高斯是黎曼的導師嗎？——AMS Notices美國數學會通告

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在黎曼（Riemann，1826年9月17日—1866年7月20日）誕辰二百周年之際，我們不妨回顧一下他與高斯之間的關系。在學術層面，高斯和柯西為復變函數及其積分的研究奠定了基礎，而黎曼于 1851 年在高斯的正式指導下完成的博士論文，則提出了一套更為寬泛的理論。這就引出了一個顯而易見的問題：高斯對黎曼博士論文的指導究竟有多深入？更廣泛地說，將高斯視為黎曼的導師是否合理？為解答這個簡單的問題，本文將帶我們回溯至 19 世紀中葉的哥廷根 —— 那個現代數學研究學派尚未興起的時代。

作者：David E. Rowe（德國約翰內斯?古騰堡大學數學與自然科學史榮休教授）2026-1-20

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-1-21

1. 引言

伯恩哈德?黎曼于1850年代

圖源：Familienarchiv Thomas Schilling

伯恩哈德?黎曼（Bernhard Riemann，1826年9月17日—1866年7月20日）的名字及其學術遺產長期以來都與哥廷根大學緊密相連，他在現代數學史上占據著特殊地位。

人們常常將他與更為著名的卡爾?弗里德里希?高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）相提并論，高斯于 1807 年以職業天文學家的身份前往哥廷根。

高斯于1840年

圖源：Christian Albrecht Jensen

高斯憑借發明最小二乘法躋身該領域，隨后僅通過三次觀測便成功定位了谷神星。作為哥廷根天文臺臺長，他在天文學、大地測量學、地磁學和純數學領域的研究贏得了科學界的廣泛贊譽。到 1830 年代，他與洪堡兄弟（亞歷山大?洪堡和威廉?洪堡）已成為德國最具影響力的學者之一 [3, 426-427]。

黎曼是高斯晚年為數不多的學生之一，但兩人的關系并不密切 [8, 213-218]。當然，導師制形式多樣，但本文的標題引發了一個問題：在這個特殊案例中，“導師” 這一稱謂是否適用？在黎曼誕辰二百周年之際回望他的生平與成就，或許有人會驚訝于這個簡單的問題至今仍無定論。但顯然，答案取決于人們對 “指導” 一詞的理解。按照當今對 “導師” 的定義，我們可以明確給出否定答案。

然而，這引出了一個更宏大且令人困惑的問題：高斯對黎曼的影響究竟體現在哪些方面？本文僅通過幾個例子初步探討這一復雜議題，其余部分仍留待進一步研究。黎曼數學成就的神秘之處，部分在于他對其他數學家的借鑒 —— 他極少引用他人的研究成果。有時他可能刻意隱瞞了這些信息，但在那個年代，作者并不需要詳盡地注明文獻來源。我們已知黎曼一生博覽群書，而且從進入大學之初，他就潛心鉆研高斯的著作與思想 [10, 89-90]。此后，黎曼偶爾會與高斯交流，甚至有時會將高斯視為競爭對手，尤其是在電磁學的數學研究領域。盡管兩人在物理空間上相距甚近，但高斯對黎曼的實際影響，更像是一種 “超距作用”。

根據數學譜系項目（MGP，Mathematics Genealogy Project）的記錄，高斯共有 15 名學生，伯恩哈德?黎曼便是其中之一。該項目數據顯示，在登記在冊的 30 多萬名數學家中，超過三分之一是 C?F?高斯的學術后裔。其中，通過黎曼傳承的學術后裔約有 4000 人。這一統計基于黎曼有兩名學生的假設，其中挪威數學家卡爾?安東?比耶克內斯（Carl Anton Bjerknes）據稱通過索菲斯?李（Sophus Lie）與埃利?嘉當（élie Cartan）存在學術淵源（盡管嘉當從未在萊比錫求學）。比耶克內在哥廷根曾短暫師從黎曼和古斯塔夫?狄利克雷（Gustav Dirichlet），但并未留在當地攻讀博士學位。因此，黎曼實際的博士研究生數量很可能為零。

無論統計多么嚴謹，這類數據在諸多方面都可能具有誤導性。顯然，自 1950 年左右起，它們為衡量研究學派的規模與傳播范圍提供了一種有意義的方式。誠然，現代意義上的導師制起源更早，但根據伯恩德?斯圖姆費爾斯（Bernd Sturmfels）和肯?奧諾（Ken Ono）近期的觀點，導師制更多是一門藝術而非科學 [18, 11]。然而，若將這一概念進一步追溯至 19 世紀中葉，則會面臨諸多問題，需要謹慎處理相關量化信息。

