交替符號矩陣的雙射：絕妙、神秘和待解——譯自MFO奧伯沃爾法赫現代數學簡報

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雙射可將一種數學對象轉化為另一種。這類變換為研究這些數學對象提供了全新視角，既揭示出其令人意想不到的性質，也帶來了新的未解之謎。本文將探討交替符號矩陣與數學、物理領域中其他對象之間的雙射關系，以及尋找這一待解雙射的最新研究進展。

作者：Jessica Striker（美國北達科他州立大學數學教授）

MFO 奧伯沃爾法赫現代數學簡報 2026-2-24

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-3-17

1 現實生活與組合數學中的雙射

假如我遞給你一杯水和幾塊冰塊，問你：“這些是同一種東西嗎？”你可能會回答：“不是，一個是固體，一個是液體。”也可能會說：“是，它們都是由H?O分子構成的。”哪種答案正確？答案是：兩者都對！冰和液態水雖形態不同，卻由同一種物質組成，且存在能將二者相互轉化的方式——冰在室溫下會融化為液態水，液態水放入冰箱又會凝結成冰。從數學角度來說，這就是一種雙射（bijection）：從一個集合到另一個集合的可逆變換。在組合數學（combinatorics）?2?中，我們研究的是有限集之間的雙射，而兩個有限集之間存在雙射的充要條件，是二者包含的元素數量相等。許多組合數學中的雙射，能讓我們窺見數學對象背后隱藏的特征。

?1?本研究得到西蒙斯基金會資助（編號MP-TSM-00002802）與NSF美國國家科學基金會資助（編號DMS-2247089）支持。

?2?組合數學常被稱作關于計數的藝術與科學。

舉一個例子：n元置換（permutation of n）是對數字1,2,...,n的重新排列。比如3的6個置換分別為123、132、213、231、312、321。n元置換與n階置換矩陣（permutation matrix）之間存在雙射關系，置換矩陣是一種n×n方陣，其每行每列均僅有一個元素為1，其余元素均為0。圖1（左）展示了置換46315827對應的置換矩陣，可見矩陣第一行的1出現在第4列，第二行的1出現在第6列，依此類推。單行表示法46315827與矩陣表示法，都是研究同一個置換的有效方式：前者可幫助我們計算8個孩子排隊的不同排列方式數；后者則能模擬在棋盤上放置盡可能多的互斥車的問題，保證任意兩車之間無法互相攻擊（見圖1右）?3?。

圖1

?3?在國際象棋中，若兩車位于同一行或同一列，且中間無其他棋子阻隔，則一方可攻擊另一方。

2 交替符號矩陣

現在試想，在棋盤上放置黑色和白色的車，要求同色車之間無法互相攻擊。這意味著，若某一行有多個車，這些車的顏色必須交替出現。同時規定，棋盤的每一行、每一列中，黑車的數量均比白車多1。這雖是一種非常規的國際象棋玩法，卻由此誕生了一個有趣的數學對象——交替符號矩陣（alternating sign matrix, ASM）！

交替符號矩陣（ASM）是一種方陣，其元素僅取0、1或-1，且滿足兩個核心條件：

1. 每行、每列的所有元素之和均為1；

2. 每行、每列中的非零元素，符號呈交替排列。

交替符號矩陣與上述特殊的車放置方式之間存在雙射關系：將矩陣中的1對應黑車，-1對應白車，0對應棋盤上無棋子的位置（見圖2）。

圖2

圖2的矩陣中，1由8個黑兵和2個黑車表示。需要注意的是，置換矩陣是交替符號矩陣的子集——因為置換矩陣對應的棋盤上，僅放置了黑車。結合上述定義，不妨判斷以下4個矩陣中，哪兩個是交替符號矩陣（答案見文末）！

交替符號矩陣有著頗具吸引力的研究歷史（詳見參考文獻[3]），它于1984年由研究線性代數中行列式推廣問題的數學家發現。當時他們提出了一個十分自然的問題：n階交替符號矩陣的數量有多少個？

通過手工與計算機計算，研究者發現計算結果呈現出明顯的規律，并由此提出猜想???：n階交替符號矩陣的數量為

1!4!7!?(3n?2)! / (n!(n+1)!?(2n?1)!)

