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英國的海岸線有多長？斜方截半立方體是什么？哪位美國總統(tǒng)證明過勾股定理？

這場關(guān)于著名數(shù)學(xué)方程及其歷史的講座，解答了這些以及其他許多引人入勝的問題。本次選取的方程橫跨數(shù)學(xué)多個領(lǐng)域，時間跨度長達(dá)四千年，從早期幾何學(xué)一直延伸到分形藝術(shù)。

圖源：gresham.ac.uk

作者：羅賓?威爾遜（Robin Wilson）教授 2025-6-4

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-5-18

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演講人簡介：

羅賓?威爾遜（Robin Wilson）教授是格雷沙姆學(xué)院幾何學(xué)榮休教授、開放大學(xué)純數(shù)學(xué)榮休教授，曾任牛津大學(xué)基布爾學(xué)院研究員。他還長期在美國科羅拉多學(xué)院擔(dān)任客座教授，并于2023年獲該校數(shù)學(xué)榮譽(yù)博士學(xué)位。

威爾遜教授的學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域?yàn)閳D論，尤其專注于圖著色問題，如四色問題。他同時從事數(shù)學(xué)史研究，重點(diǎn)關(guān)注英國數(shù)學(xué)、17世紀(jì)數(shù)學(xué)、1860至1940年數(shù)學(xué)發(fā)展，以及圖論與組合數(shù)學(xué)史。他已撰寫與主編超過50本相關(guān)著作，并因其相關(guān)寫作與科普工作獲得多項(xiàng)國際獎項(xiàng)。

在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域之外，威爾遜教授還對合唱演唱以及吉爾伯特與沙利文的音樂作品抱有濃厚興趣；后一項(xiàng)研究興趣已催生多部出版物與兩場格雷沙姆學(xué)院講座。他亦曾主講數(shù)學(xué)與音樂之間的聯(lián)系。

在2004年被任命為格雷沙姆幾何學(xué)教授之前，他曾任數(shù)學(xué)史客座教授。就任幾何學(xué)教授席位時，威爾遜教授表示：“數(shù)學(xué)過去是、也一直是人類文化的核心組成部分。我相信，若將這一學(xué)科與其歷史根基割裂，便無法真正理解它。我的講座正是為了踐行這一理念。”

引言

方程是數(shù)學(xué)的核心。它們背后的故事往往能讓我們了解其誕生的文化，以及為發(fā)現(xiàn)它們不懈探索的學(xué)者。我最近完成了一本關(guān)于方程起源的著作（見參考文獻(xiàn)1），在探究它們的由來過程中收獲頗豐。本次講座我從數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域選取了五個方程，其中一些大家或許已經(jīng)熟悉，另一些則可能較為陌生。本摘要概述了主要思想；更多細(xì)節(jié)及大量圖示將在講座中呈現(xiàn)，也可在參考文獻(xiàn)1中查閱。

方程1：a2 + b2 = c2

勾股定理

這個方程是直角三角形的勾股定理，能勾起我們的學(xué)生時代回憶，它橫跨幾何與代數(shù)兩大領(lǐng)域。它是數(shù)學(xué)中最著名、最卓越的結(jié)論之一，應(yīng)用范圍極為廣泛。但它從何而來？又與畢達(dá)哥拉斯有何關(guān)系？

該定理告訴我們：對直角三角形而言，斜邊上正方形的面積等于兩條直角邊上正方形面積之和 —— 因此它是一個幾何結(jié)論。

若三角形三邊長為 a、b、c（c 為斜邊），則這些面積分別為 a2、b2、c2，我們可以把定理寫成代數(shù)形式 a2 + b2 = c2，盡管這樣的方程對畢達(dá)哥拉斯及其同時代人而言毫無意義。例子包括邊長為 1、1、√2 的直角三角形，滿足 12 + 12 = (√2)2；以及邊長為 3、4、5（滿足 32 + 42 = 52）和 5、12、13（滿足 52 + 122 = 132）的直角三角形。

畢達(dá)哥拉斯約公元前570年生于希臘薩摩斯島，后來與追隨者遷居克羅托內(nèi)（今屬意大利）。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派探索了數(shù)學(xué)證明，但現(xiàn)存證據(jù)中沒有能將具體結(jié)論與該學(xué)派或畢達(dá)哥拉斯本人直接聯(lián)系起來的，因此許多史學(xué)家更愿意稱其為勾股定理，而非畢達(dá)哥拉斯定理。