從歷史角度來看，正如比爾?克拉克（Bill Clark）在其趣味研究 [3] 中所描述的，現代數學研究學派的根源可追溯至更早的傳統。由于極具個人魅力的學者發揮著關鍵作用，數學領域的這一特征尤為顯著。無論是傳統意義上作為研究學派非正式領袖的 “博士生之父”（Doktorvater），還是近年來的 “博士生之母”（Doktormutter），其背后的神秘感長期以來極具吸引力 —— 盡管這些學術譜系對高等數學領域實際的學術影響揭示甚少。

事實上，數學研究學派直到 19 世紀后三分之一時期才真正以清晰的形式出現。在伯恩哈德?黎曼所處的時代，它們尚未成為數學界公認的組成部分。此外，當時的博士培養與導師制度也與如今大相徑庭。本文主要旨在闡明高斯與黎曼人生軌跡交匯的那段短暫時期里，哥廷根的學術環境狀況。

2. 黎曼的學生時代（1846-1851）

格奧爾格?弗里德里希?伯恩哈德?黎曼是一名路德教牧師與其妻子的六個孩子中的老二，其母親出身于漢諾威的一個名門望族。黎曼一家的孩子們在奎克伯恩村的牧師住宅長大，該村如今仍是德國北部易北河以西偏遠地區的一部分。黎曼的父親曾在哥廷根攻讀神學，他熱切期望兒子日后能繼承自己的事業。

和黎曼家的所有孩子一樣，伯恩哈德最初由父親在家中輔導學業。13歲受堅信禮后，他前往漢諾威投奔外祖母，并在當地的文理中學就讀。1842年外祖母去世后，黎曼轉至呂訥堡的另一所古典文理中學，該校離家鄉更近。他在這所學校遭遇了諸多困難，但也有幸得到數學老師康斯坦丁?施馬爾富斯（Constantin Schmalfuss）的賞識，后者發現了他非凡的數學天賦。

有時會有這樣的說法（例如維基百科）：是高斯說服黎曼放棄在哥廷根的神學研究，轉而投身數學。若這樣的對話確實發生過，我愿意承認高斯配得上 “黎曼導師” 這一稱號，但這需要確鑿的證據，而非僅僅是傳說。更合理的情況是，黎曼在哥廷根求學的第一年，與高斯并無實質性的交流。不久之后，他便前往柏林學習數學 —— 當時柏林的課程設置比哥廷根先進得多。誠然，黎曼最初注冊神學專業是為了遵從父親的意愿，但黎曼牧師早已知道兒子一心渴望研究高等數學，最終欣然應允了他的請求。

黎曼早期的導師正是施馬爾富斯，而施馬爾富斯恰好也是呂訥堡文理中學的校長。在該校的最后一年，黎曼給父親寫了一封信：

“我現在對數學的渴望和興趣與日俱增，施馬爾富斯也認為我應當學習數學；當然，僅為了獎學金，我會以神學專業學生的身份在這里參加考試，并在哥廷根注冊神學專業，但我必須自己決定在那里真正要做什么，否則無論在哪個領域，我都無法取得像樣的成就。”[9, 92-93]

持有古典文理中學畢業文憑（Abitur）—— 即通過嚴苛的最終綜合考試后獲得的證書 —— 的畢業生，通常可以在德國任何一所大學攻讀任意專業。盡管這些大學有各自的章程，且由德國各州分別管理，但在多個方面卻出奇地一致。其校歷基于兩個學期，中間由兩個宗教節日隔開。冬季學期通常在米迦勒節（9月29日）后兩周開始，春季在復活節前不久結束。夏季學期前的假期約為一個月，之后授課期從 4 月持續至 8 月。

許多學生選擇就讀多所大學，因為轉學僅需極少的行政手續。這些大學的另一共同特點讓轉學過程更為簡便：沒有課程成績，也無需參加考試或提交書面作業。這種極端形式的 “學習自由”（Lernfreiheit）很容易被濫用，而且事實也確實如此；但對于那些求知若渴的學生而言，這一制度為少數年輕人提供了探索新思想的難得機會，不過如果他們未能迅速適應，也可能一事無成。黎曼在給家人的信中透露，他厭惡文理中學的刻板規章，因此大學這種自由的學術氛圍對他而言，無疑是一座學術天堂。