其中n!=n(n-1)?3?2?1為階乘。例如，3階交替符號矩陣的數量為1!4!7! / (3!4!5!) = 7個。而這一計數公式的證明，耗時長達13年！其中一種證明方法???就依賴于交替符號矩陣與方形冰構型（square ice configurations）之間的精妙雙射，這也是下文要介紹的內容。

一個交替符號矩陣 、對應的方形冰構、對應的六頂點模型構型

圖3

3 已知的交替符號矩陣雙射

3.1 方形冰

再回到“冰”的例子。試想有一個由氫原子和氧原子構成的網格，氫原子位于氧原子之間，且網格的左右兩側均為氫原子。我們需要在原子之間繪制化學鍵，使所有原子結合成水分子，且原子的位置固定不變——即每個氧原子恰好與相鄰的兩個氫原子成鍵，由此便形成了方形冰（square ice）的單層結構（見圖3中）???。

???熟悉化學的讀者可能會注意到，實際的冰凍水分子成鍵夾角為120°，而非90°或180°，因此方形冰構型并非冰凍冰的精確模型。但這類構型已在石墨烯中被發現，是一個能在現實世界中找到對應物的物理模型（詳見參考文獻[1]）。

方形冰構型與交替符號矩陣之間可相互轉化，轉化規則為：水平排列的水分子對應矩陣中的1，豎直排列的水分子對應-1，其余構型的水分子對應0。而將交替符號矩陣轉化為方形冰構型的過程則稍復雜——因為矩陣中的0可對應多種水分子構型，但研究發現，若先繪制出對應1和-1的水平、豎直水分子，其余位置的四種直角水分子構型中，總有唯一一種選擇能讓所有氫原子都形成化學鍵（可結合圖3的例子嘗試推導！）。

物理學家通常會研究與方形冰網格雙射的圖（graph）：將每個氧原子替換為一個點（頂點，vertex），每個氫原子替換為指向其成鍵氧原子的箭頭（有向邊，directed edge）；同時在網格頂部添加向上的箭頭，底部添加向下的箭頭（見圖3右）。這一模型被稱為六頂點模型（six-vertex model），因為該模型中，每個頂點處的箭頭排布恰好有六種可能（見圖4上、中）。

圖4：

上——六頂點模型的六種頂點構型

中——與方形冰水分子的雙射關系

下——對應的無碰撞管道流瓦片

這一精妙的雙射為交替符號矩陣的計數提供了重要工具[7]，讓數學家得以借助物理學的研究方法展開分析。

3.2 無碰撞管道流

接下來，我們將六頂點模型構型轉化為另一種數學對象，其形態類似多層公寓樓的管道網絡，這種轉化需將六頂點模型的每種頂點構型，替換為圖4（下）對應的瓦片（tile）。

這類對象被稱為無碰撞管道流（bumpless pipe dreams），原因是不允許出現兩根管道幾乎相撞的瓦片構型。

圖5

左：與圖3中交替符號矩陣對應的約化無碰撞管道流

右：對應的沙漏型邊著色平面圖

圖5（左）展示了與圖3中方形冰構型對應的無碰撞管道流，從這一視角可發現一個新性質：每個交替符號矩陣都對應一個置換。具體的對應方法為：將網格底部的管道從左到右編號，追蹤每根管道的走向后，再將網格頂部的方格從上到下對應編號。例如，圖5中的無碰撞管道流對應的置換為1432。

若一個無碰撞管道流由技藝尚可的管道工構建，且保證任意兩根管道均不交叉兩次，則稱其為約化無碰撞管道流（reduced bumpless pipe dreams）。這類管道流將在本文末尾再次出現，成為解決“待解雙射”問題的部分解。

3.3 沙漏型邊著色平面圖

在近期的研究中[4]，交替符號矩陣意外地與一類特殊的圖產生關聯，這類圖屬于一個更大的對象集合——沙漏型邊著色平面圖（hourglass plabic graphs）（見圖5右）。不妨嘗試根據文中的交替符號矩陣例子，推導繪制這類圖的規則！