盡管畢達(dá)哥拉斯學(xué)派可能最早證明了這一結(jié)論，但早在一千年前的美索不達(dá)米亞，人們就已經(jīng)知道它。

美索不達(dá)米亞人（或稱巴比倫人）用尖筆在泥板上書寫，數(shù)千塊數(shù)學(xué)泥板留存至今。他們的數(shù)制不以 10 為基，而以 60 為基，這一傳統(tǒng)保留在我們的時間計量中：1 分鐘有 60 秒，1 小時有 60 分鐘。一塊約公元前 1700 年的泥板上畫有一個正方形及其對角線，并以 60 進(jìn)制標(biāo)出數(shù)字 30（正方形邊長）和 42;25,35（對角線長度）。他們給出的√2 值為 1;24,51,10，換算成我們的十進(jìn)制，精確到驚人的五位小數(shù)。

古代中國人也熟知這一結(jié)論，折竹問題便是例證：有一根竹子高 10 尺，折斷后竹梢觸地，離根部 3 尺。問折斷處的高度是多少？用我們的代數(shù)符號求解，設(shè)折斷處高度為 h，則三角形一邊為 3，斜邊為 10?h。由勾股之法，h2 + 32 = (10?h)2，解方程得答案為 4 又 11/20 尺。

勾股定理有數(shù)百種證明方法，我們介紹其中三種。多個古文明都用過剖分法得到這一結(jié)論。

具體來說，可以用兩種方式剖分一個邊長為 a+b 的正方形。每種剖分都包含四個邊長為 a、b、c 的直角三角形；從一種剖分中移去這些三角形，剩下面積為 a2 和 b2 的正方形；從另一種剖分中移去，則剩下一個面積為 c2 的正方形。將面積相等便得到 a2 + b2 = c2。

另一種證明出自詹姆斯?加菲爾德（后來的美國第20任總統(tǒng)），據(jù)說來自他和國會議員們的一次數(shù)學(xué)討論。

他取兩個全等的直角三角形（邊長 a、b、c），將它們首尾相接，再連接頂端頂點(diǎn)，形成一個豎直邊長為 b 和 a、底邊長為 a+b 的梯形。長度為 c 的兩條斜邊之間的夾角恰好是直角。該梯形的面積等于底乘以平均高度，即 (a+b) × (a+b)/2；而三個三角形的總面積為 ab/2 + c2/2 + ab/2。將兩式相等并化簡，即得 a2 + b2 = c2。

在歐幾里得《幾何原本》（公元前3世紀(jì)）中，第一卷逐步推導(dǎo)出勾股定理，其證明精彩展現(xiàn)了貫穿這部經(jīng)典著作的幾何論證風(fēng)格。主要思路將在講座中呈現(xiàn)。

我們能否將（平面直角三角形的）勾股定理推廣到三維空間？

給定一個長寬高為 a、b、c、體對角線長為 d 的長方體，對兩個直角三角形連續(xù)應(yīng)用勾股定理，可得 a2 + b2 + c2 = d2，這就是三維版本。

對邊長為1的立方體，有 12 + 12 + 12 = (√3)2；整數(shù)邊長的例子有 32 + 42 + 122 = 132。

講座中展示的這個三維版本的例子，由英國謎題大師亨利?杜登尼在1917年提出，內(nèi)容是一只蜘蛛和一只蒼蠅位于長方形房間的對角位置。

我們還能把勾股定理推廣到更高次冪嗎？

例如，一個立方數(shù)能否是另外兩個立方數(shù)之和？一個四次方數(shù)能否是另外兩個四次方數(shù)之和？這類問題引起了17世紀(jì)法國律師、數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬的興趣，他用巧妙的論證證明了四次方的情形不存在這樣的結(jié)果。

盡管費(fèi)馬進(jìn)一步宣稱，他已證明對任何大于2的整數(shù)n，方程 a? + b? = c?沒有非平凡的整數(shù)解，但幾乎沒人相信他的說法 —— 即便經(jīng)過多次嘗試，也無人能給出有效證明。事實(shí)上，直到1990年代，在普林斯頓大學(xué)工作的英國數(shù)學(xué)家安德魯?懷爾斯才激動地宣布，他證明了費(fèi)馬的結(jié)論在所有情形下都成立。盡管他的論證中發(fā)現(xiàn)了一個漏洞，但很快被修補(bǔ)，一篇長達(dá)1000頁的證明于1995年發(fā)表。歷經(jīng)三個多世紀(jì)，費(fèi)馬所謂的 “大定理” 終于得證。