高斯成長于王室宮廷及其資助人主導的時代，這一環境賦予了他截然不同的視角。1830 年至 1837 年間，他與物理學家威廉?韋伯展開了富有成效的合作，彼時他的學術生涯已成果斐然。然而，在 1837 年這個關鍵年份，一切突然發生了變化。維多利亞女王登基后，漢諾威不再與英國保持君合國關系。新任漢諾威國王恩斯特?奧古斯特（Ernst August）立即廢除了前任國王幾年前頒布的相對自由的憲法。作為公職人員，哥廷根大學的教員曾宣誓效忠該憲法，其中幾位認為自己受誓言約束，不應違背。

圖3：哥廷根七君子

1837年漢諾威王國七名哥廷根大學教授抗議國王廢除憲法的政治事件

上：格林兄弟（威廉及雅克布·格林，法學、德語學者）

中：威廉·愛德華·阿爾布雷希特（Wilhelm Eduard Albrecht，國家法學者）、

弗里德里希·克里斯托弗·達爾曼（Friedrich Christoph Dahlman，歷史學者）、

格奧爾格·哥特弗利德·格維努斯（Georg Gottfried Gervinus，文學史學者）

下：威廉?韋伯（Wilhelm Weber，物理學者）和海因里希?埃瓦爾德（Heinrich Ewald，東方語言學者，數學王子高斯的女婿）

圖源：wikimedia

包括韋伯和高斯的女婿海因里希?埃瓦爾德（圖3右下）在內的七位知名學者公開抗議國王的決定。國王的回應是解雇這七位學者，并將其中三位他認為是 “哥廷根七君子” 領袖的人驅逐出境。許多人疑惑為何高斯保持沉默 —— 知情者知道他對這些解雇決定深感失望，但他不愿 “恩將仇報”，因為他清楚自己不過是一名 “宮廷顧問”（Hofrat），國王極少會征求他的意見，尤其是在這場激烈的政治沖突中。

這一事件后，哥廷根大學的入學人數急劇下降。在1820年代，入學人數一直維持在 1400 人左右，但到 1846年4月黎曼入學時，學生人數已降至 560 人，盡管高斯在校任教，卻很少有學生前來攻讀數學專業。作為新生，黎曼顯然并不了解 “哥廷根七君子” 事件后，這所大學在學生人數和士氣方面遭遇的急劇下滑。

在那個時代，哥廷根大學仍只有四個學院，這一結構可追溯至中世紀。它們包括傳統的高級學院 —— 神學院、法學院和醫學院 —— 以及規模遠超其他三個學院的哲學院。只有正教授（Ordinarien）有權管理各自學院的內部事務。這些正教授大多是年長男性，享有 “宮廷顧問” 的榮譽頭銜。在這一群體中，高斯宮廷顧問（Hofrat Gauss）理所當然地備受尊崇，但他僅教授天文學和大地測量學相關課程。1846年，哥廷根大學共有 37 位正教授：神學院 5 位、法學院 6 位、醫學院 9 位、哲學院 17 位。他們的名字按資歷順序列在課程目錄的末尾，旁邊還有其他頭銜較低的教員名單。需要說明的是，正式注冊課程的學生需直接向教員支付學費。學生最多可注冊 6 門課程，且通常在試聽后再決定是否注冊。黎曼的興趣極為廣泛，因此他難以抉擇該注冊哪 6 門課程。

在哥廷根的第一年，他選修了高斯開設的最小二乘法、莫里茨?亞伯拉罕?施泰因（Moritz Abraham Stern）開設的定積分，以及高斯的弟子本杰明?戈德施密特（Benjamin Goldschmidt）教授的地磁學課程。除此之外，黎曼在哥廷根還選修了各類其他課程，而在柏林攻讀第二、三年時，他幾乎全身心投入數學和物理學的學習。

在柏林，黎曼從古斯塔夫?狄利克雷、C?G?J?雅可比（C.G.J. Jacobi）和戈特霍爾德?艾森斯坦（Gotthold Eisenstein）開設的課程中，學到了大量高等數學領域的前沿研究成果。他還師從氣象學家海因里希?多夫（Heinrich Dove）和天文學家弗朗茨?恩克（Franz Encke）。

不上課時，黎曼常常泡在圖書館研讀最新文獻，包括多部法國出版物。他對柯西在復變函數及其積分方面的開創性研究尤為感興趣。但最重要的是，他繼續深入鉆研高斯的著作，這進一步強化了他對高斯和狄利克雷傳統下勢論的興趣。

1849年回到哥廷根后，黎曼的興趣轉向了物理學和哲學 [2]。他加入了教學研討班，以及施泰因于 1850 年創辦的新數學與物理學研討班。海因里希?里特（Heinrich Ritter）和赫爾曼?洛采（Hermann Lotze）開設的課程，加深了他對形而上學和自然科學方法論的興趣。他還認為化學家弗里德里希?維勒（Friedrich W?hler）開設的課程極具價值。

