評價。

題目

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以AB為直徑的圓O交BC于點D，AE⊥OC，垂足為E，BE的延長線交弧AD于點F.

(1)求OE:AE的值；

(2)求證：△AEB∽△BEC；

(3)求證：AD與EF互相平分.

解析：

01

(1)觀察△AOC，由于點O是AB中點，故AC=2OA，即tan∠AOE=2；

再觀察△AOE，它是一個直角三角形，由tan∠AOE=2可得AE=2OE，即OE:AE=1:2；

02

(2)我們首先通過觀察圖形，確定這兩個三角形的對應關系，如下圖：

我們延長EO至點G，使OG=OE，連接BG，如下圖：

由AE=2OE，且EG=2OE，可得AE=EG；

易證△AOE≌△BOG，得AE=BG，于是EG=BG，∠G=∠AEO=90°，得等腰直角△BEG；

所以∠AEB=∠AEO+∠BEG=135°，∠BEC=180°-∠BEG=135°，即∠AEB=∠BEC；

而∠ABC=∠GBE=45°，于是∠OBG=∠CBE，再由前面的全等得∠OBG=∠BAE，所以∠BAE=∠CBE；

最后得到△AEB∽△BEC；

構造△AOE≌△BOG的方法很多，上述方法是倍長中線法，也可以過點B作CE的垂線，交CE延長線于點G，過程類似；

03

(3)證明互相平分的方法很多，我們首先從中點定義出發，分別證明交點N是AD、EF的中點；

0 1

方法一

如下圖：

我們充分利用前面得到的等腰直角三角形，∠BEG=45°；

AB是直徑，則∠ADB=90°，∠AFB=90°，先證明∠AEF=45°，得第二個等腰直角三角形，△AEF，則∠FAE=45°，而∠BAD=45°，于是∠FAN=∠OAE，由同弧所對圓周角相等，進一步可得∠FAN=∠DBN；

我們知道tan∠AOE=2，于是在Rt△AOE中，tan∠OAE=1/2，因此分別得到AE=2FN，BD=2DN；

而AF=EF，AD=BD，所以分別又得到EF=2FN，AD=2DN，即點N是EF中點，同時點N也是AD中點，所以AD與EF互相平分；

0 2

方法二

仍然利用前面所證△AEB∽△BEC時的條件，∠BAE=∠CBE，進一步轉化得到∠FAN=∠BAE，繼續借用第一問的結論，得AF=2FN，又△AEF可證明是等腰直角三角形，于是EF=2FN，即FN=EN，再連接DF，構造新的全等三角形，如下圖：

等腰直角三角形有兩個，分別是△AEF和△ADB，∠AEF=45°，而∠DFE=∠DAB=45°(都對同一段弧BD)，再加上對頂角，可得△DFN≌△AEN，所以AN=DN，即AD與EF互相平分；

0 3

方法三

在方法二的基礎上，連接DE，可證四邊形AEDF是平行四邊形，如下圖：

具體證明過程不再重復，有興趣的讀者可自行完成；

0 4

方法四

在△AOE中，設OE=a，則AE=2a，OA=√5a，如下圖：

我們繼續推導其余各邊長度，在△AOC中，求出AC=2√5a，則OC=5a，于是CE=4a；

由AB=2OA得AB=2√5a，所以BC=√2AB=2√10a，而點D是BC中點，則CD=√10a；

Rt△AEF中，AE=EF=√2a，在Rt△ABF中利用勾股定理求出BF=3√2a，于是BE=BF-EF=2√2a；

觀察△CDE和△BOE，它們有一對角相等，∠DCE=∠OBE(第二小題已證)，CD:CE=√10:4，OB:BE=√5a:2√2a=√10:4，所以CD:CE=OB:BE，則△CDE∽△BOE，于是∠CED=∠BEO=45°，所以∠DEB=90°，可證DE∥AF；

再加上前面證過∠DFE=∠AEF得到DF∥AE，則四邊形AEDF是平行四邊形，于是AD與EF互相平分；

0 5

方法五

建系大法！如下圖：

以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，設O點坐標為(t,0)，則B(2t,0)，C(0,2t)，D(t,t)；

由AE=2OE得tan∠OAE=1/2，則直線AE解析式為y=1/2x，而直線OC解析式為y=-2x+2t，求出交點E坐標為(4t/5,2t/5)；

求直線BE解析式為y=-1/3x+2t/3，直線AF解析式為y=3x，從而求出點F坐標為(t/5,3t/5)；

直線AD解析式為y=x，它與直線BF相交，可求得交點N坐標為(t/2,t/2)；

現在我們可以驗證點N是否為EF和AD中點了，過程略.

解題思考

整道題的三個小問關聯十分緊密，可謂環環相扣，尤其是第一小問，線段的比值若“翻譯”成三角函數值，再借助圓中的等角代換，在解題過程中如魚得水，當然，利用相似三角形可達到同樣的效果；

縱觀整個解題過程，構造出等腰直角三角形十分關鍵，因此△BEG的構造是本題難點，事實上△BEG和△BCA恰好也構成一組手拉手相似模型，只是前面解法中未用到；

本題解題時，也存在部分偽證，例如連接DE之后，直接得到DE⊥BF，并將它作為條件使用；

在解法五中，用到了一次函數圖象互相垂直的結論，方法略超，慎用；

第三小問中，作輔助線、作一條輔助線、作兩條輔助線、建系均可，適用于不同思維習慣的學生，涉及到三角函數、相似、全等、平行四邊形、一次函數相關知識，在壓軸題系列研題視頻中，有老師曾專門針對中點概念進行過研討，包括中點在壓軸題中的不同呈現形式，與哪些數學元素產生關聯等，十分有益。

在課堂教學中，吃透概念是重要目標之一，也是難點，教材上的每個數學概念，需要讓其在學生頭腦中生長出來，通過設置情景，提出問題，輔以有效的課堂激勵機制，讓學生樂于去探究數學概念的形成。在數學史上，每個概念的形成都經歷了長久的過程，我們沒有必要重復這個過程，但在這些漫長形成過程中，需要抓住概念的本質，以合理的方式在課堂上再現，用高效的形式幫助學生理解。