方程2：φ2 = φ + 1

這個方程包含黃金分割比（常用希臘字母 φ 表示），并與斐波那契數(shù)列相關(guān)。

盡管它的部分幾何性質(zhì)可追溯到古希臘，但直到19世紀(jì)才被冠以 “黃金” 之名。1509年，意大利人盧卡?帕喬利賦予它宗教意義，稱其為 “神圣比例”；一個世紀(jì)后，數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家約翰內(nèi)斯?開普勒表示贊同，將其形容為 “稀世珍寶”，并稱它是上帝創(chuàng)造宇宙的基本元素。

數(shù)φ是二次方程 x2 = x + 1 的正根，等于(1+√5)/2，即 1.618033……，是一個無限不循環(huán)的無理數(shù)。由 φ2 = φ + 1 可知，給它加1就得到它的平方，因此 φ2 = 2.618……。若把二次方程改寫為1/φ = φ ? 1，則給它減 1就得到它的倒數(shù)，因此1/φ = 0.618……。同樣注意到1/(φ ? 1) = φ，即 1/0.618…… = 1.618……。

人們對黃金分割比的興趣大多來自幾何，但關(guān)于其幾何起源的說法往往缺乏依據(jù)。例如，有說法稱雅典帕特農(nóng)神廟及其他希臘建筑的比例基于黃金分割。從審美上看，有些建筑可能顯得過短過胖，或過長過瘦，而符合這一比例的矩形建筑會被認(rèn)為形狀完美。但盡管希臘人知道黃金分割比，沒有證據(jù)表明他們按此設(shè)計建筑。

黃金矩形的邊長之比為φ:1。若從這樣的矩形中切去一個邊長為1的正方形，得到的矩形仍保持相同比例；這是因?yàn)?φ/1 = 1/(φ ? 1)。若繼續(xù)從第二個矩形中切去正方形，并不斷重復(fù)，我們可以畫出一系列圓弧，近似形成一條螺旋線（稱為黃金螺旋），它收斂于前兩個矩形對角線的交點(diǎn)。這種螺旋是對數(shù)螺旋，在自然界中以鸚鵡螺殼、向日葵花盤等形式出現(xiàn)。

黃金分割比還出現(xiàn)在其他地方。例如，正五邊形的任意一條對角線長度都是邊長的 φ 倍。由正五邊形的兩條邊和一條對角線構(gòu)成的三角形，內(nèi)角為 108° 和 36°；由兩條對角線和一條邊構(gòu)成的三角形，內(nèi)角為 72° 和 36°；此外可證 φ = 2cos36°。

諾貝爾獎得主羅杰?彭羅斯用不同方式組合這些三角形，構(gòu)造出 “風(fēng)箏” 和 “飛鏢” 形狀，用于所謂的彭羅斯密鋪。與平面的三種正密鋪（正方形、正三角形、正六邊形）不同，彭羅斯密鋪無論延伸多遠(yuǎn)都不會重復(fù)。它也與物理學(xué)中的準(zhǔn)晶體有關(guān)。詳情參閱

與黃金分割比緊密相連的是斐波那契數(shù)列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ……，每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和。比薩的列奧納多約1170年出生，19世紀(jì)起被稱為斐波那契。他在北非旅行時學(xué)會了印度—阿拉伯?dāng)?shù)字，隨后在影響深遠(yuǎn)的《算盤書》中將其傳播到西歐。

書中包含許多數(shù)學(xué)問題，其中著名的兔子問題如下：農(nóng)夫有一對小兔子。兔子需要兩個月才能成熟，之后每個月生下一對小兔子。一年后共有多少對兔子？

逐月的兔子對數(shù)正是斐波那契數(shù)。有趣的是，斐波那契本人似乎對這個問題并無特別興趣，直到19世紀(jì)它才廣為人知。

這一切和黃金分割比有什么關(guān)系？17世紀(jì)初，開普勒研究了連續(xù)斐波那契數(shù)的比值，他發(fā)現(xiàn)這些比值1/1、2/1、3/2等會收斂到一個極限，這個極限正是黃金分割比φ。

