感知機、從錯誤中學習與邁向人工智能的一步 —— 節選自《思維法則：探尋心智的數學理論》

★置頂zzllrr小樂公眾號《小樂數學科普》新鮮送到！

感知機與赫布學習法則介紹。

作者：Tom Griffiths（湯姆?格里菲斯，普林斯頓大學心理學與計算機科學系亨利?盧斯信息技術、意識與文化講席教授，普林斯頓人工智能實驗室主任）2026-4-10

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-4-13

邏輯的一大威力在于，它不僅提供了描述世界的方式，還提供了創造新思想的途徑。從一組事實出發，遵循推理規則就可以推導出新的事實。空間與特征為心理學家提供了描述人類內心世界的新方式，但他們仍然缺少對心智狀態如何隨時間變化 —— 即對思維本身 —— 的清晰刻畫。邏輯是計算思想的基礎，并在圖靈機中得到體現。將空間與特征用作心智表征，則需要提出一種全新的計算模型。

圖靈機建立在對理想化數學家行為的分析之上：讀取問題、執行計算、寫下中間結果。但如果我們更仔細地觀察這位數學家頭腦內部發生的事情，就可以為另一種計算模型找到靈感。透過皮肉與骨骼，我們會發現閱讀、計算與書寫，全都是這位數學家大腦中神經元放電的結果。這些神經元以各種方式彼此連接，構成了神經網絡。

與其試圖復制這位數學家的思維與行為，何不嘗試復制她的大腦？

1958年7月13日，《紐約時報》刊登了一篇題為《電子 “大腦” 實現自我學習》的醒目文章，將人工神經網絡介紹給了美國公眾。文章開頭寫道：

美國海軍上周展示了一臺名為 感知機（Perceptron） 的電子計算機雛形，預計約一年后完工，它有望成為首個無需人類訓練與控制、便能 “感知、識別并辨識周遭環境” 的無生命機械。在華盛頓演示該設備雛形的海軍軍官表示，他們不愿稱其為機器，因為它太像一個 “沒有生命的人”。

一個活生生的人，怎能不為此著迷？

模仿人類大腦構建電路的想法，早在1940年代就已出現。當時沃倫?麥卡洛克（Warren McCulloch）與沃爾特?皮茨（Walter Pitts）證明了神經元如何連接以實現布爾邏輯，并啟發約翰?馮?諾依曼思考讓計算機像大腦一樣組織起來。神經網絡在認知科學誕生之初便已登場：1956 年，紐厄爾（Newell）與西蒙（Simon）在麻省理工學院信息理論研討會上發表報告后，緊接著出現了一篇關于在早期計算機 IBM 704 上實現神經元數學模型的論文。該論文的合著者之一洛伊絲?海布特（Lois Haibt），是此次研討會上唯一展示研究成果的女性。她后來作為 FORTRAN 編程語言研發團隊中唯一的女性，繼續發揮著先驅作用。感知機的特別之處在于，它不只是由神經元構成的電路，它還能通過經驗學習這些神經元應當如何彼此連接。

感知機的另一大特別之處，是其發明者弗蘭克?羅森布拉特（Frank Rosenblatt）毫不避諱地宣揚它的潛力。他對《紐約時報》表示，感知機將是 “首個能像人類大腦一樣思考的電子設備”。

遺憾的是，外界對他工作的回應，揭示出任何想要創造此類設備的人都將面臨的重大挑戰。

感知機登場

弗蘭克?羅森布拉特是科班出身的心理學家，在康奈爾大學先后獲得心理學學士與博士學位，之后成為布法羅市康奈爾航空實驗室的研究心理學家。他的博士論文聚焦行為測試的統計分析，但在 1956 年的心理學論文中包含兩項不尋常的內容：用數字計算機計算相關統計量的代碼，以及他為同事設計的用于自動分析行為數據的電路圖紙。盡管他最初的興趣是理解人類心智，羅森布拉特卻對打造更優秀的計算設備產生了濃厚興趣。

