隨機動力學讀書會丨第二期：Markov 過程及經典實例

導語

隨機過程是刻畫復雜系統不確定性演化的核心工具，而Markov過程是其中應用最廣泛、理論最成熟的基本框架。本期讀書會為隨機動力學讀書會第二期，北京工業大學數學統計學與力學學院碩士生梁志中將從Markov過程的基本定義出發，通過 Chapman-Kolmogorov 方程刻畫其概率密度的演化動力學，討論軌道連續性、平穩性與遍歷性等關鍵性質，并介紹 Wiener Process、隨機游走、泊松過程等典型實例，為后續學習提供模型基礎。

集智俱樂部聯合北京工業大學諸葛昌靖老師和北京化工大學王利老師共同發起。采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領大家系統研讀隨機過程領域的兩部經典著作，主讀文獻《Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences》 ，輔助文獻《Stochastic Processes in Physics and Chemistry》，通過物理直覺啟發與數學理論推導的交織，助力參與者構建完整的隨機動力學邏輯結構和知識體系。

報告簡介

本次分享聚焦于馬爾可夫過程 (Markov過程)，這是研究得最多的一類隨機過程，并且更加復雜的隨機過程在很多情形下也可以通過一定手段轉換為 Markov 過程，其核心特性是 “無記憶性”，即未來狀態的概率僅依賴于當前狀態，與歷史狀態無關。本章從 Markov 過程的定義出發，通過 Chapman-Kolmogorov 方程刻畫其概率密度的演化動力學，探討了隨機過程軌道連續性、可微性等問題，并進一步給出了平穩性、遍歷性等性質的討論，最后介紹了Wiener Process、隨機游走、泊松過程、Ornstein-Uhlenbeck Process等典型案例，為后續隨機微分方程和Fokker-Planck方程的學習提供了核心模型支撐。

分享大綱

1. 隨機過程與 Markov 性質、無記憶性

2. Chapman-Kolmogorov 方程及其微分形式

3. 隨機過程的軌道連續性

4. 平穩與時齊 Markov 過程及隨機過程的平穩分布

5. 平穩過程的自相關函數

6. 若干經典 Markov 過程實例

核心概念

1. 馬爾可夫性：無后效性，即t?>...>t?)\n"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">P(X(t?)|X(t?),...,X(t?))=P(X(t?)|X(t?))(t?>t?>...>t?)，是馬爾可夫過程的核心特征，大幅簡化了隨機過程的分析。

2. Chapman-Kolmogorov 方程：描述馬爾可夫過程不同時刻轉移概率之間的關系，是構建 Markov 過程動力學的基礎方程。

3. 平穩過程與自相關函數。平穩過程是滿足時間平移不變形的隨機過程，即 p(x1, t1; x2, t2; x3, t3;…;xn,tn)≡p(x1, t1+ε; x2, t2+ε; x3, t3+ε; …; xn, tn+ε) 。對于平穩過程，其自相關函數 是刻畫其性質的重要指標。

4. Markov 過程的例子。(1) 維納過程(Wiener Process)：無漂移、擴散系數為 1 的擴散過程，樣本路徑連續但處處不可微，是布朗運動的數學抽象，也是隨機積分的核心工具。(2) Ornstein-Uhlenbeck 過程 (O-U 過程)：含線性漂移項的平穩高斯馬爾可夫過程，具有回歸均值特性，可描述受阻尼的布朗運動，是刻畫平穩有色噪聲的經典模型。

5. 遍歷性(Ergodicity)：平穩過程的時間平均等于系綜平均，為通過單一樣本路徑的長期觀測推斷系統整體統計特性提供了理論依據。

主講人介紹

主講人：梁志中，北京工業大學數學統計學與力學學院碩士生，研究方向為系統生物學。

時間信息

2026年4月16日（周四）晚19:30-21:30，騰訊會議線上進行，微信視頻號+集智俱樂部B站號同步直播，感興趣的朋友掃碼報名加入隨機動力學讀書會后，可進入學員群進行交流。

直播信息

報名讀書會：「隨機動力學」

本次讀書會由諸葛昌靖、王利兩位老師共同發起，采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領大家系統研讀隨機過程領域的兩部經典著作，通過物理直覺與嚴謹理論的交織，助力參與者構建完整的隨機動力學知識體系。讀書會將于2026年4月9日起每周四晚上（創建讀書會暫定時間為19:30-21:30）線上開展，持續約10周，包含主講分享與討論交流，并提供會后視頻回放，誠邀相關領域研究者及跨學科興趣者參與。

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