與此同時，韋伯已重返哥廷根大學任教 —— 無論在學術上還是個人層面，這對黎曼而言都是一件幸事。事實上，與高斯關系密切的威廉?韋伯和地質學家沃爾夫岡?薩托里烏斯?馮?瓦爾特豪森（Wolfgang Sartorius von Waltershausen），后來幫助籌集資金，使黎曼在生命的最后幾年得以大部分時間待在意大利。

除了師從韋伯，黎曼還選修了僅比他年長兩歲的古斯塔夫?馮?昆圖斯 - 伊西利烏斯（Gustav von Quintus-Icilius）開設的課程。昆圖斯 - 伊西利烏斯于 1847 年在哥廷根獲得博士學位，1849 年在韋伯的指導下完成教授資格論文（Habilitation），之后擔任韋伯在物理研究所的助理，無疑與黎曼有過定期交流。

在講述黎曼的學術生涯時，我們需要意識到，當時許多年輕人都獲得了博士學位。然而，要在德國大學獲得正式學術職位，博士學位持有者還需通過教授資格認證（Habilitation），這一程序由哲學院負責。在黎曼所處的時代，這一 “成人禮” 相當于獲準加入一個小圈子 —— 當時哥廷根大學哲學院的正教授不足 20 人。黎曼獲得博士學位后，高斯也負責指導他的教授資格認證，而黎曼在這位 “數學王子” 于 1855 年 2 月去世前幾個月才完成該認證。本文重點關注與黎曼博士學位相關的事件，最后將簡要談談高斯在黎曼教授資格認證過程中所扮演的角色。

3. 黎曼的哲學博士學位（Dr. Phil.）晉升

長期以來，博士學位（哲學博士 Dr. Phil. 是現代博士學位 PhD 的前身）由高級學院（神學院、法學院和醫學院）授予，而基礎文科與哲學院僅授予碩士學位。哥廷根大學打破了這一傳統，這一變革始于克里斯蒂安?戈特洛布?海涅（Christian Gottlob Heyne）的學術生涯。海涅是希臘神話領域的多產專家，1763 年至 1812 年去世前一直擔任詩歌與雄辯術教授（當然，授課語言為拉丁語和希臘語！）。

正是在這一時期，哲學博士（Dr. Phil.）學位首次在哥廷根大學確立，且大多數該學位授予古典語言學及相關領域的學生。在 18 世紀的最后三十年里，共有 40 名學生獲得了哲學博士學位 [3, 506-507]。其中有 4 位候選人提交的博士論文涉及數學領域，而在1790年代，有 3 人因在數學科學史領域的研究獲得博士學位。這些論文無疑是在博學家亞伯拉罕?戈特黑爾夫?凱斯特納（Abraham Gotthelf K?stner）的指導下完成的，高斯在 1790年代中期曾聽過他的課程。

到了19世紀初的幾十年，博士學位的授予數量有所增加，但部分學位無需提交博士論文即可獲得。在這種情況下，候選人通過公開辯論（Disputation）的表現獲得晉升 —— 他們需要針對（通常是）兩位對手提出的反駁，為自己的論點辯護。從中世紀開始，公開辯論就一直扮演著核心角色，即便到了 19 世紀，候選人通常仍需用拉丁語進行辯論 [3]。

不過，通常情況下，獲得哲學博士（Dr. Phil.）學位的第一步是提交一篇約 50 頁、據稱包含原創研究的博士論文。若論文被學院認可，候選人便可進入博士學位授予程序的下一階段。現在，讓我們聚焦伯恩哈德?黎曼這位特殊候選人 —— 他的博士論文題目為《單復變函數一般理論的基礎》（英文譯為

Foundations of a General Theory of Functions of a Variable Complex Quantity

）。

1851年11月14日，黎曼向哲學院院長申請參加博士學位的最終口試。除博士論文 [13] 外，他還提交了正式的申請表和個人簡歷 —— 根據學院規定，這兩份文件均需用拉丁語撰寫。黎曼提交申請的院長是東方語言學家海因里希?埃瓦爾德，他娶了高斯的女兒明娜（Minna）。埃瓦爾德也是 “哥廷根七君子” 之一，因此在1837年失去了哥廷根大學的教授職位。但與物理學家威廉?韋伯一樣，他后來獲準重返哥廷根。