基于斐波那契數(shù)畫出的矩形圖，會形成一條與前面黃金螺旋相似的螺旋線；可隨意繼續(xù)添加更大的矩形。和黃金分割比一樣，斐波那契數(shù)在自然界中隨處可見；例如，向日葵花盤螺旋排列的種子數(shù)量常常是斐波那契數(shù)，如34、55 或 89。

19世紀(jì)一個有趣的悖論由《愛麗絲夢游仙境》的作者、數(shù)學(xué)家劉易斯?卡羅爾推廣。將一個 8×8、共 64 格的正方形切成四塊，重新拼接后得到一個 5×13、共 65 格的矩形。多出來的一格從何而來？悖論的原因在于：把 8×8 正方形的四塊拼成 5×13 矩形時，中間有一個細(xì)長的平行四邊形縫隙，面積恰好等于一格。類似地，把 13×13、共 169 格的正方形切割重排，可得到 8×21、共 168 格的矩形 —— 但這次是消失了一格，而非多出一格。這些數(shù) 5、8、13、21 都是斐波那契數(shù)，對這個及所有類似例子，總會恰好增加或消失一格。

在結(jié)束這個方程的討論前，我們提一下斐波那契數(shù) 89 的一個奇妙性質(zhì)：它的倒數(shù) 1/89 的小數(shù)形式以 0.011235 開頭，清晰呈現(xiàn)出前面的斐波那契數(shù)。事實(shí)上，1/89 恰好等于由斐波那契數(shù)構(gòu)成的一個無窮級數(shù) —— 這是一個非凡的結(jié)論！

方程3：V ? E + F = 2

這個方程與多面體有關(guān)，被稱為歐拉多面體公式。

多面體（意為 “多個面”）是由多邊形作為面構(gòu)成的三維幾何體。常見的例子有立方體（六個正方形面）和埃及金字塔（正方形底面、四個三角形面）。這類多面體有頂點(diǎn)（角）和棱（18世紀(jì)數(shù)學(xué)家萊昂哈德?歐拉引入的概念，他也提出了這個方程，詳見下文）。

“正” 多面體恰好有五種，它們的面都是同一種正多邊形，且每個頂點(diǎn)處的面排布相同。其中三種以三角形為面：正四面體（四個面）、正八面體（八個面）、正二十面體（二十個面）。另外兩種是立方體（或稱正六面體，六個正方形面）和正十二面體（十二個正五邊形面）。這些多面體常被稱為柏拉圖立體，以柏拉圖命名，他在對話錄《蒂邁歐篇》中描述了它們，并將其與古希臘四元素 —— 火、土、氣、水 —— 以及宇宙相聯(lián)系。

1596年，開普勒提出了天界與柏拉圖立體之間的另一種聯(lián)系。在他的時代，已知行星僅有六顆，他提出如何讓它們的軌道恰好嵌套在這五種柏拉圖立體之間。但他的模型并未被廣泛接受，尤其是在其他行星被發(fā)現(xiàn)之后，盡管他構(gòu)建宇宙模型的思想意義重大。

多面體也出現(xiàn)在自然界中，例如各種化學(xué)物質(zhì)的晶體，如黃鐵礦的立方體、八面體和十二面體晶體。它們也以放射蟲的形式存在，即某些海洋生物的骨骼。

回到古希臘，我們發(fā)現(xiàn)十三種半正多面體，它們的面仍是正多邊形，但不全相同 —— 例如，截角二十面體由正五邊形和正六邊形構(gòu)成。這些立體常以阿基米德命名，據(jù)說他在一部現(xiàn)已失傳的著作中描述過它們。開普勒也研究過它們，并為它們起了有趣的名字；例如，其中一種名為 “大斜方截半二十面體”。

現(xiàn)在我們來看歐拉多面體公式：若一個多面體有 V 個頂點(diǎn)、E 條棱、F 個面，則 V ? E + F = 2（或歐拉原式：F + V = E + 2）。

例如，立方體有 6 個面、8 個頂點(diǎn)、12 條棱，滿足 8 ? 12 + 6 = 2；正十二面體同理。該結(jié)論對半正多面體同樣成立 —— 例如，大斜方截半二十面體有 62 個面、120 個頂點(diǎn)、180 條棱，公式依然成立。

該公式最早出現(xiàn)在1750年歐拉寫給克里斯蒂安?哥德巴赫（以哥德巴赫猜想聞名）的一封信中，第6段以 H + S = A + 2 的形式給出，其中H是面數(shù)（hedrae），S是立體角數(shù)（即頂點(diǎn)數(shù)），A是棱數(shù)（acies，歐拉引入的術(shù)語）—— 但歐拉從未給出正確的證明。歐拉公式有時被歸功于勒內(nèi)?笛卡爾，他得到過一個可推導(dǎo)出該公式的結(jié)論，但從未真正寫出它。