在康奈爾航空實驗室，他得以同時追求這兩大興趣，并啟動了一項由美國海軍資助的宏大項目。該項目名為PARA 計劃，全稱是 “感知與識別自動機計劃”。他在項目首份報告中寫道：“文中所述理念，源于筆者在生理心理學領域的獨立研究，旨在構建一種可用于分析的大腦模擬模型。”

羅森布拉特想要打造一顆人工大腦。

具體而言，他想構建人工視覺系統 —— 大腦中處理經由眼睛輸入信息的部分。他規劃了一臺配備人工視網膜的機器，視網膜由一組感知單元組成，這些單元會對圖像對應區域的光線做出響應并激活。每個感知單元以不同方式連接至一組關聯單元，關聯單元匯總所有輸入信號，若信號總和超過某一閾值便會激活。關聯單元再依次連接至響應單元，響應單元執行相同的匯總與閾值判斷操作。這些響應單元會對呈現在視網膜上的圖像進行分類。例如，某個單元可以判斷圖形是正方形還是三角形，或是出現在左側還是右側。

圖 1簡易感知機，僅含兩個關聯單元與一個響應單元。感知單元未顯示，負責為關聯單元提供輸入。

至關重要的是，關聯單元與響應單元之間的連接允許擁有不同強度 —— 有些連接較弱，有些較強。這些連接的強度（即權重weight）為實數，用于刻畫輸入與響應之間的不同關系：檢測三角形可能需要與判斷位置不同的權重，而這些權重需要通過學習獲得。

簡易感知機的工作流程如圖 1 所示。信息從視網膜流向兩個關聯單元，再連接至單個響應單元（本例中用于將圖像分類為正方形或三角形）。每個關聯單元累加來自視網膜的信號，若總和高于閾值則輸出激活值1，否則為 0。該激活值（activation）沿連接傳遞至響應單元，并與對應權重相乘。響應單元累加所有關聯單元的激活值與權重的乘積。若響應單元的輸入大于 0，則輸出 1，表示識別為正方形；否則輸出 -1，表示識別為三角形。

我們可以用一點數學把這一切寫得更清晰。首先，用激活值?表示第一個關聯單元的激活值，激活值?表示第二個關聯單元的激活值。從第一個關聯單元到響應單元的連接權重記為權重??，第二個關聯單元到響應單元的連接權重記為權重??。

則響應單元 r 的輸入可寫為：

輸入?=激活值?×權重??+激活值?×權重??

將結果與 0 比較，即可確定響應單元的激活值為 1 還是 - 1。

例如，若感知機接收到的輸入使兩個關聯單元的激活值分別為 1 和 0，對應權重為 0.2 和 - 0.3，則響應單元的輸入為：

1×0.2+0×(?0.3)=0.2

由于該數值大于 0，響應單元的激活值為 1—— 感知機判斷當前存在正方形。

即便如此簡單的神經網絡，也是邁向空間計算的一步：神經網絡可被視為將一個空間變換到另一個空間的方式。

在我們的簡易感知機中，可以將關聯單元視為定義一個空間。我們可以定義與激活值?和激活值?對應的坐標軸，并將關聯單元的激活值表示為該空間中的一個點。每一個投射到感知機視網膜上的模式，都會轉化為這個空間里的一個點。我們例子中激活值為 1 和 0 的模式，對應該空間中的點 (1, 0)。

感知機的響應則定義了另一個空間 —— 本例中是一維空間。響應單元的激活值 1 或 -1，決定了我們在該維度上的位置。在我們的例子中，點 (1, 0) 被映射為響應值 1。

感知機整體代表了這兩個空間之間的映射：關聯單元空間中的每個點，都會被映射到響應單元空間中的某個點，產生正向響應或不產生正向響應。神經網絡的權重決定了該映射的具體形式 —— 即關聯單元空間中哪些點最終會產生正向響應。例如，若例子中使用的權重不是 0.2 和 -0.3，而是 -0.1 和 0.4，則響應單元的輸入為：

