追尋完美（完全數）——譯自HLF海德堡桂冠論壇博客

★置頂zzllrr小樂公眾號《小樂數學科普》新鮮送到！

追尋完美數（完全數）的歷程及未知。

作者：索菲?麥克林（Sophie Maclean）HLF海德堡桂冠論壇博客 2026-4-1

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-4-

數學究竟是人類創造的，還是發現的？這是哲學界長期爭論的話題。

支持 “數學是發現” 的人認為，數學內在的美感絕非偶然 —— 同一個數字、同一種思想反復出現（比如圓周率 π），這遠非巧合可以解釋。

而站在 “數學是創造” 陣營的人則反駁道：如今的數學 —— 傅里葉分析、代數幾何，甚至統計學 —— 都如此復雜抽象，不可能是宇宙本身固有的。他們指出，有些數學對象在自然界中并不存在，因此只能是人類思維的創造。

但 “發現派” 握有一張王牌。有一類數字仿佛是世界的固有屬性，與其他重要數列緊密相連，甚至帶有近乎神圣的意義。這類數字的真約數（即除自身外所有正約數；約數即因數、因子）之和恰好等于它本身。它們有一個恰如其分的名字：完全數（Perfect Numbers，也稱完美數）。

完全數

用更正式、更實用的方式定義完全數，需要借助約數和函數 σ(n)，它會把 n 的所有正約數（包括 n 自身）加總求和。

我們把滿足σ(n) = 2n（等價于 σ(n)/n = 2）的數定義為完全數（完美數）。

不難想到，數學家也給其他情況起了名字：

• σ(n) > 2n：盈數（abundant number）

• σ(n) < 2n：虧數（deficient number）

事實上，根據 σ(n) 的性質，數字還有一整套分類名稱，不過那是另一篇博客的內容了。

最小的幾個完全數是：6、28、496、8128。它們被人類知曉的年代太過久遠，我們已無從考證最初是誰算出了它們。關于完全數最早的文字記載，出現在約公元前 300 年歐幾里得（Euclid）的名著《幾何原本》Elements中。

不出所料，我們后來找到了更大的完全數。但令人意外的是，截至本文寫作時，人類只發現了 52 個完全數。

眼尖的讀者可能已經注意到，我列出的所有完全數都是偶數。事實上，迄今為止人類發現的所有完全數全是偶數。是否存在奇完全數，至今仍是未解之謎 —— 畢竟，沒找到不等于不存在。

觀察力超群、對數學紀錄了如指掌的人還會發現：已知完全數的數量（52 個），與已知梅森素數的數量完全一致。這絕非巧合，我們可以證明其中的原理。

偶完全數 ? 梅森素數

梅森數是形如q = 2? ? 1的數，其中 p 是素數。如果一個梅森數本身也是素數，它就被稱為梅森素數。

偶完全數與梅森素數之間存在一一對應關系。更進一步，我們可以寫出明確的公式：

q = 2? ? 1 是梅森素數，當且僅當 n = 2??1(2? ? 1) 是完全數。

這個定理的證明歸功于兩位名字容易混淆的數學巨匠：

歐幾里得（Euclid）與歐拉（Euler）。

• 約公元前 300 年，歐幾里得證明了定理的一個方向：

• 若 q = 2? ? 1 是梅森素數，則 n = 2??1(2? ? 1)是完全數。

• 2000 多年后，18 世紀的歐拉證明了另一個方向：

• 若 n = 2??1(2? ? 1) 是完全數，則 q = 2? ? 1 是梅森素數。

這兩個證明都依賴一個關鍵性質：σ(n) 是積性函數。

也就是說，當 a 和 b 互素（沒有公共素因子）時，σ(ab) = σ(a)σ(b)。

歐幾里得的證明

歐幾里得（Euclid）雕塑

歐幾里得的證明從設 “2??1 是素數” 出發，目標是證明 n = 2??1(2??1) 是完全數。

利用積性：σ(n) = σ(2??1(2??1)) = σ(2??1)?σ(2??1)

我們分開計算兩部分：

1. （1）因為設 2??1 是素數，則它的正因子只有 1 和它本身，

2. 所以 σ(2??1) = (2??1) + 1 = 2?