收到黎曼的文件后第二天，埃瓦爾德寫信通知學院的正教授們：

“我在此向各位尊敬的同事呈上一位新的博士學位候選人 —— 來自布雷瑟倫茨的 B?黎曼先生的論文；懇請宮廷顧問高斯先生對該論文發表意見，若論文合格，煩請確定口試的合適日期和時間。該候選人希望參加數學和物理學領域的口試。其申請表和簡歷中的拉丁語晦澀難懂，幾乎難以忍受；不過，在語言類學科之外，目前我們很難期望有人能寫出更好的拉丁語，即便像這位候選人這樣有意進入大學任職的人也不例外。”[12, 45]

我們稍后便會看到，黎曼對埃瓦爾德教授作為管理者的評價也好不到哪里去。

11月24日，伯恩哈德寫信給弟弟威廉，告知事情的進展。與此同時，高斯已閱讀完黎曼的博士論文并提交了評審意見。黎曼還得知其他所有教員均已簽字同意，因此院長將口試時間定在12月1日（周一）。黎曼在信中還提到了不久前與高斯的一次談話中，高斯所說的一些令人費解的話。這次會面顯然發生在高斯向學院提交評審意見前不久。

“周六我見到高斯時，他還未閱讀我的論文，但他告訴我，多年來他一直在準備一篇論文（目前仍在撰寫中），其主題與我所研究的主題相同，或至少部分相同。事實上，52年前他在自己的博士論文中就已表明，打算撰寫這一主題的論文。我尚未聽到他對我的研究成果的評價…… 不過，從其他人的評論中（我認為這些評論并非單純的客套話），我必須得出結論：他對我的工作是滿意的。”[9, 104]

顯然，黎曼有機會與幾位看過高斯簡短評審意見的教員交流，這無疑讓他在口試前松了一口氣。

盡管黎曼的博士論文是在沒有高斯指導的情況下完成的，但仍深受高斯的影響。在論文中，他引用了兩部著作 —— 關于保角映射的文獻 [5] 和關于曲面內蘊幾何的文獻 [6] 第13節 —— 這兩部著作對黎曼曲面理論都至關重要。黎曼在哥廷根的第一年就試圖獲取第一篇論文，但未能成功；直到后來在柏林求學期間，他才有機會閱讀該論文。我們不難想象，作為哥廷根的一名新生，他絕不敢向高斯求助。當他想從大學圖書館借閱專著時，總是通過高斯的助手本杰明?戈德施密特申請書面授權。

事實上，高斯對黎曼的博士論文給出了如下簡短評價，表示認可：

“黎曼先生提交的論文充分證明，作者在該主題所屬領域進行了深入透徹的研究，展現出勤奮、真正的數學研究精神，以及值得稱贊的、富有成效的自主性。論文表述嚴謹簡潔，部分內容甚至頗具美感；不過，大多數讀者可能希望部分章節的結構能更加清晰易懂。整篇論文是一項有價值的杰出成果，不僅完全達到了博士論文通常要求的標準，還遠超這些標準。”[12, 47]

高斯向來吝于稱贊，因此這番話分量十足 —— 即便他對論文內容未置一詞。巧合的是，黎曼的第一篇發表論文在其關于阿貝爾函數的里程碑式研究 [14] 問世后，才獲得更廣泛的關注，在該研究中，他直接引用了自己的博士論文 [13]。正如高斯所預料的那樣，大多數讀者認為黎曼的博士論文難度極大，部分原因在于其創新性。該論文給出了解析函數的新定義，通過黎曼曲面描述了它們的基本性質，利用后來被稱為狄利克雷原理的方法證明了解析函數的存在性，并最終證明了黎曼映射定理。簡而言之，這是一篇在復分析這一近乎全新的領域中極具原創性的作品，而高斯和柯西都為復分析領域做出了基礎性貢獻。

人們通常強調，黎曼對覆蓋曲面的運用為單復變函數領域開辟了新的天地 —— 該領域在很大程度上要歸功于柯西及其追隨者的工作 [1, 131-213]。核心問題在于如何處理多值函數，這促使柯西和夏爾?埃爾米特（Charles Hermite）設計出基于曲線的方法，有效對復平面進行分割。柯西的 “割線”（lignes d’arrêt）使得函數在這些割線之外的不同區域有了多種取值確定方式。

而黎曼的構想則靈活得多：他采用了一個覆蓋在復平面上的連通曲面，使得對于復平面上除分支點外的任意一點，曲面上對應點的葉數與函數值的個數一致。這些葉在分支點處相互連接，形成一個與函數取值確定方式相對應的連通曲面。在博士論文的結尾部分，黎曼僅簡要提及了這一一般構想，并承諾將在后續場合進一步展開論述。六年后，他通過發表論文 [14] 兌現了這一承諾。