除了能繪制出美觀的圖形，沙漏型邊著色平面圖還能幫助解決一個代數問題：為SL?不變多項式空間尋找一組“良基（nice basis）”。

4 交替符號矩陣的待解雙射

4.1 問題提出

交替符號矩陣最神秘的特征之一是：存在另一類數學對象，其計數公式與交替符號矩陣完全相同，但目前尚未發現二者之間的優美雙射（nice bijection），全對稱自補平面分拆（totally symmetric self-complementary plane partition, TSSCPP）就是其中之一。

試想給你一堆積木，要求你將其堆疊在盒子的角落，且滿足以下三條規則：

• 規則1：積木的堆疊方式關于左右方向鏡像對稱（如同人的臉）；

• 規則2：將盒子繞角落旋轉（使底面變為左壁、左壁變為右壁、右壁變為底面）后，積木的堆疊形態保持不變；

• 規則3：盒子中的空區域與積木堆疊區域的形狀完全相同。

圖6

8×8×8立方體中的一個全對稱自補平面分拆、其基本域

從數學角度，這樣的積木堆疊方式即為全對稱自補平面分拆（TSSCPP）（見圖6左）。一個自然的問題是：對于給定大小的盒子，全對稱自補平面分拆的數量有多少個？

首先，規則2意味著盒子的各條棱長必須相等，即盒子為立方體；規則3則要求盒子的空間被積木區域和空區域均勻分割，因此盒子的體積（以積木為單位）必須為偶數。綜上，盒子的大小必為2n×2n×2n（n為自然數）。

一個驚人的結論是：2n×2n×2n的立方體中，全對稱自補平面分拆的數量，恰好等于n階交替符號矩陣的數量（該結論已在參考文獻[2]中證明）。但與前文介紹的對象不同，目前尚未發現能將交替符號矩陣作為輸入、輸出對應全對稱自補平面分拆的優美雙射。

當然，我們可以構造一種無實際研究價值的雙射：將所有交替符號矩陣按順序列在紙的左側，所有全對稱自補平面分拆按順序列在紙的右側，聲明二者按紙面順序一一對應。但通過前文介紹的各類優美雙射例子，不難發現這并非數學家想要的結果。事實上，時至今日，數學家仍在尋找這兩個集合之間的優美雙射，下一節將介紹這一公開問題的最新研究進展。

4.2 研究進展

研究的第一步，是先找到全對稱自補平面分拆集合上的一些自然雙射。試想你面前有一堆按全對稱自補平面分拆規則堆疊的積木，若想告訴朋友如何堆疊出相同的形狀卻不展示圖片，由于全對稱自補平面分拆具有高度的對稱性，你無需告知每一塊積木的位置，對方也能完成堆疊：

根據規則1，只需告知左側積木的位置，對方即可通過鏡像得到右側積木的位置；

結合規則2和規則3，你甚至無需告知左側所有積木的位置。

研究發現，只需掌握盒子中1/12大小的披薩切片狀區域的積木堆疊方式，就能獲得構建整個全對稱自補平面分拆的全部信息，這個包含核心信息的區域被稱為基本域（fundamental domain，見圖6右）。

在尋找雙射的過程中，數學家通常會從自己熟悉的集合子集入手。數年前的研究中[9]，我們在基本域上發現了一個簡單的判定準則，能確定哪些全對稱自補平面分拆與置換相對應（例如，圖6中的全對稱自補平面分拆對應置換3241）。這一發現建立了交替符號矩陣與全對稱自補平面分拆之間的部分雙射——因為置換矩陣是交替符號矩陣的特殊情況。但問題是：當交替符號矩陣中包含-1時，對應的雙射關系又該如何建立？

近期，我們找到了一種方法，將這一局部雙射推廣到更大的交替符號矩陣子集，其中包括部分包含-1的交替符號矩陣[6]。研究中借助了舒伯特演算（Schubert calculus）的一項新突破???——該突破建立了約化無碰撞管道流與另一類對象約化管道流（reduced pipe dreams）之間的雙射???。

