★置頂zzllrr小樂公眾號，追蹤《小樂數(shù)學科普》系列報道！

2026年4月1日是索菲?熱爾曼誕辰250周年，4位著名英國數(shù)學家（盧卡斯?布蘭特納（主辦方）、安娜?卡拉亞尼、詹姆斯?梅納德（2022年菲爾茲獎得主）、勞拉?蒙克）于當天下午在英國皇家研究院法拉第劇場開展了面向大眾的科普講座。內(nèi)容涵蓋歷史、費馬大定理、振動薄板上的沙紋圖案，以及關于素數(shù)的開放性問題，從深刻的理論延伸到直觀可見的幾何圖案。本文為安娜?卡拉亞尼（Ana Caraiani）帶來的第二場演講：“索菲?熱爾曼最鐘愛的難題——費馬大定理”。

作者：安娜?卡拉亞尼（ Ana Caraiani ）2026-4-1

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2026-5-14

求喜歡

第二場演講主題：索菲?熱爾曼最鐘愛的難題——費馬大定理

費馬大定理是索菲·熱爾曼最傾心的未解難題，她將大量研究精力都投入其中。這一困擾學界數(shù)百年的謎題，推動了現(xiàn)代數(shù)論的發(fā)展，最終在二十世紀末，由安德魯·懷爾斯爵士取得驚人突破，徹底得以解決。本次講座將由淺入深，介紹圍繞費馬大定理衍生出的經(jīng)典與近代數(shù)學理論。

演講人簡介：

安娜·卡拉亞尼（ Ana Caraiani ）現(xiàn)任倫敦帝國理工學院英國皇家學會大學研究員、教授。她的研究領域為代數(shù)數(shù)論，重點研究朗蘭茲綱領與算術幾何。 安娜于2012年在哈佛大學取得數(shù)學博士學位。2017年入職帝國理工學院之前，她曾先后在芝加哥大學、普林斯頓大學與高等研究院、波恩大學擔任臨時學術職位。 她斬獲過多項學術大獎，包括2018年懷特海德獎、2020年EMS歐洲數(shù)學會獎與利弗休姆獎、2023年數(shù)學新視野獎，以及2025年露絲·利特爾·薩特數(shù)學獎，詳情參閱： 她面向各類數(shù)學學術群體已做過二百余場學術報告，并受邀在2022年國際數(shù)學家大會的數(shù)論與代數(shù)幾何分會場上作特邀報告。

嗯，好的。非常感謝盧卡斯的介紹，也十分感謝各位前來聆聽我今天的演講。今天能在索菲?熱爾曼誕辰250周年之際做這場分享，我感到十分榮幸。

索菲?熱爾曼無疑是我心中的數(shù)學偶像之一，她的很多研究方向也恰好是我格外感興趣的領域。所以今天我想聊聊索菲?熱爾曼與素數(shù)。我會先簡單介紹素數(shù)，再講講索菲?熱爾曼和素數(shù)之間的關聯(lián)，之后再談談素數(shù)與索菲?熱爾曼的研究如何在現(xiàn)實世界中影響我們，既包括對我這名職業(yè)數(shù)學研究者的意義，也包含更廣泛的現(xiàn)實應用價值。

首先我們先來認識素數(shù)，以及素數(shù)與費馬大定理的關聯(lián)。費馬大定理或許是數(shù)學界最著名的定理，同時也是索菲?熱爾曼重點研究、也是她最偏愛鉆研的數(shù)學難題。

素數(shù)（質(zhì)數(shù)）

素數(shù)是全體整數(shù)的基本構成單元。如果你去查素數(shù)的定義，會看到：素數(shù)是大于 1 的整數(shù)，且無法拆成兩個更小的整數(shù)相乘。也就是說，它不能寫成 a 乘 b 的形式，其中 a 和 b 都是比它小的整數(shù)。

舉個例子，15 不是素數(shù)，因為它可以拆成兩個更小整數(shù)相乘，也就是 3 乘 5。而 7 是素數(shù)，把 7 寫成兩個整數(shù)相乘，只有 7 乘 1 這一種方式，并不滿足兩個乘數(shù)都小于 7 的條件。

初次看到這個定義，你可能會覺得這只是數(shù)學里一個古怪的小眾性質(zhì)，沒有任何實際價值。或許在常人眼里，數(shù)學家只是在研究數(shù)字的奇特性質(zhì)而已，看似沒有什么實際意義。

