新定義“特征值”

存在性的理解

初中數學概念里的“存在”一詞，幾乎遍布整個學段，例如負數可解讀成存在一類數，它們都是在正數前面添上負號；一元二次方程，當△>0時，存在兩個不同實根；三角形某邊(或其延長線)上存在一根垂線段，它的一個端點恰好是該三角形的第三個頂點……

當然，教材上介紹此類概念時，很多并沒有用“存在”一詞去描述，這并不妨礙我們對這些概念的解讀，何況多角度理解概念原本就是概念教學的一部分。

在數學壓軸題里，存在性的探究是常見的命題方式，多數情況下出現在動態圖形中，包括函數圖象或幾何圖形。

題目

給定圓C和直線l，過圓C上一點P作PH⊥直線l于點H，直線PH與圓C的另一個交點記為Q，將PH·QH稱為點P關于直線l的特征值。特別地，當點H與點P或Q重合時，點P關于直線l的特征值為0；當點P和Q重合時，點P關于直線l的特征值為PH2.

在平面直角坐標系xOy中，

(1)圓M是以點M(1,3)為圓心，2為半徑的圓，

①若點P的坐標是(3,3)，則它關于y軸的特征值是__________；

②點T是圓M上一動點，將點T關于x軸的特征值記為t，則t的取值范圍是________________；

(2)已知圓O的半徑為2，直線l：y=kx+3(k>0)，若圓O上存在關于直線l的特征值是3的點，直接寫出k的取值范圍.

解析：

01

(1)新定義中的各幾何元素包括圓C、圓C上點P、直線l、垂直PH及圓C上另一個點Q，它們之間的關系可通過作草圖來尋找，當我們先畫出圓C并在圓C上找一任意點P之后，面臨的第一個問題就是直線l在哪，這需要我們聯想到直線和圓的位置關系：相離、相切、相交，然后再作直線l的垂線，這樣可得到三種不同的圖例，如下圖：

我們需要明確決定直線l和圓位置關系的兩個要素：圓心到直線l的距離和圓的半徑，在這三個圖例中，隨著點P位置不同，弦PQ的長度有一個范圍，它最短時P、Q重合，它最長時等于直徑，特征值是兩條線段的乘積，分別是PH和QH，即弦PQ兩個端點到直線l的距離，以上是定義中各元素間的關聯。

①本小題中圓M已給定，包括位置和大小，點P給定，y軸給定，作圖如下：

則點P關于y軸的特征值PH·QH=3×1=3；

②以前一小題的基礎上，圓M上的點T是動點，先作圖如下：

點T關于x軸的特征值為t=TB·AB，隨點T的運動，這兩條線段長度均在變化，本著“動中覓靜”的原則，圖中圓半徑為定長2，圓M到x軸的距離為定長3，對應圖中的線段，則AM=TM=2，BC=3，然后我們尋找TB，AB與這些定長線段間的關系，可得TB=TC+BC，AB=BC-AC，其中由垂徑定理可得TC=AC，于是TB·AB=(TC+BC)(BC-AC)=(BC+AC)(BC-AC)=BC2-AC2=9-AC2，然后在Rt△ACM中利用勾股定理得AC2=AM2-CM2=4-CM2，再代入特征值TB·AB中，得t=TB·AB=9-(4-CM2)=5+CM2；

現在我們只需要觀察在T運動過程中CM的長度變化即可，在圓M中，CM是弦心距，顯然它的長度介于0和2之間，弦TA過圓心時，CM=0，當T，A重合時，CM=2，所以0≤CM2≤4，最后我們得到點T關于x軸的特征值TB·AB的范圍是5≤t≤9；

借本小題的結論，我們可以從函數角度去理解特征值t，將CM作為變量，則t是CM的二次函數，并且自變量CM≥0，它的增減性是顯而易見的，即t隨CM的增大而增大；

02

(2)前面解題經驗告訴我們，特征值中兩條線段分別是點P，Q到直線l的距離，因此這兩個點和直線的位置關系才是我們分類的依據，按這個分類依據，分兩種情況，P、Q在直線l同側或異側，我們分別研究；

第一種情況：P、Q在直線l同側，如下圖：

由于圓心O到直線l的距離OD未知，我們先求OD的長，由直線y=kx+3得交點B坐標為(-3/k,0)，利用勾股定理求得AB，再用面積法求OD的長，推導如下：

此時我們把存在的特征值3代入，用含k的代數式表示OC2=(7k2-2)/(k2+1)，顯然這個結果然是個非負數，即7k2-2≥0，在k>0的前提下，解得k≥√14/7；

特別地，當P、Q重合時，特征值為PH2=OD2=9/(k2+1)，可得方程9/(k2+1)=3，即k2+1=3，此時k=√2，因此這種情況下k的取值范圍是√14/7≤k≤√2；

第二種情況：PQ在直線l異側，如下圖：

求OD的方法與第一種情況相同，結果也相同，不同之處在于PH和QH的表示結果，PH=PC+CH，QH=QC-CH，于是PH·QH=PC2-CH2，再把PC2=OP2-OC2代入，得PH·QH=OP2-OC2-CH2=OP2-OC2-OD2=4-OC2-9/(k2+1)，我們仍然把存在的特征值3代入，用含k的代數式表示OC2=(k2-8)/(k2+1)，顯然這個結果也必須是非負數，k2-8≥0，在k>0的前提下解得k≥2√2；

由于P、Q分別位于直線l異側，因此P、Q重合時這兩點都在直線l上，此時OD=0，不符合；

綜上所述，k的取值范圍是√14/7≤k≤√2，k≥2√2.

解題思考

本題實質上仍然是對距離概念的深入理解，借存在性探究，理解特征值中兩條線段的關聯，學生面對此類問題首先覺得困難的地方是這兩條線段都看作變量或元，則變化的量較多，不容易看出乘積如何取值，這里用到的其實是消元思想，將這兩個變化的量間的關系找到，它們都與弦心距有關，所以最后我們用含k的代數式表示OC，而此時的存在性則是指讓OC這條線段存在，利用線段長是非負數這個基本事實來判斷。

我們在分析定義中各元素間的關系時，原本直線和圓的位置關系有三種，但為什么我們在討論k值范圍時，卻只分兩類？這取決于我們研究的對象并不是直線和圓，而是點P、Q到直線l的距離。正由于兩點在直線同側或異側時，求得距離的結果不同，所以才會分兩種情況討論。

在給學生講這道題的時候，重點在于分析新定義究竟說了些什么，幫助學生理解這些定義中的元素是如何關聯起來的，動中取靜原則我們并不陌生，在學生理解新定義的過程中，需要聯想到這個原則，一般而言，多動點、多變量終歸需要化為單動點、單變量，這體現的正是我們在解二元一次方程組時的消元思想，化繁為簡，化動為靜。