???盡管“無碰撞管道流”與“管道流”名稱相近，但二者是完全不同的對象集合，其之間的雙射關系實際上十分復雜。

我們首先證明了全對稱自補平面分拆可映射為管道流，隨后利用參考文獻[5]中的雙射，將約化的管道流轉化為無碰撞管道流（進而轉化為交替符號矩陣）。

圖7：參考文獻[6]中，特定全對稱自補平面分拆與交替符號矩陣之間的映射例子。

圖7為該映射的一個例子，這一成果構建了交替符號矩陣與全對稱自補平面分拆之間更大范圍的部分雙射。

4.3 研究展望

我們能否最終找到所有交替符號矩陣與全對稱自補平面分拆之間的優美雙射？數學家已為這一問題探索了30年：有人認為，若時至今日仍未找到，這類雙射可能并不存在；也有人認為，或許換一種研究視角，就能讓問題變得清晰。答案尚需時間驗證，但目前我們已有了一個可能帶來突破的新視角。

前文提到，交替符號矩陣意外地以沙漏型邊著色平面圖的形式出現，而全對稱自補平面分拆也在這類圖中出現了（見圖8）！盡管交替符號矩陣和全對稱自補平面分拆均為沙漏型邊著色平面圖的特例，并不意味著二者之間的雙射必然存在，但這一全新關聯，未來有望成為解開“二者計數公式為何相同”這一謎題的關鍵。

圖8：繪制在全對稱自補平面分拆基本域上的沙漏型邊著色平面圖（綠色）

參考文獻

[1] G. Algara-Siller, O. Lehtinen, F. C. Wang, R. R. Nair, U. Kaiser, H. A. Wu, A. K. Geim, and I. V. Grigorieva, Square ice in graphene nanocapillaries, Nature 519 (2015), no. 7544, 443–445.

[2] G. Andrews, Plane partitions V: The TSSCPP conjecture, Journal of Combinatorial Theory, Series A 66 (1994), no. 1, 28–39.

[3] D. Bressoud and J. Propp, How the alternating sign matrix conjecture was solved, Notices of the American Mathematical Society 46 (1999), no. 6, 637–646.

[4] C. Gaetz, O. Pechenik, S. Pfannerer, J. Striker, and J. Swanson, Rotationinvariant web bases from hourglass plabic graphs, Inventiones mathematicae (2025), 1–102.

[5] Y. Gao and D. Huang, The canonical bijection between pipe dreams and bumpless pipe dreams, International Mathematics Research Notices (2023), no. 21, 18629–18663.

[6] D. Huang and J. Striker, A pipe dream perspective on totally symmetric selfcomplementary plane partitions, Forum of Mathematics. Sigma 12 (2024), Paper No. e17, 19.

[7] G. Kuperberg, Another proof of the alternating-sign matrix conjecture, International Mathematics Research Notices 3 (1996), 139–150.

[8] W. H. Mills, D. P. Robbins, and H. Rumsey, Alternating sign matrices and descending plane partitions, Journal of Combinatorial Theory, Series A 34 (1983), no. 3, 340–359.

[9] J. Striker, Permutation totally symmetric self-complementary plane partitions, Annals of Combinatorics 22 (2018), no. 3, 641–671.

（第2節問題答案：中間兩個矩陣為交替符號矩陣。）

作者簡介

Jessica Striker，美國北達科他州立大學數學教授。

所屬數學領域

代數學與數論、離散數學與數學基礎

跨學科關聯

化學與地球科學、物理學

版權協議

知識共享署名-相同方式共享4.0協議（Creative Commons BY-SA 4.0）

數字對象標識符

10.14760/SNAP-2026-003-EN

奧伯沃爾法赫現代數學簡報為讀者呈現當代數學研究的精彩洞見，由奧伯沃爾法赫數學研究所（Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, MFO）科研項目的參與者撰寫。本簡報項目旨在向全球對數學感興趣的公眾普及現代數學知識，增進大眾對數學研究的理解與認同。所有簡報均與IMAGINARY平臺合作發布，可在以下網址查閱：www.imaginary.org/snapshots 及 www.mfo.de/snapshots 。

國際標準連續出版物號

ISSN 2626-1995

機構信息

奧伯沃爾法赫數學研究所（Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach gGmbH）

地址：德國巴登-符騰堡州奧伯沃爾法赫市，黑森林大街9-11號，77709

所長：Gerhard Huisken

合作平臺：IMAGINARY開放式數學平臺

參考資料

https://publications.mfo.de/handle/mfo/4388

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