但素數(shù)真正的重要性在于，它相當于算術世界里的原子，是算術體系的基本積木。任意一個整數(shù)，都可以分解為若干素數(shù)相乘，這就是算術基本定理，而且這種分解方式在不改變相乘順序的前提下是唯一的。

比如 135 可以寫成 5 乘 3 乘 3 乘 3。不管調(diào)換 5 和 3 的相乘順序，最終都只能分解成一個 5 和三個 3。

我有時會把整數(shù)想象成化學里的分子，分子由原子構成，而素數(shù)就是構成整數(shù)的原子。

這種分解思路非常實用：只要一個整數(shù)問題涉及乘法運算，借助素數(shù)是算術原子這一性質(zhì)，我們就能把復雜的整數(shù)難題，拆解成只和素數(shù)相關的簡單問題。

這和化學家研究化合物的邏輯完全一樣：只要弄清構成分子的原子，就能掌握化合物大部分化學性質(zhì)。原子無法解釋分子的所有性質(zhì)，但能提供大量關鍵信息，還能把復雜問題簡化。

所以數(shù)學里有一個基本思路：只要問題牽扯乘法，就可以把復雜的整數(shù)難題，化簡為更簡單的素數(shù)相關問題。

我用一個例子來解釋這個思路，這個例子也是索菲?熱爾曼一生最喜愛的數(shù)學難題 —— 費馬大定理。

費馬大定理

費馬曾提出著名論斷：當整數(shù) n 大于 2 時，方程 a? + b? = c?不存在非平凡整數(shù)解 a、b、c。當然存在一些平凡解，比如令 a、b、c 其中一個為 0，就會出現(xiàn)類似 a 等于 c、b 等于 0 這類解。拋開這些平凡解，只要 n 大于 2，方程就沒有其他整數(shù)解。

當 n 等于 2 時，方程就是勾股方程 a2 + b2 = c2，而這個方程存在無窮多組整數(shù)解。

這個猜想由皮埃爾?德?費馬提出，后來由我的牛津大學同事安德魯?懷爾斯完成證明，也是純數(shù)學領域的巔峰成就之一。

費馬大定理是典型的整數(shù)方程問題，且包含乘方運算，而 a?本質(zhì)就是 a 自乘 n 次。既然涉及乘法，我們自然可以嘗試把它化簡為素數(shù)相關的簡單問題。

事實上確實可以做到：只需證明指數(shù) n 為素數(shù)的情況，就能推導出整個費馬大定理成立。這個結論理解起來并不難，我簡單給你推導一下。

假設費馬大定理不成立，存在一個合數(shù)指數(shù) n 等于 15 時的反例，也就是存在整數(shù) a、b、c 滿足 a1? + b1? = c1?。

a1?就是 a 連乘 15 次，我們可以把這 15 個 a 分成三組，每組 5 個 a 相乘，也就是 (a?)3。同理 b1?等于 (b?)3，c1?等于 (c?)3。

于是原式就變成 (a?)3 + (b?)3 = (c?)3。這就意味著，指數(shù)為 3 時也出現(xiàn)了費馬大定理的反例。

由此可以推出一個通用結論：如果某個合數(shù)指數(shù) n 存在費馬大定理的反例，那么 n 的任意一個素因子，也一定存在反例。

反過來就能得到：如果所有素數(shù)指數(shù) n 都沒有反例，那么所有合數(shù)指數(shù) n 也必然沒有反例。因為合數(shù)指數(shù)一旦有反例，就會對應出一個素數(shù)指數(shù)的反例，形成矛盾。

所以我們只需要證明n 取素數(shù)時費馬大定理成立即可。

或許后排有些聽眾不完全認同這個推導，有一處細節(jié)需要補充：如果 n 是 2 的冪次，比如 8，按上面的邏輯會歸約到 n 等于 2 的情況，但我們知道 n 等于 2 時勾股方程本身就有無窮多解。

不過費馬本人早已證明 n 等于 4 時費馬大定理無解，因此最終只需考慮奇素數(shù)的情況就足夠了。

就這樣，數(shù)學界把這個全世界最著名的整數(shù)乘方方程難題，化簡為只需證明素數(shù)指數(shù)的情形，把復雜問題落到了素數(shù)研究上，大大降低了求解難度。這也是安德魯?懷爾斯證明費馬大定理的第一步核心思路。