接下來我們看所有面都是五邊形和六邊形的多面體。一個例子是截角二十面體（形似 “足球”），其中 V=60，E=90，F(xiàn)=32，滿足 60 ? 90 + 32 = 2。美國建筑師巴克敏斯特?富勒在設(shè)計巨型測地線穹頂（ geodesic dome，也稱網(wǎng)格球頂、短程線穹頂）時對這類多面體產(chǎn)生了興趣；它們也以富勒烯（或稱巴基球）的形式出現(xiàn)在化學(xué)中，這類分子以他名字命名。

這類多面體可以有很多六邊形，但如果每個頂點(diǎn)恰好都連有三條棱（就像足球或巴基球那樣），那么無論六邊形有多少，五邊形一定恰好12個。證明如下：設(shè)五邊形有 p 個，六邊形有 h 個，則 F = p + h；統(tǒng)計所有面的邊數(shù)總和，得到 5p + 6h，這等于 2E（系數(shù) 2 是因?yàn)槊織l棱屬于兩個面，因此被計算兩次）。統(tǒng)計每個頂點(diǎn)處的三條棱，同理可得 3V = 2E（因?yàn)槊織l棱連接兩個頂點(diǎn)），它同樣等于 5p + 6h。將這些值代入歐拉公式 F + V = E + 2，會發(fā)現(xiàn) h 被消去，最終得到 p = 12—— 下次看到測地線穹頂或看足球比賽時，可以記住這件事。

到目前為止，我們只討論了可以畫在球面上的多面體，比如足球。但畫在其他曲面上的多面體呢？例如環(huán)面（環(huán)形面包圈的表面）？1813 年，瑞士數(shù)學(xué)家呂利耶（Simon Antoine Jean L'Huilier）研究了穿有隧道的多面體（即畫在環(huán)面上的多面體），并證明此時 V ? E + F 等于 0，而不是 2。事實(shí)上，每多開一條隧道，V ? E + F 的值就減少 2。換一種說法：對有 g 個洞的曲面（等價于帶 g 個柄的球面），歐拉公式變?yōu)?V ? E + F = 2 ? 2g。因此在雙洞曲面上的多面體，該值為?2。相應(yīng)地，這里出現(xiàn)的數(shù) 2 ? 2g 現(xiàn)在被稱為曲面的歐拉示性數(shù)。

方程4：C(n,k) = C(n?1,k) + C(n?1,k?1)

這個方程研究的是從給定集合中選取元素的組合計數(shù)。這類問題屬于組合分析（或稱組合數(shù)學(xué)），是數(shù)學(xué)中研究對各類對象進(jìn)行選擇、排列、羅列與計數(shù)的分支。我們先從排列開始，再進(jìn)入組合與帕斯卡三角。

約公元前6世紀(jì)，一部梵語醫(yī)學(xué)著作提到藥物可分為甘、酸、咸、辛、苦、澀六味，其作者妙聞（Sùsruta）明確列出了每次取兩味的所有可能組合：共15種，如 “甘+酸”“酸+苦”。他還列出了每次取三味的20種組合、每次取四味的15種組合，以及每次取一味或五味的6種組合。一般地，從n個物體中每次取k個的組合數(shù)，記為C(n,k)。

很久之后，公元6世紀(jì)，天文學(xué)家伐羅訶密希羅（Varāhamihira）計算了從16種香料中選4種的方法數(shù)，得到正確答案1820。他顯然沒有把所有組合全部列出，那么他是如何算出這個數(shù)的？

但首先，一組給定物體能有多少種排列？來看同樣來自印度的問題：

印度神祇毗濕奴的四只手中分別持有輪盤、海螺、蓮花、權(quán)杖 —— 共有多少種排列方式？

答案是：毗濕奴的第一只手可拿四件物品中的任意一件，第二只手可拿剩下三件中的任意一件，依此類推。因此總排列數(shù)為 4×3×2×1=24，我們稱之為4的階乘（寫作！）。

同理可給出n個物體的排列數(shù)（稱為n 的階乘）。例如，12世紀(jì)一個關(guān)于神祇濕婆的問題，求十件物品的排列數(shù)，物品從繩索、象鉤到床架、匕首不等。第一只手有10種選擇，第二只手有9種選擇，依此類推，得到答案 10!，超過300萬。