4. （2）而2??1 的因子是 1、2、4、8……2??1，

5. 這是等比數列，求和得 σ(2??1) = 2? ? 1

把（1）、（2）兩個結果合在一起：

σ(n) = 2??(2??1) = 2?[2??1(2??1)] = 2n

因此，n 是完全數！

歐拉的證明

歐拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）

從兩千年的時間差不難猜到，歐拉的證明更復雜一些，但依然只用了基礎方法，且對 σ 的積性挖掘得更深。

歐拉從一個偶完全數n開始，把它寫成：n = 2? · x

其中 x 是奇數，k 是正整數。

因為 n 是完全數，所以 2n = σ(n)，即：2??1x = σ(2?x)。由積性得：

2??1x = σ(2?)?σ(x)

我們已知 σ(2?) = 2??1 ? 1（等比數列求和），且與 2??1 互素（因為兩數相鄰），因此我們有

2??1 [x /(2??1 ? 1)] = σ(x) 【1】

且有2??1 ? 1 必須整除 x（因為2??1 ? 1與 2??1 互素），

則整數x/(2??1?1) 也必須整除 x，而x本身也是自己的因子，因此：

σ(x) = x + x/(2??1?1) + “其他因子”，

即 σ(x) = x[2??1 / (2??1?1)] + “其他因子”【2】

而 σ(x) = x[2??1 / (2??1?1)] （由【1】）

但這就意味著x 沒有其他因子（結合【1】、【2】）。

所以 x 只有兩個因子：x（它自己）和 x/(2??1?1)，因此 x必為素數。

更進一步，1 是所有數的因子，所以必須有：

x/(2??1?1) = 1 ? x = 2??1 ? 1

我們知道，形如 2^q?1 的素數，其中指數q本身必須是素數。

因此 x 確實是梅森素數，而非普通素數。

至此證明完成 ——梅森素數與偶完全數一一對應。

舉例驗證

你一定想知道前四個完全數對應哪些素數：

1. 6 = 2×3 → k=1，x=3 → 梅森素數：3

2. 28 = 4×7 → k=2，x=7 → 梅森素數：7

3. 496 = 16×31 → 梅森素數：31

4. 8128 = 64×127 → 梅森素數：127

不出所料，它們正好是前四個梅森素數！

人們通過互聯網梅森素數大搜索（GIMPS）項目不斷找到更大的梅森素數，最近一次是在 2024 年，參閱zzllrr小樂文章。完全數也隨之被計算出來。上一個素數的發現間隔了 6 年，所以下一個新完全數可能還要等很久。

自然的奧秘

我們甚至不知道梅森素數是否有無窮多個。這意味著：我們既不知道是否存在奇完全數，也不知道是否還有更多偶完全數。正是這種神秘感，讓數學家對完全數癡迷千年之久。而它與素數的深層聯系，也讓不少人相信：數學是被發現的。

對畢達哥拉斯（Pythagoras）而言，完全數不僅暗藏自然的秘密，本身就具有深刻的神性與神圣性。亞歷山大的斐洛（Philo of Alexandria）甚至提出：上帝用 6 天創世，因為 6 是完全數；朔望月為 28 天，也因為 28 是完全數。

無論你持何種觀點，我想我們都能認同：完全數，的確格外特別。

譯者注：原文中歐幾里得、歐拉的證明內容說反了（圖片順序也反了），已糾錯，并告知作者。

參考資料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/in-the-pursuit-of-perfect/

小樂數學科普近期文章

·開放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙·

讓數學

更加

易學易練

易教易研

易賞易玩

易見易得

易傳易及

歡迎評論、點贊、在看、在聽

收藏、分享、轉載、投稿

查看原始文章出處

點擊zzllrr小樂

公眾號主頁

右上角

置頂★加星

數學科普不迷路！