接下來我再解釋一下，為什么素數(shù)指數(shù)的情形，會比合數(shù)指數(shù)更容易處理。我剛才說化簡成了素數(shù)相關的簡單問題，但這點并不直觀，背后源于素數(shù)獨有的優(yōu)美規(guī)律。

費馬小定理

素數(shù)擁有很多奇妙性質(zhì)，我小時候也很喜歡琢磨數(shù)字和素數(shù)的規(guī)律。我們來看一個和乘方余數(shù)相關的規(guī)律：把整數(shù)做乘方后，除以某個數(shù)所得的余數(shù)有什么特點。

先看三次方和除以 3 的余數(shù)：13 等于 1，除以 3 余 1；23 等于 8，除以 3 余 2；33 等于 27，除以 3 余 3；43 等于 64，除以 3 余 4；53 等于 125，除以 3 余 5。

你能明顯看出規(guī)律：任意整數(shù) x，都滿足 x3 除以 3 的余數(shù)恰好等于 x 本身。

但這個規(guī)律并不是對所有數(shù)都成立。我們再看四次方和除以 4 的余數(shù)：1?除以 4 余 1，符合規(guī)律；2?等于 16，能被 4 整除，余數(shù)是 0，不等于 2；3?等于 81，除以 4 余 1，不等于 3；4?除以 4 余 0，等于 4；5?除以 4 余 1，等于 5。

規(guī)律完全被打破了。

再看五次方和除以 5 的余數(shù)：1?除以 5 余 1；2?等于 32，除以 5 余 2；3?等于 243，除以 5 余 3；4?等于 1024，除以 5 余 4；5?等于 3125，除以 5 余 5。

規(guī)律完美成立：任意整數(shù) x，x?除以 5 的余數(shù)都等于 x 本身。

能發(fā)現(xiàn) 3 和 5 滿足這個規(guī)律，4 卻不滿足，核心原因就是 3、5 是素數(shù)，4 是合數(shù)。

這個規(guī)律對應的就是費馬小定理，由費馬嚴格證明：對任意素數(shù) p 和任意整數(shù) x，x?除以 p 的余數(shù)一定等于 x。

這個優(yōu)美性質(zhì)幾乎只對素數(shù)成立。如今計算機判定一個大數(shù)是不是素數(shù)，最主流的方法之一，就是驗證是否滿足費馬小定理這類同余性質(zhì)。計算機可以極速完成這類運算，這也是現(xiàn)代素數(shù)檢測的核心手段。

換一種更便于后續(xù)講解的表述：如果 x 不是素數(shù) p 的倍數(shù)，那么x??1除以 p 的余數(shù)一定是 1。

借助這個性質(zhì)，素數(shù)和整數(shù)乘法之間就產(chǎn)生了精妙關聯(lián)。

回到費馬大定理，如果存在整數(shù) x、y、z 滿足 x? + y? = z?，根據(jù)費馬小定理：x?除以 p 余 x，y?除以 p 余 y，z?除以 p 余 z。

代入方程就能推出 x + y ? z 一定是素數(shù) p 的倍數(shù)。

僅僅依靠費馬小定理，我們就能給費馬大定理的解加上一個非平凡約束，這也是為什么素數(shù)指數(shù)的情形，在數(shù)學上遠比合數(shù)指數(shù)更容易分析的核心原因。

我們把這個全世界最難的整數(shù)難題，有效化簡成了素數(shù)相關的簡化問題，得以利用素數(shù)的特有性質(zhì)開展研究。

講到這里，就要說說索菲?熱爾曼在其中扮演的角色了。

索菲?熱爾曼對費馬大定理的貢獻

十九世紀初，人們只零星證明了費馬大定理的少數(shù)特例。費馬本人證出 n 等于 4 的情形，歐拉在費馬基礎上證出 n 等于 3 的情形，除此之外，其余指數(shù)都沒有突破。當時所有人的研究思路，都是固定某個小整數(shù) n，逐個單獨攻堅。

而索菲?熱爾曼的偉大之處在于，她敢于跳出逐個特例的局限，直接從一般性的素數(shù)指數(shù) p 入手，整體攻克費馬大定理。

她曾與高斯通信，闡述了自己證明費馬大定理的初步構想。雖然這套構想最終存在漏洞無法落地，但思路本身極具美感，我還是想和大家分享一下她的構想。

這是索菲?熱爾曼心中想要一般性證明費馬大定理的理想路徑：只需考慮素數(shù)指數(shù) p，先假設方程 x? + y? = z?存在非平凡整數(shù)解。