前文引用的11月24日的信件明確表明，高斯并未參與黎曼博士論文題目的指導，而且在那個時代，這種指導也不符合常規。戴德金（Richard Dedekind）在撰寫黎曼的傳記時，顯然借鑒了這封信的內容，他寫道：黎曼是在論文提交后、口試前不久才與高斯討論自己的研究成果的 —— 口試中，高斯擔任數學考官，韋伯擔任物理考官。黎曼曾告知恩里科?貝蒂（Enrico Betti），高斯曾與他探討過如何通過曲面的橫割來推導其連通性，這與黎曼在博士論文中的做法一致。

或許貝蒂誤解了這番話，他在給普拉西多?塔爾迪（Placido Tardy）的信中稱，黎曼是從高斯那里首次學到這一方法的 [19]。戴德金補充道，黎曼隨后了解到 “高斯長期以來一直在準備一篇關于同一主題的論文，但該論文肯定不僅限于這一主題”[4, 545]。除非有人在高斯未發表的論文中發現黎曼曲面一般概念的痕跡 —— 這并非完全不可能 —— 否則這番話很可能也是基于誤解。

現在，讓我們回到后續事件，這些事件有助于我們明確：在黎曼所處的時代，獲取博士學位的儀式與如今的慣例有著天壤之別。哲學院整體負責授予博士學位，參與這一程序的教授會從國家（此處為漢諾威州政府部門）獲得服務報酬。應院長的要求，高斯提出了口試的可能時間，這些時間得到了其他簽字教員的認可：91歲的古典語言學家克里斯蒂安?威廉?米切爾利希（Christian Wilhelm Mitscherlich）、礦物學家弗里德里希?豪斯曼（Friedrich Hausmann）、哲學家海因里希?里特、古典考古學家卡爾?弗里德里希?赫爾曼（Karl Friedrich Hermann）、歷史學家格奧爾格?魏茨（Georg Waitz）、古典語言學家兼圖書館員卡爾?赫克（Karl Hoeck），以及物理學家威廉?韋伯。這九人代表了半數正教授，其成員構成顯然僅基于資歷。值得注意的是，古典語言學家的人數眾多，這與他們在哲學院長期占據的主導地位一致。

口試原定于12月3日舉行，黎曼本以為口試后便可回家與家人慶祝。他曾申請豁免公開辯論這一古老習俗，但很快得知申請被駁回。12月13日，他在給威廉的信中發泄了自己的不滿：

“不幸的是，負責我博士學位事宜的院長（埃瓦爾德教授）是一個極其迂腐且愛找麻煩的人；我提交手稿后，他讓我等了五個多星期，而正常流程只需兩周左右。我的口試最終在八天前的周三舉行。現在他又要求我進行公開辯論，盡管哲學院已經有十年沒有舉行過公開辯論了…… 為了避免進一步拖延，我只好同意，今天終于收到通知，他將公開辯論的時間定在 12 月 16 日。”[9, 104-105]

黎曼的憤怒其實有些不合時宜，因為埃瓦爾德只是在履行一名正直公職人員的職責，他認為無法規避法定要求。此外，高斯也獨立得出了相同的結論。只有韋伯支持豁免黎曼的正式辯論，但他支持黎曼申請的理由聽起來可能相當奇怪：韋伯認為，這位候選人可能無法在朋友中找到愿意擔任對手的人。

這種情況會讓學院陷入尷尬境地，不得不指定對手。然而，高斯不為所動：“沒有公開辯論，就不能算是真正的博士。” 他進一步指出，黎曼不久后希望成為編外講師（Privatdozent）。由于教授資格認證條例規定，此前未通過拉丁語正式辯論的申請者，需在認證過程中完成該環節，因此高斯認為此時豁免這一要求毫無意義 [12, 47-48]。

4. 黎曼的公開辯論（Disputation）

黎曼或許從未知曉，是高斯投下了關鍵一票，駁回了他的申請；而且，我們也不太可能知曉12月16日公開辯論中他的對手是誰 —— 他最終成功挺過了這場考驗。由于沒有關于黎曼公開辯論過程的記錄留存，那天實際發生了什么在很大程度上（盡管并非完全）只能靠我們想象。院長埃瓦爾德向政府部門提交的最終報告盡可能簡潔（粗略譯文）：“伯恩哈德?黎曼因其在印刷論文中展現出的在數學和物理科學領域的非凡學識，通過了口試和公開辯論，獲得認可。”

起初，黎曼似乎計劃提出六個論點，準備在正式辯論中辯護。值得注意的是，其中不少于五個論點涉及物理主題。此外，這五個論點均反映了黎曼對當時各類主流觀點和技術進展的強烈批判態度 [17, 1902: 112-113]：