1×(?0.1)+0×0.4=?0.1

點 (1, 0) 將被映射為 -1。

羅森布拉特對感知機的最初描述中，已包含一組可解決簡單分類問題的權重。但他的真正目標，是讓感知機自主學習這些權重。為了理解這如何實現，他借鑒了當時神經科學的前沿思想。

放電與連接

1950年代，神經科學家剛剛開始探索大腦如何實現學習。羅森布拉特并未得到他所期望的明確答案，頂尖專家們大多只提出了學習如何運作的假說。其中最具顛覆性的假說，來自麥吉爾大學心理學家唐納德?赫布（Donald Hebb）。

赫布對理解人類學習抱有濃厚興趣。1904 年，他出生于加拿大新不倫瑞克省圣約翰市，父母均為醫生（母親是新斯科舍省第三位獲得醫學學位的女性）。他 8 歲前接受家庭教育，入學后第一年從二年級跳級到四年級，第二年升至六年級。可惜這種加速學習適得其反，導致他難以維持穩固的社交關系。他回憶道：“12 歲進入九年級時，我是班里年紀最小的，當時我更在乎同伴的尊重，而非解代數題、廣泛課外閱讀，或是拼寫比全校師生都好。” 因無聊與缺乏動力，他十一年級掛科，對學校教育的價值留下了糟糕印象。

因此，順利畢業并獲得達爾豪西大學學士學位后，他竟成為家鄉村莊小學校長，這或許令人意外。可惜任職并不順利。當年晚些時候，省督學評估學校時，對這位新任校長說：“沒關系，赫布，我第一年當校長也一塌糊涂。”

赫布離開學校，先后在麥田當卡車司機、在魁北克做體力勞動者，并開始閱讀弗洛伊德著作。這段經歷讓他走上成為心理學家的道路：他在蒙特利爾一所小學教書的同時，在麥吉爾大學攻讀研究生學位。

接下來的幾年，赫布有機會從實踐與理論兩方面理解學習。在小學，他用 “允許做作業” 作為良好行為的獎勵，用 “趕去戶外玩耍” 懲罰調皮學生。在麥吉爾大學，他親身體驗巴甫洛夫條件反射實驗，訓練狗對特定線索產生唾液分泌反應。最終，他在碩士論文中提出理論，闡釋心智如何在大腦中表征線索與結果之間的關聯：

興奮的神經元傾向于減少向不活躍神經元的放電，增加向任何活躍神經元的放電，從而形成通向該神經元的通路，無論兩個神經元之間是否存在中間神經元。經過重復激活，這種傾向在神經通路形成中占據主導地位。

這個簡單的想法 —— 神經元會與同時活躍的其他神經元形成更強連接 —— 讓17年后的赫布聲名遠揚。

在此期間，赫布前往芝加哥攻讀博士學位，導師卡爾?拉什利（Karl Lashley）轉至哈佛后，他也隨之轉學；之后在蒙特利爾神經研究所研究人腦損傷對行為的影響，又赴佛羅里達研究黑猩猩大腦，最終回到麥吉爾大學擔任教授。一路走來，他不斷思考大腦如何表征概念，并得出結論：一個概念，就是一組相互反復激活的皮層神經元。但這樣的神經元集群，究竟如何形成連接以實現反復激活？

1949 年，赫布在《行為的組織》一書中給出答案，并以更簡潔的語言重述了他在碩士論文中首次提出的觀點：

若細胞 A 的軸突足夠接近細胞 B，并反復或持續參與激活細胞 B，那么兩個細胞之一或兩者會發生生長或代謝變化，使得細胞 A 激活細胞 B 的效率提升。

這就是學習理論。

神經元的軸突是細胞體通向與其他神經元連接的部分。因此，赫布理論的核心是：只要兩個神經元距離足夠近、能夠相互影響，當它們同時激活（放電）時，兩者之間的連接強度就會增強。神經科學家卡拉?沙茨（Carla Shatz）將其凝練為一句格言：一同放電的神經元，綁定在一起（neurons that fire together, wire together）。