她的核心洞見是：研究這類方程，可以引入輔助素數(shù)。p 本身是素數(shù)，而素數(shù)深度嵌入算術體系，如果某個素數(shù)可以寫成 k 乘 p 加 1 的形式，這類輔助素數(shù)能幫我們極大簡化分析。

她的構想是：若 k 乘 p 加 1 也是素數(shù)，那么這個輔助素數(shù)必然整除 x、y、z 其中的某一個數(shù)。

她進一步設想，滿足 k 乘 p 加 1 為素數(shù)的正整數(shù) k 有無窮多個，也就意味著存在無窮多個這類輔助素數(shù)。

那么 x 乘 y 乘 z 這個有限整數(shù)，就必須被無窮多個不同的素數(shù)整除。但一個有限正整數(shù)，不可能擁有無窮多個素因子。

唯一的例外只有數(shù)字 0，因為 0 可以被任意素數(shù)整除。

由此就能推出，唯一可能的解只能是平凡解，也就是 x、y、z 中至少有一個為 0，從而完成該素數(shù) p 下費馬大定理的證明。

這套思路原則上可以適配任意素數(shù) p，構想本身極具數(shù)學美感。如果能夠落地，會成為數(shù)論史上極具深度的開創(chuàng)性思想。這類著名數(shù)學難題往往無法正面硬解，只能依靠這種迂回間接的思路突破，索菲?熱爾曼正是走了這條迂回路徑：不直接證明 x、y、z 只能取平凡解，而是借助無窮多輔助素數(shù)的性質(zhì)，倒逼出只能是平凡解。

可惜的是，這個美好構想過于理想化，無法真正成立。關鍵漏洞在于：不能一般性保證 k 乘 p 加 1 型輔助素數(shù)一定整除 x、y、z 中的某一個，整個論證就此失效。

但索菲?熱爾曼的思考并非毫無價值，當 k 取較小數(shù)值時，這個結論是成立的。最經(jīng)典的就是 k 等于 2 的情形：若 p 是素數(shù)，且 2p+1 也為素數(shù)，那么 2p+1 必然整除 x、y、z 其中之一。

這是索菲?熱爾曼的核心成果之一。我簡單梳理一下背后的推導邏輯，不難理解，也能體現(xiàn)出她研究的核心思想 —— 借助輔助素數(shù)，搭建素數(shù)與算術方程的關聯(lián)。

設 x? + y? = z?，顯然 x? + y? ? z?等于 0，自然能被輔助素數(shù) q=2p+1 整除。

通過分類討論可以發(fā)現(xiàn)：如果 x?、y?、z?除以 q 的余數(shù)都為 1，那么三者相加相減后的結果，除以 q 只能余 1 或余 3，不可能余 0，和原式矛盾。

這就說明，x?、y?、z?中至少有一個除以 q 的余數(shù)不等于 1。

若一個數(shù)除以 q 余 1 或余?1，它的平方除以 q 一定余 1。因此 x2?、y2?、z2?不可能全都除以 q 余 1。

而 q=2p+1 是素數(shù)，根據(jù)費馬小定理，只要 x 不是 q 的倍數(shù)，x^(q?1) 除以 q 一定余 1。結合上面的矛盾可以推出：x、y、z 中必有一個是 q 的倍數(shù)。

這就是索菲?熱爾曼給出的核心論證，也是她攻堅費馬大定理宏大構想的第一步完整證明。

這也是數(shù)學界首次針對費馬大定理得出一般性結論，不再局限于單個小指數(shù)。

她的研究并沒有止步于 2p+1 型素數(shù)，還進一步研究 4p+1 型輔助素數(shù)，重點分析指數(shù)為 5 的費馬大定理，推導出大量整除約束條件。