（1）磁流體并不存在。

（2）法拉第的 “曲線感應” 理論站不住腳。

（3）可逆擺（英文中稱為凱特擺）并非測定秒擺長度（用于測量當地地球重力加速度）的最佳方法。

（4）能量守恒理論尚未得到充分的實驗證明。

（5）電學理論中的電壓概念尚未得到足夠清晰的界定。

黎曼可能與合作密切的韋伯討論過這些論點，甚至可能是韋伯建議他轉而辯護自己在博士論文中倡導的復分析一般方法。考慮到韋伯曾對黎曼能否找到一個或多個對手（通常是已獲得或未獲得博士學位的同學）表示懷疑，他很可能認為這是最佳方案。無論如何，黎曼在哥廷根的遺物中，有一份包含三個拉丁語論點的公開辯論草稿，所有論點均涉及博士論文第12節中提出的復解析函數的性質。

黎曼論文中的另一份文件明確表明，這些論點正是他在公開辯論中辯護的內容。在該文件中，他通過將自己的解析函數定義與另外兩種定義（其中一種由柯西提出）進行對比，簡要指出了核心爭議點。有趣的是，奧古斯丁?路易?柯西（Augustin Louis Cauchy）的名字僅在此處出現，而在博士論文本身中并未提及。

圖4：戴德金轉錄的黎曼公開辯論文本

哥廷根大學圖書館藏黎曼手稿（Cod. Ms. B. Riemann 13），第 100r 頁

以下譯文源自理查德?戴德金的轉錄本（圖4）；該轉錄本可在哥廷根數字化中心（GDZ）在線獲取：（Cod. Ms. B. Riemann 13, 100r, 100v）。

“我為博士學位撰寫的論文旨在為單復變函數的一般理論奠定基礎，并非出于論戰目的。然而，由于該論文也旨在為當前的學術爭論提供素材，因此有必要強調其中一些觀點 —— 這些觀點與一些公認的知名學者提出的主張相悖。

第一個爭議點涉及‘單復變函數’這一術語的定義。

在我的論文中，我給出了如下定義：若復數量 w 隨復數量 z 變化，且微商 dw/dz 的值與微分 dz 的取值無關，則稱 w 為 z 的函數。”

在論文 [13] 的第4節中，他證明了這一定義導出了著名的柯西 - 黎曼微分方程—— 這是函數在某一區域內解析（全純）的必要條件。然而，他認為這些方程構成充分條件的假設，還需要額外的條件支持 [1, 266]。為了明確這是一種本質上的新構想，黎曼列舉了兩種對立的復函數定義：

“第一種定義認為，變量 z=x+yi 的函數 w 具有這樣的性質：dw/dz 與 dz 無關。但這一性質并未被視為該概念定義的一部分。相反，人們依賴先前已證明的定理 —— 該定理聲稱，a+b 的函數對 a 的微商等于對 b 的微商。

第二種定義將復數量 w（通常為特定類型）視為隨 z=x+yi 任意變化的函數。這一觀點由柯西提出，他是法國學者中首位廣泛研究復數量理論的人。他在巴黎科學院最近的一次會議上提交關于皮瑟（Puiseux）某部著作的報告時提出了這一觀點，并在后續的多次演講中進一步闡述了該觀點。

在這兩種理解單復變函數概念的方式中，第一種與我的定義相反：它承認我用于定義該概念的性質，但不將其視為定義的一部分；而第二種則根本不認為復函數具有這一性質。”

在此背景下，值得注意的是，黎曼的博士論文以連續實值函數的松散定義開篇。他的著作編輯在其手稿中發現了一個更精確的表述，并將其印在論文的注釋中 [17, 1876: 46]：

“‘在 z=a 到 z=b 之間，量 w 隨 z 連續變化’這一表述的含義是：在該區間內，z 的無窮小變化對應 w 的無窮小變化；或者更具體地說，對于任意給定的量 ε，總能找到一個量 α，使得當 z 的鄰域區間小于 α 時，w 的任意兩個值之差永遠不大于 ε。”

當然，這正是我們熟知的、通常歸功于魏爾斯特拉斯（Weierstrass）的連續性定義的一種略顯繁瑣的表述。黎曼補充說明，連續函數在各處都是有限的。

最后，我們不妨回顧一下黎曼給弟弟的信中提到的：哥廷根哲學院已有整整十年沒有舉行過拉丁語正式辯論了。無論這一說法是否屬實，我們或許可以推測，黎曼的辯論是最后幾次此類辯論之一。他很可能沒有用拉丁語長篇大論，這無疑會讓埃瓦爾德教授感到安心。

