新定義“關(guān)聯(lián)角度”

磨刀不誤砍柴工

2022版新課標(biāo)對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“三會”內(nèi)涵的描述中，明確指出了數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)為：運算意識、推理能力和推理意識。通過經(jīng)歷獨立的數(shù)學(xué)思維過程，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展，數(shù)學(xué)基本概念之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系；我們平時的數(shù)學(xué)課堂上，對于概念教學(xué)是否重視，決定了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展的上限。

在新定義型壓軸題中，通常情況下對于概念的解讀是解題的重中之重，一般而言，正確理解了概念，解題就十分順利，甚至可以秒殺，否則解題過程處處受困，難以為繼。

2025年北京中考數(shù)學(xué)第28題，以圓的切線為背景構(gòu)建新定義”關(guān)聯(lián)點“及”關(guān)聯(lián)角度“，只要正確解讀出概念，本題便可稱為簡單。

題目

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點A和圓C給出如下定義：若圓C上存在兩個不同的點M，N，對于圓C上任意滿足AP=AQ的兩個不同的點P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，則稱點A是圓C的關(guān)聯(lián)點，稱∠MAN的大小為點A與圓C的關(guān)聯(lián)角度(本定義中的角均指銳角、直角、鈍角或平角)

(1)如圖，圓O的半徑為1.

①在點A1(1/2,0)，A2(4/3,0)，A3(2,0)中，點_____是圓O的關(guān)聯(lián)點且其與圓O的關(guān)聯(lián)角度小于90°，該點與圓O的關(guān)聯(lián)角度為_________°；

②點B(1,m)在第一象限，若對于任意長度小于1的線段BD，BD上所有的點都是圓O的關(guān)聯(lián)點，則m的最小值為___________；

(2)已知點E(1,3)，F(xiàn)(4,3)，T(t,0)，圓T經(jīng)過原點，線段EF上所有的點都是圓T的關(guān)聯(lián)點，記這些點與圓T的關(guān)聯(lián)角度的最大值為α.若90°≤α≤180°，直接寫出t的取值范圍.

解析：

01

(1)首先逐字解讀新定義關(guān)聯(lián)點、關(guān)聯(lián)角度，平面直角坐標(biāo)系中的點A的圓C，并未給出具體坐標(biāo)，而我們知道點和圓有三種位置關(guān)系，點A在圓C外，點A在圓C上，點A在圓C內(nèi)，因此我們可先在草稿紙上作出點A與圓C，如下圖：

然后在第一種情況下繼續(xù)解讀，圓C上存在兩點M，N，不妨先任意找兩點，根據(jù)后續(xù)條件來進行調(diào)整，如下圖：

連接AC，由于圓的軸對稱性，經(jīng)過圓心的任意一條直線都可以作為其對稱軸，顯然AC所在直線即圓C對稱軸，因此圓C上任意滿足AP=AQ的兩個不同的點P和Q，一定關(guān)于直線AC對稱；

接下來是關(guān)鍵條件∠PAQ≤∠MAN，當(dāng)點A在圓C外，圓C上任意滿足AP=AQ的點P和點Q，形成的∠PAQ要達到最大值∠MAN，只有一種情況，即AM和AN分別是圓C的切線，如下圖：

于是當(dāng)點A在圓C外時，關(guān)聯(lián)點和關(guān)聯(lián)角度的意義就很明確了；

當(dāng)點A在圓C上時，切點M，N會重合，與題目條件中“存在兩個不同的點M，N”矛盾，因此點A不可能在圓C上；

當(dāng)點A在圓C內(nèi)時，如下圖：

此時M，A，N必須共線，∠MAN=180°，而∠PAQ最大值也是180°，所以∠PAQ≤∠MAN才能對于任意滿足條件AP=AQ的點P，Q都成立.

簡單小結(jié)一下新定義：點A與圓C，在位置關(guān)系上只有兩種情況，點A在圓C外，點A在圓C內(nèi)，當(dāng)點A在圓C外時，過點A作圓C的兩條切線，切點M，N與點A形成的∠MAN即關(guān)聯(lián)角度，隨著點A與圓心C的距離縮小，∠MAN隨之變大；當(dāng)點A在圓C內(nèi)時，M，A，N共線，此時∠MAN始終是180°；

現(xiàn)在我們可以秒掉①和②了.