盡管聽起來復雜，這套對學習的解釋卻相當直觀。暫時拋開神經元，僅從事件之間形成關聯的角度思考，就完全說得通。我們將陽光與溫暖關聯，是因為它們反復持續共存；就像巴甫洛夫條件反射實驗中的狗，聞到喜愛食物的氣味會分泌唾液，是因為氣味通常與進食同時出現。赫布將這種聯想原則，延伸到了單個神經元層面。

赫布理論有兩大重要優點。第一，它基本正確 —— 后續神經科學家深入研究學習背后的機制后發現，大腦中確實存在與赫布描述高度相似的過程。第二，對我們而言可能更重要的是，它可以被轉化為清晰的數學表達式。

回到我們的簡易感知機，赫布理論給出了一條可用于修改權重的規則：每個權重的增量Δ，等于它所連接的兩個單元激活值的乘積。若兩個單元均放電（激活值為 1），權重就會增加。若關聯單元未放電（激活值為 0），權重則不變。若關聯單元放電但響應單元輸出-1，權重就會減小。如此一來，與正向響應同步激活的關聯單元，權重最終會更高；與負向響應同步激活的關聯單元，權重最終會更低（或為負值）。

我們再用一點數學把它寫出來。用激活值?表示響應單元的激活值，則：

Δ權重??=激活值?×激活值?

其中激活值?與權重?分別為第 i 個關聯單元的激活值與權重（i=1 對應第一個單元，i=2 對應第二個單元）。

在實際應用中，我們可能希望控制權重的修改幅度，這可以通過在公式中加入學習率（learning rate）實現。于是得到：

Δ權重?? = 學習率×激活值?×激活值?

這就是為紀念唐納德?赫布而命名的赫布學習法則（Hebbian learning rule）。

赫布學習是捕捉數據中相關性的一種方式。由于兩個單元激活值均為正時權重增加，一正一負時權重減小，權重會追蹤這些單元所代表事物的共存程度。在我們的簡易感知機中，赫布學習會捕捉關聯單元激活與響應之間的相關性。如果我們知道響應單元應當輸出的目標值，還可以使用修正版學習法則：

Δ權重??=學習率×目標值?×激活值?

其中目標值?是響應單元應當輸出的目標值。這會讓權重捕捉關聯單元激活與響應目標值之間的相關性。

赫布學習已被用于多種神經網絡模型，尤其是研究神經元集群如何通過建立適當關聯來存儲與提取記憶的模型。但這并未讓羅森布拉特滿意 —— 他讀研期間曾拜訪過赫布的實驗室。赫布成功描述了一種學習方式：巴甫洛夫條件反射，即兩件事物因反復共存而相互關聯。但羅森布拉特感興趣的是另一種學習 ——從錯誤中學習。訓練感知機的人能夠判斷它何時出錯，而這些錯誤對于找到正確權重似乎尤為重要。

羅森布拉特需要提出一種全新的學習法則。

從錯誤中學習

羅森布拉特決定探索一個簡單想法：僅當感知機出錯時，才更新其權重。也就是說，僅當響應單元輸出錯誤答案時，關聯單元與響應單元之間的權重才會改變。例如，若響應單元用于判斷是否存在正方形或三角形，錯誤答案包括：三角形出現時輸出 1（應為 -1），或正方形出現時輸出 -1（應為 1）。當錯誤發生時，所有激活的關聯單元的權重會向正確答案方向調整：若目標應為 1 而響應單元輸出 -1，則增加激活關聯單元的權重，有助于將響應單元推向正確方向；同理，若目標應為 -1 而響應單元輸出 1，則減小權重。

這條學習法則相當直觀：發現自己錯了，是學習的強大動力。如果你看到某物以為是貓，結果發現是狗，你可能會調整賦予貓狗不同特征的重要性，以便區分它們。反之，確認是貓，似乎不太會顯著改變你對貓的表征。羅森布拉特的學習算法 ——感知機學習法則—— 捕捉到了錯誤的重要性：錯誤讓我們關注形成響應所需的信息。

我們也可以用一些簡單數學寫出感知機學習法則，所用術語與赫布學習法則相同：

Δ權重??= 學習率×(目標值??激活值?)×激活值?