遺憾的是，我們并不清楚黎曼是否真的面臨一個正式的對手，與他展開辯論。考慮到他所辯護的論點具有很強的技術性，這場辯論很可能會顯得刻意做作，而韋伯的觀點或許最終占了上風 —— 只不過是以這種折中的方式。正如我們所見，論文答辯并非當時博士學位的要求之一，但黎曼的公開辯論與后來德國大學及其他地區的標準程序有諸多相似之處。

總結這一案例中的正式流程，我們可以看出，高斯無疑是核心人物。然而，他是與哲學院常設的博士委員會共同行事的。該委員會由九位正教授組成，代表了幾乎所有學科，他們均認同高斯的簡短評價。隨后，他們商定了黎曼口試的合適時間，由高斯負責數學部分的口試，韋伯負責物理部分的口試。兩周后，黎曼成功為其在公開辯論中提出的論點進行了辯護。

然而，他是否與對手（如果存在的話）用拉丁語進行了辯論，這一點仍值得懷疑。簡而言之，黎曼通過提交合格的書面作品、通過數學和物理學口試，以及以改良版的傳統拉丁語公開辯論形式向學術界公開亮相，滿足了哲學院對哲學博士（Dr. Phil.）學位的要求。另一方面，他獲得的這一學位在很大程度上只是一種榮譽象征。像黎曼這樣希望成為德國大學教職候選人的人，還需經歷另一項考驗 —— 教授資格認證（Habilitation）程序。對于希望申請該認證的哲學博士（Dr. Phil.）持有者，最短等待時間為兩年。

教授資格認證（Habilitation）包括提交一篇博士后論文（Habilitationsschrift），一段時間后，再就學院選定的主題發表一篇演講（Habilitationsvortrag）。與博士論文不同，黎曼的博士后論文 [15] 直到他去世后才得以發表。該論文探討的問題是他在柏林聽狄利克雷的課程時了解到的，即找出一個函數能夠用無窮三角級數表示的充分必要條件。當他向學院提交這篇論文時，高斯再次被要求發表評審意見。這一次，高斯的表述更為簡潔：“該論文充分展現了作者深厚的學識、出色的判斷力和獨立研究能力，完全符合其預期目的。”（哥廷根大學哲學院 1854 年院長檔案，SUB G?ttingen）。

至于黎曼的演講，高斯著名地要求他以《論作為幾何學基礎的假設》（

On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry

）為題進行演講。后來，威廉?韋伯回憶說，高斯對黎曼在教授資格認證當天向一小群教授宣讀的文本贊不絕口。若高斯曾向黎曼表達過這些想法，并未有相關談話記錄留存。此外，包括黎曼本人在內，沒有人試圖宣傳這篇著名的演講 —— 直到 1868 年理查德?戴德金將其發表 [16]，這篇演講才被重新發現。

這些及其他相關事件，在我的配套文章《對黎曼最著名演講的思考》（

Reflections on Riemann’s Most Famous Lecture

）中有詳細描述，該文章將于今年發表在《數學情報員》（

The Mathematical Intelligencer

）上。希望這兩篇文章能激勵感興趣的讀者關注我即將出版的傳記《伯恩哈德?黎曼：他的生平與非凡的數學遺產》（

Bernhard Riemann: His Life and Wondrous Mathematical Legacy

），該書將由施普林格?自然（Springer Nature）出版。

致謝

本文的撰寫得益于阿德里安?賴斯（Adrian Rice）、諾伯特?沙普哈徹（Norbert Schappacher）、格特?舒布林（Gert Schubring）、喬?西爾弗曼（Joe Silverman）和伊娃?考夫霍爾茨 - 索爾達特（Eva Kaufholz-Soldat）提出的寶貴建議。我特別要感謝湯姆?阿奇博爾德（Tom Archibald）和一位匿名評審者的有益反饋，希望他們對我采納其意見所做的努力感到滿意。

原文參考文獻

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本文作者：

大衛?E?羅（David E. Rowe）是德國美因茨約翰內斯?古騰堡大學數學與自然科學史榮譽退休教授。

文章 DOI: 10.1090/noti3294

參考資料

https://www.ams.org/journals/notices/202602/noti3294/noti3294.html

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=22663556

http://archiv.bbaw.de/archiv/archivbestaende/abteilung-sammlungen/gesamtbestand-des-kunstbesitzes/gelehrtengemaelde/gelehrtengemalde-seiten/ZIMM-0001.html

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6886354

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1435259

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