另一位對排列感興趣的學(xué)者是法國修士、數(shù)學(xué)家馬蘭?梅森（以梅森素數(shù)聞名）。1636年，他出版了《普通和諧》一書，探討音樂的諸多理論問題。他特別列出了由四個音符排列而成的全部 4!=24 首 “曲調(diào)”，隨后又列出五個音符的 5!=120 種排列和六個音符的 6!=720 種排列 —— 滿滿幾頁紙，全部完整寫出。

前面我們遇到了物體的組合問題。為進(jìn)一步探究，回到伐羅訶密希羅的問題：從16種香料中選4種，有多少種方法？若考慮選取順序，則第一件有16種選法，第二件15種，第三件14種，第四件13種，總共有 16×15×14×13 種選法；注意這個數(shù)等于 16!/12!。但這里順序無關(guān)緊要：四種香料可以有 4!=24 種不同順序，卻對應(yīng)同一種選取。因此可能的選取數(shù)要除以 4!，得到 16!/(12!4!)=1820，即為答案。一般地，從n個物體中無序選取k個的數(shù)量為 n!/(k!(n?k)!)，和前面一樣記為 C(n,k)。

組合數(shù)有兩條重要規(guī)則：

規(guī)則1：對任意數(shù) k 和 n，C(n,k) = C(n,n?k)

例如，我們在妙聞的藥物問題中看到，C(6,2)=C(6,4)，都等于15。我們可以用上面 C(n,k) 的公式從代數(shù)上證明，但更直觀的思路是：選2味藥等價于不選另外4味藥，因此選2味的方法數(shù) C(6,2) 等于選哪4味不選的方法數(shù) C(6,4)—— 這個論證對一般情況都成立。

規(guī)則2（即本方程）：C(n,k) = C(n?1,k) + C(n?1,k?1)

例如（由妙聞的結(jié)果），C(7,3)=C(6,3)+C(6,2)=20+15=35。同樣，我們可以用代數(shù)證明，但組合論證更有啟發(fā)性。為此，我們把n個物體中的某一個做個標(biāo)記 —— 比如涂成紅色。那么從n個物體中選k個的任意選取，要么不含紅色物體（需要從剩下n?1個中k個），要么包含紅色物體（需要從剩下n?1個中選k?1個）。因此總選取數(shù) C(n,k) 等于不含紅色物體的選取數(shù) C(n?1,k) 加上包含紅色物體的選取數(shù) C(n?1,k?1)。

一個著名的對稱數(shù)陣是算術(shù)三角，或稱帕斯卡三角，以法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家布萊茲?帕斯卡命名。在這個數(shù)陣中，第n行第k條對角線上的數(shù)就是組合數(shù) C(n,k)；例如，在標(biāo)記 n=6 的行中，數(shù)字 1、6、15、20、15、6、1 正是從 C(6,0) 到 C(6,6) 的妙聞數(shù)。這里有幾點(diǎn)值得注意：

由組合規(guī)則1，每一行都可以正讀或反讀。

由組合規(guī)則2，每個內(nèi)部數(shù)都是它上方兩個數(shù)之和；例如，第7行的每個35都是第6行 15 和 20 的和。

我們也可以看對角線。對角線 k=0 全是 1。對角線 k=1 列出自然數(shù) 1、2、3、4、5……，而對角線 k=2 是所謂的三角形數(shù)1、3、6、10、15……；更靠后的對角線則包含更高維的三角形數(shù)類比。

出現(xiàn)在帕斯卡三角中的組合數(shù) C(n,k) 常被稱為二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)樗鼈兂霈F(xiàn)在二項(xiàng)式（兩項(xiàng)表達(dá)式）如 1+x 的冪次展開中。例如，展開 (1+x)?，得到 1+6x+15x2+20x3+15x?+6x?+x?，其中系數(shù) 1、6、15、20、15、6、1 正是妙聞數(shù)。

這個算術(shù)三角歷史悠久，比帕斯卡早好幾個世紀(jì)就已出現(xiàn)。例如，約1200年的一個版本出現(xiàn)在馬拉喀什的一本計算著作中，另一個版本是1303年的中國算術(shù)三角；它其實(shí)包含一個錯誤：第7行的一個數(shù)是34，而正確應(yīng)為 35。