①顯然A1雖然是圓O關(guān)聯(lián)點，但關(guān)聯(lián)角度是180°，不符合；

對于點A2，我們作切線后連接切點，如下圖：

在Rt△OMA2中，OM=1，OA2=4/3，則可求出sin∠MA2O=3/4，可知∠MA2O>45°，于是∠MA2N>90°，也不符合；

對于點A3，如下圖：

在Rt△OMA3中，可求出sin∠MA3O=1/2，即∠MA3O=30°，則∠MA3N=60°；

②對于任意長度小于1的線段BD，BD上所有點恰好構(gòu)成以點B為圓心，半徑為1的圓內(nèi)部(不含邊界)，這個區(qū)域不可能全部位于圓O內(nèi)，根據(jù)新定義，它必須全部位于圓O外，當(dāng)點B位于第一象限時，如下圖：

連接BO，在Rt△AOB中，OB=2，OA=1，求得AB=√3，因此m的最小值為√3；

02

(2)根據(jù)關(guān)聯(lián)點定義，當(dāng)關(guān)聯(lián)點在圓外時，距離圓心越近時，關(guān)聯(lián)角度越大，當(dāng)關(guān)聯(lián)點在圓內(nèi)時，關(guān)聯(lián)角度始終是180°，我們不妨先找到臨界點，即關(guān)聯(lián)角為90°時的關(guān)聯(lián)點位置；

若當(dāng)t>0時，先找到線段EF上距離圓心T最近的點，過點T作EF的垂線，垂足為A，如下圖：

我們很容易證明四邊形AMTN是正方形，其中AT=3，則TM=3√2/2，此時t=3√2/2，而當(dāng)t=3時，圓T與EF相切，所以3√2/2≤t＜3；

何時圓T將整個線段EF“包裹”起來呢？如下圖：

當(dāng)圓T經(jīng)過點E時，連接OE，ET，過EG⊥x軸，在Rt△ETG中EF=t，TG=t-1，EG=3，可求得t=5，所以t>5；

當(dāng)t<0時，端點E距離圓心T最近，過點E作圓T的切線EM，EN，如下圖：

過點E作EG⊥x軸，在Rt△ETG中，TE=-√2t，TG=1-t，EG=3，可求得t=-1-√11，此時面臨最后一個難題，t究竟是大于等于-1-√11呢？還是小于等于？

我們必須討論Rt△EMT中，∠MET與TM:ET之間的關(guān)系，即sin∠MET的值，是隨t的變化如何變化的；

我們知道TM=-t，EF=1-t，則sin∠MET=-t/(1-t)=1-1/(1-t)，在t<0的前提下，t越小，1-t越大，則sin∠MET越大，所以t≤-1-√11；

綜上，t≤-1-√11或3√2/2≤t＜3或t>5.

解題思考

在學(xué)生讀懂新定義之后，本題的確不算難，但對于最后一個t值范圍的討論，涉及到了三角函數(shù)，關(guān)于三角函數(shù)的概念，北師大版教材明確提到了三角函數(shù)值隨角度變化的趨勢，而人教版教材只提到了有變化，如下圖：

北師大版九年級下冊

人教版九年級下冊

其實我們在這一部分內(nèi)容的教學(xué)中，是可以提供機會讓學(xué)生感受角的正弦值隨角度變化是如何變化的，用函數(shù)觀念來理解本題中t值變化，思維上更順暢；要知道在高中階段，三角函數(shù)的“函數(shù)味兒”更濃一些.

從初中數(shù)學(xué)角度來看，普遍一線老師并沒有把它作為函數(shù)看待，多數(shù)情況下用特殊三角函數(shù)值比較多，更多解題場景下三角函數(shù)和相似又互通，更沖淡了它的函數(shù)味道，個人認(rèn)為可以適當(dāng)讓學(xué)生感受，至少不要造成三角函數(shù)就是幾個特殊值的印象.

當(dāng)然，本題并非一定要用三角函數(shù)確定t的取值范圍，用幾何直觀同樣可行.

于是問題又繞回來了，如何讓學(xué)生讀懂新定義？

我們在前面的解讀過程中，逐字解讀，涉及到點和圓的位置關(guān)系，圓的切線概念，圓的對稱性等，學(xué)生在考場上是沒有幾何畫板等工具的，他們需要在草稿紙上作圖，或者在腦子里構(gòu)圖，這就要求所有作圖的步驟，平時應(yīng)該經(jīng)歷過，而且還要明確其作圖原理，2022版新課標(biāo)中也明確標(biāo)明了這一要求(*號部分)

例76關(guān)于作法部分

在尺規(guī)作圖基礎(chǔ)上，才有高效作草圖的可能，所謂作圖功夫在平時，一點都沒錯.

歸根到底，無論是解題時對新定義的解讀，還是平時課堂教學(xué)中對基本技能的培養(yǎng)，都說明一個道理——磨刀不誤砍柴工.