她證明：指數(shù)為 5 時，若存在非平凡解，數(shù)值至少有 30 位，不可能存在小數(shù)解。

她在寫給高斯的信里說道，大意是：

我已然證明這類方程的解必然大到超乎想象，但這還遠遠不夠，真正需要證明的是不存在任何非平凡解，而不只是解的數(shù)值極大。

這句話文筆優(yōu)美，也能看出她純粹數(shù)學家的治學追求，一心執(zhí)著于費馬大定理的完整證明。

后人也曾用 AI 還原過索菲?熱爾曼給高斯寫信的場景，有趣的是 AI 生成畫面里她是倒著書寫的。

回到正題，她最初的整體構想雖然失敗了，但數(shù)學界后續(xù)形成了標準研究范式：把費馬大定理分成兩種情形。第一種情形，x、y、z 都不是素數(shù) p 的倍數(shù)；第二種情形，x、y、z 中有一個是 p 的倍數(shù)。只需分開攻克兩種情形即可。

索菲?熱爾曼借助輔助素數(shù)的思路，成功證明了費馬大定理的第一種情形：若 p 是素數(shù)且 2p+1 也為素數(shù)，則不存在 x、y、z 均不被 p 整除的非平凡解。

借助這套定理的推廣形式，她一口氣證明了所有不超過 100 的素數(shù) p，費馬大定理第一種情形全部成立。這足以體現(xiàn)她研究方法的強大價值，是真正可行的通用部分解法。

在她的思想基礎上，沒過幾年，勒讓德完整證出了指數(shù)為 5 的費馬大定理。因為 2 乘 5 加 1 等于 11 也是素數(shù)，恰好適配索菲?熱爾曼定理，先證出第一種情形，后人再補上第二種情形的證明。

如今我們把滿足p 為素數(shù)、且 2p+1 也為素數(shù)的素數(shù) p，命名為索菲?熱爾曼素數(shù)，正是為了紀念她的貢獻。

隨之而來的一個經(jīng)典未解難題：索菲?熱爾曼素數(shù)有無窮多個嗎？一百多年來數(shù)學家始終沒能證明，但普遍猜想有無窮多個，這個問題和素數(shù)分布的現(xiàn)代數(shù)論研究深度綁定。

在索菲?熱爾曼之后，庫默爾等人開辟了代數(shù)數(shù)論的全新方向，發(fā)展出更多攻堅費馬大定理的工具，但她的研究始終保有極高價值。

1980年代，在懷爾斯證明費馬大定理之前，阿德曼、福維、希思布朗等人取得重要成果：首次證明有無窮多個素數(shù)指數(shù) p，費馬大定理第一種情形成立。其核心思想，正是推廣了索菲?熱爾曼的原始思路，結合素數(shù)分布的相關結論，雖弱于證明索菲?熱爾曼素數(shù)無窮多，但已是重大突破。

接下來我們換個角度，跳出十九世紀初的費馬大定理研究。素數(shù)的價值從來不只體現(xiàn)在純數(shù)論和索菲?熱爾曼的研究中，在現(xiàn)實世界同樣不可或缺。

素數(shù)的現(xiàn)實世界價值

如今互聯(lián)網(wǎng)通信安全至關重要。網(wǎng)購支付時，我們會傳輸銀行卡信息，絕不能被黑客竊取。電腦會對銀行卡信息進行加密，避免明文傳輸，加密方式要保證黑客難以破解，同時能和正規(guī)網(wǎng)站完成安全通信。

日常手機、電腦使用的主流密碼學系統(tǒng)，核心都依賴大整數(shù)相乘。銀行卡號本身可以視作一個大整數(shù)，加密過程就是大量整數(shù)乘法運算。

只要涉及整數(shù)乘法，就可以依托素數(shù)是算術原子的思路，把加密破解問題化簡為素數(shù)分解問題。

現(xiàn)代密碼破解的核心難點，本質(zhì)就是大整數(shù)的素因子分解。

前面舉過例子，135 可以唯一分解為 5 乘 3 乘 3 乘 3。再比如 449623，分解后是 521 乘 863。小數(shù)分解對計算機十分輕松，但超大整數(shù)的分解難度會陡增。

歷史上有名的 RSA-896（具有896個十進制數(shù)位，目前沒有被分解） 大數(shù)分解挑戰(zhàn)，懸賞七萬五千美元，長期無人破解。即便如今動用巨型算力勉強分解，成本也遠遠超過獎金。

RSA-896 = 412023436986659543855531365332575948179811699844327982845455626433876445565248426198098870423161841879261420247188869492560931776375033421130982397485150944909106910269861031862704114880866970564902903653658867433731720813104105190864254793282601391257624033946373269391