你可以驗證，這條學習法則僅在感知機出錯時才更新權重：若響應與目標一致，則目標值? ?激活值?為 0。同時，權重會向正確方向修改：目標為 1、響應為 -1 時權重增加；目標為 -1、響應為 1 時權重減小。

對比感知機學習法則與赫布學習法則的公式，會發現一個有趣的事實。回想一下，赫布學習法則基于單元激活的相關性修改權重。感知機學習法則同樣可以被視為基于相關性修改權重 —— 即響應誤差（目標值? ?激活值?）與關聯單元激活（激活值?）之間的相關性。

這是羅森布拉特的核心創新：學習并非由共存驅動，而是由單元對感知機犯錯所承擔的責任程度驅動。這樣一來，學習可以更高效，專注于對減少錯誤最重要的修改。

憑借這條強大的學習法則，羅森布拉特證明了一個驚人的定理：感知機能夠學會它所能表征的任何輸入 — 輸出關系。也就是說，如果存在一組權重能讓感知機對一組樣本輸出正確響應，那么對這些樣本足夠多次地應用該學習法則，最終一定能得到產生正確響應的權重。

正是感知機的這一特性，讓羅森布拉特對自己創造的 “人工大腦” 充滿信心。他堅信，只要合理配置傳感器到關聯單元的連接，他的學習法則就能學會為任何有意義的任務生成恰當響應。1958年《紐約時報》報道的演示，基于該學習法則的計算機模擬；此后，羅森布拉特與同事打造了實現感知機學習算法的物理設備 ——Mark I 感知機。它的人工視網膜由 20×20 個光電池組成（可處理最高 400 像素的圖像），配有插線板用于配置傳感器與關聯單元之間的連接，還包含 512 個步進電機驅動電位器，用于調整關聯單元與最多 8 個響應單元之間電路的電阻。

即便沒看到《紐約時報》關于羅森布拉特演示的報道，《紐約客》的讀者也在同年讀到了對他的專訪。專訪刊登在 “城中閑話” 欄目，標題俏皮地定為《對手》，理由是 “在我們看來，它是有史以來第一個能與人類大腦一較高下的嚴肅發明，我們的大腦也被它宣稱的能力徹底震撼”。記者問羅森布拉特，感知機是否存在局限 —— 有什么是它做不到的？羅森布拉特攤開雙手，直白回答：“愛、希望、絕望。簡而言之，人類本性。我們自己都不懂人類性欲，憑什么指望機器能懂？” 然而，羅森布拉特的對手們認為，感知機面臨著更根本的局限……

關于感知機的局限，以及這些局限最終如何被突破，詳見新書《思維法則：探尋心智的數學理論》The Laws of Thought: The Quest for a Mathematical Theory of the Mind。本文為其節選，?2026 湯姆?格里菲斯，保留所有權利。

文章 DOI：10.1090/noti3333

原文參考文獻

[1] Tom Griffiths. The Laws of Thought: The Quest for a Mathematical Theory of the Mind. Henry Holt and Company, 2026.

致謝

圖 1 由湯姆?格里菲斯提供

參考資料

https://www.ams.org/journals/notices/202605/noti3333/noti3333.html

小樂數學科普近期文章

·開放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙·

讓數學

更加

易學易練

易教易研

易賞易玩

易見易得

易傳易及

歡迎評論、點贊、在看、在聽

收藏、分享、轉載、投稿

查看原始文章出處

點擊底部捐一筆

助力騰訊公益

點擊zzllrr小樂

公眾號主頁

右上角

置頂★加星

數學科普不迷路！