STRUCTURED COSPANS

結構化余跨

https://arxiv.org/pdf/1911.04630

摘要

應用范疇論的一個目標是更好地理解出現在科學和工程各個領域的網絡。在這里，我們引入“結構化余楔”（structured cospans）作為一種研究具有輸入和輸出的網絡的方法。給定一個函子 L : A → X ，一個結構化余楔是 X 中形式為 L ( a ) → x ← L ( b )的圖表。如果 A 和 X 具有有限余極限且 L 是左伴隨，我們就得到一個對稱幺半范疇，其對象是 A 的對象，其態射是結構化余楔的同構類。這是一個超圖范疇。然而，它源于一個更基礎的結構：一個對稱幺半雙范疇，其中水平 1-胞腔是結構化余楔。我們展示了結構化余楔如何解決密切相關的“裝飾余楔”（decorated cospans）形式體系中的某些問題，并解釋了它們在一些例子中是如何工作的：電路、佩特里網和化學反應網絡。

1. 引言

結構化余楔是一個處理開放網絡的框架：即具有輸入和輸出的網絡。網絡出現在科學和工程的許多領域，并且種類繁多，但一篇姊妹篇論文以開放佩特里網為例闡述了這里發展的一般框架 [5]，所以讓我們考慮那些。

佩特里網在計算機科學、化學和其他學科中很重要。例如，消耗兩個氫原子和一個氧原子并產生一個水分子的化學反應可以由這個非常簡單的佩特里網表示：

這里我們有一組用黃色繪制的“庫所”（或在化學中稱為“物種”）和一組用藍色繪制的“變遷”（或“反應”）。這兩個集合的不交并構成了有向二分圖的頂點集，這是佩特里網的一種描述方式。

網絡通常可以被視為更大網絡的片段。這自然引出了“開放佩特里網”的概念，意味著庫所集合配備了“輸入”和“輸出”。我們可以通過規定兩個映射到庫所集合的函數來實現這一點，這兩個函數負責選出這些輸入和輸出。

對象 a 和 b 分別被稱為 輸入 和 輸出 ，而 x 被稱為 頂點 。態射 i 和 o 被稱為該余楔的 腿 。

2. 結構化余楔

給定一個函子 L : A → X ，一個結構化余楔是 X 中的一個余楔，其足部來自 A 中的一對對象：

1. 結構化余跨的對稱幺半雙重范疇

然而，檢查所有必要的圖表是否交換有點令人煩惱，尤其是因為人們感覺背后一定有一個簡單的根本原因。所以，我們決定給出一個更具概念性的證明。雖然這可能更難消化（理解），但這給了我們更多——至少當 F F 保持有限余極限時。在這種情況下，我們可以做的不僅僅是取結構化余跨（structured cospans）的二元余積：我們可以取它們的有限余極限！這意味著我們可以用比僅僅首尾相接或并排擺放更有趣的方式將結構化余跨粘合在一起。因此，我們將定理 3.9 作為一個更強結果——定理 3.7 的推論來證明，后者囊括了我們取結構化余跨有限余極限的所有方式。

我們需要的關鍵概念是 2-范疇中的“弱范疇”（weak category）或“偽范疇”（pseudocategory）[26]。這是雙范疇概念的一個輕微推廣。

3.1. 定義. 給定一個 2-范疇 C ， C 中的一個弱范疇 D 由以下部分組成：

在這個定義中，我們假設必要的拉回（pullbacks）存在；如果 C 擁有拉回，這是自動滿足的。

查閱附錄 A，讀者可以驗證 C a t 中的弱范疇（weak category）等同于雙范疇（double category）。我們在以下的 2-范疇中同樣需要弱范疇：

3.2. 定義. 設 R e x 為具有以下構成的 2-范疇：

• 以帶有選定有限余極限（finite colimits）的范疇作為對象，
• 以右正合函子（right exact functors）作為態射，
• 以自然變換作為 2-態射。

3.3. 定義. 設 S y m M o n C a t為具有以下構成的 2-范疇：

• 以對稱幺半范疇（symmetric monoidal categories）作為對象，
• 以（強）對稱幺半函子（(strong) symmetric monoidal functors）作為態射，
• 以幺半自然變換（monoidal natural transformations）作為 2-態射。

單詞'rex'是'right exact'的縮寫，這是'preserving finite colimits'（保持有限余極限）的另一種說法。注意，一個右正合函子不必保持給定的有限余極限的選擇。因此，我們的2-范疇 Rex 2-等價于一個沒有對有限余極限做出選擇的2-范疇。做出這些選擇的一個原因是它們給了我們一個明確定義的2-函子

Φ: Rex → SymMonCat

具體如下。給定一個對象 C ∈ Rex，Φ(C) 是對稱幺半范疇 (C, +, 0)，其中 + 是選定的二元余積，0 是選定的始對象。范疇 C, C' ∈ Rex 之間的每個右正合函子 F: C → C' 然后以典范方式成為對稱幺半的，并且右正合函子之間的每個自然變換都成為幺半的。

最后，從這個 SymMonCat 中的弱范疇，我們希望得到一個對稱幺半雙范疇。這里我們需要'對稱偽幺半群'（symmetric pseudomonoid）[36] 的概念。為了理解下面的定義，讀者應該記住這樣一個例子：B 是使用笛卡爾積做成的對稱幺半雙范疇 Cat。那么 B 中的一個偽幺半群就是一個幺半范疇，一個辮偽幺半群就是一個辮幺半范疇，而一個對稱偽幺半群就是一個對稱幺半范疇。

3.4. 定義. 幺半雙范疇 B 中的一個偽幺半群（pseudomonoid）是一個對象 M ∈ B，配備了稱為乘法（multiplication）的1-態射 m: M ? M → M 和單位（unit）i: I → M，它們滿足結合律以及左右單位律，這些律在稱為結合子（associator）和左右單位子（unitors）的2-同構的意義下成立，而這些2-同構反過來滿足五邊形恒等式和三角形恒等式。

3.5. 定義. 辮幺半雙范疇 B 中的一個偽幺半群 M 是辮的（braided），如果它配備了一個2-同構

b: m ° β ? m

其中 β: M ? M → M ? M 是 B 中的辮結構，并且 b 滿足六邊形恒等式 [24]。

對超圖范疇（hypergraph categories）感興趣的讀者可能會很高興地了解到，結構化余跨范疇（structured cospan categories）往往屬于這一類型。“超圖范疇”是一種對稱幺半范疇，其中每個對象都具有特殊交換 Frobenius 幺半群（special commutative Frobenius monoid）的結構，且這種方式與張量積相容，但不一定被態射保持 [13]。此類范疇在網絡理論中無處不在，其中 Frobenius 結構允許我們在弦圖（string diagrams）中分割、連接、起始和終止字符串 [14]。雖然超圖范疇的定義起初看起來有些笨拙，但 Fong 和 Spivak 已經利用運算子（operads）闡明了這一概念 [17]。

4. 結構化余跨雙重范疇之間的映射

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