計算機用這類大數(shù)加密輕而易舉，但反向做素因子分解要耗費海量時間。軟件可以隨意選用遠大于這個量級的大數(shù)，幻燈片不便展示而已。

正因為密碼學繞不開乘法和素數(shù)分解，研究者也借鑒了索菲?熱爾曼研究輔助素數(shù)的思想：如果一個大素因子 p 滿足 p?1 只有小素因子，就存在波爾拉德提出的高效破解算法。

這也提醒密碼軟件選型必須謹慎，隨便選用大數(shù)很容易被黑客分解破解。

為規(guī)避這類攻擊，OpenSSL 等主流密碼軟件都會優(yōu)先選用安全素數(shù)：即大素數(shù) p 滿足 (p?1)/2 也為素數(shù)。

安全素數(shù)的數(shù)量，直接決定互聯(lián)網(wǎng)加密體系的安全性。如果安全素數(shù)數(shù)量稀少，電腦就要耗費極久時間篩選；如果只有有限一百個，黑客可以直接枚舉嘗試破解。

而安全素數(shù)是否有無窮多個，本質(zhì)等價于索菲?熱爾曼素數(shù)是否有無窮多個。

由此可見，索菲?熱爾曼當年純粹出于抽象數(shù)論興趣的研究，和現(xiàn)實互聯(lián)網(wǎng)安全、密碼體系的底層問題完全同源，深刻影響著現(xiàn)代日常生活。

總結

總結一下我們今天講到的內(nèi)容：素數(shù)是算術世界的原子，遇到整數(shù)乘法類難題時，都可以拆解為素數(shù)相關的簡化問題。費馬大定理就是典型案例，化簡為只需證明素數(shù)指數(shù)的情形，難度大幅降低。

借助素數(shù)的同余規(guī)律、輔助素數(shù)構造，索菲?熱爾曼在費馬大定理上取得歷史性突破，給出通用研究方法，證明了大量素數(shù)下的第一種情形成立。

而素數(shù)的規(guī)律研究，很快就會碰到大量百年未解難題：索菲?熱爾曼素數(shù)無窮性、安全素數(shù)無窮性、孿生素數(shù)猜想、哥德巴赫猜想等等，全部屬于同類型素數(shù)分布問題。

數(shù)學家普遍認為，只要攻克其中一個問題，配套方法稍作調(diào)整，就能順帶解決另外幾個難題，相當于一題通三題。

雖然至今沒能完整證明，但現(xiàn)代數(shù)學一直在逐步推進。比如孿生素數(shù)猜想，我們暫時無法證明存在無窮多相差為 2 的素數(shù)對，但已經(jīng)證出存在無窮多相差不超過 246 的素數(shù)對（參閱張益唐、詹姆斯·梅納德等人的工作，譯者注）。

十年前我們甚至無法確定是否存在固定有限差值，如今已經(jīng)邁出關鍵一步。同理，研究者也用同類方法，證出了索菲?熱爾曼素數(shù)問題的弱版本結論，雖未完全解決，但一直在逼近最終答案。

面對這些百年素數(shù)難題，我們雖未完全攻克，但現(xiàn)代數(shù)論正在一點點突破邊界，不斷給出弱化版本的階段性成果。

我的分享就到這里，非常感謝各位的聆聽。也祝索菲?熱爾曼誕辰250周年紀念圓滿。

參考資料

https://www.youtube.com/watch?v=OZ5kAWBE5vg

https://www.sophie-germain.com/250/

http://shuxueji.com/w/11677

小樂數(shù)學科普近期文章

版權聲明：本文首發(fā)于微信公眾號“zzllrr小樂”的專欄《小樂數(shù)學科普》。歡迎個人轉發(fā)。如需轉載，請在“zzllrr小樂”公眾號后臺回復“轉載”，還可通過公眾號菜單、發(fā)送郵件到zzllrr@gmail.com與我們?nèi)〉寐?lián)系。相關圖文音視頻內(nèi)容默認遵守CC BY-NC 4.0知識共享協(xié)議，未獲作者和譯者授權，禁止用于營銷宣傳和商業(yè)目的。

·開放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙·

讓數(shù)學

更加

易學易練

易教易研

易賞易玩

易見易得

易傳易及

歡迎評論、點贊、在看、在聽

收藏、分享、轉載、投稿

查看原始文章出處

點擊底部一起捐

助力騰訊公益

點擊zzllrr小樂

公眾號主頁

右上角

置頂★加星

數(shù)學科普不迷路！