從16世紀(jì)起，歐洲也出現(xiàn)了許多版本。但正是布萊茲?帕斯卡首次對 C(n,k) 這些數(shù)給出 “現(xiàn)代” 處理，將它們的各種來源聯(lián)系起來。他的版本收錄在《算術(shù)三角論》中，于1665年在他去世后出版。

方程5：z??? = z?2 + c

這個方程源自分形幾何，這一學(xué)科與我們熟悉的傳統(tǒng)幾何有顯著不同。我們將先看一些分形圖案，再介紹以伯努瓦?曼德勃羅為核心人物的另一種研究方法。

在介紹分形之前，先講一個關(guān)于年輕瑞士阿爾卑斯號手的故事。他瘋狂愛上了村里的一位姑娘，決定用他最好、最長的阿爾卑斯號為她演奏小夜曲 —— 事實(shí)上，這把號是無限長的，它由雙曲線 y=1/x（x 從1到無窮）繞x軸旋轉(zhuǎn)而成。但當(dāng)他試著吹奏時，卻吹不響 —— 號生銹了，內(nèi)壁需要重新刷漆，計算需要多少油漆時，他發(fā)現(xiàn)需要無窮多油漆。

絕望之下，他向村里的數(shù)學(xué)家求助，數(shù)學(xué)家算出阿爾卑斯號內(nèi)部的體積是有限的。解決方案變得簡單：把有限量的油漆倒進(jìn)號里，再把多余的倒出，內(nèi)壁就留下了一層漆。年輕人照做，號完美吹響，姑娘欣喜不已，兩人從此過上幸福的生活。

這個故事有什么意義？答案在于一個問題：英國的海岸線有多長？從遠(yuǎn)處看地圖，我們可能會估算海岸線長度；但當(dāng)我們 “放大” 靠近時，會發(fā)現(xiàn)隱藏的海灣、水灣和崎嶇海岸上更多的曲折 —— 靠得越近，我們的估計值就越大、越精確，最終無限增長。因此英國海岸線長度是無限的，盡管它包圍的面積有限。這種情形讓人想起那把阿爾卑斯號：內(nèi)表面積無限，包圍的體積卻有限。

曲折無限的英國海岸線，是自然分形曲線的一個例子。我們再看兩個例子，會發(fā)現(xiàn)這些奇特對象共同具有挑戰(zhàn)我們傳統(tǒng)幾何觀念的性質(zhì)。

許多曲線處處光滑，沒有尖角。一個不滿足這一點(diǎn)的簡單例子是V形曲線，它連續(xù)但在 x=0 處有一個 “尖角”。畫出類似的、處處連續(xù)但僅有有限個尖角的曲線并不難。但在1872年，德國數(shù)學(xué)家卡爾?魏爾斯特拉斯描述了一條處處連續(xù)、處處有尖角的曲線，震驚了數(shù)學(xué)界。

1904年，瑞典數(shù)學(xué)家赫爾格?馮?科赫（Helge Von Koch）構(gòu)造出另一條處處連續(xù)、處處是尖角的曲線：這就是他的雪花曲線。構(gòu)造方法是：取一個等邊三角形，將每條邊三等分，再把中間一段替換成一個等邊三角形的另外兩條邊，形成一個 “尖峰”；這樣得到一個12條邊的星形。接下來，對這個星形的每條邊重復(fù)上述過程，并永遠(yuǎn)持續(xù)下去。最終得到的雪花曲線，是一條處處連續(xù)、處處有尖角的曲線。

它還有其他有趣的性質(zhì)。因?yàn)闃?gòu)造的每一步都使曲線長度乘以4/3，所以雪花曲線長度無限。它包圍的面積卻是有限的，可證等于原三角形面積的1.6倍。因此，和英國海岸線一樣，它長度無限，包圍的面積有限。這條曲線還具有自相似性——放大任意一部分，都會出現(xiàn)更小的相同圖案。這種處處自相似的性質(zhì)，是分形圖案的基本特征。

另一個著名的分形圖案于1915年由波蘭數(shù)學(xué)家瓦茨瓦夫?謝爾賓斯基（Wac?aw Sierpiński）提出。它同樣具有自相似性，放大細(xì)看會出現(xiàn)無數(shù)更小的版本。構(gòu)造方法是：取一個實(shí)心等邊三角形，分成四個更小的三角形，挖去中間（倒置）那個的內(nèi)部，留下三個更小的等邊三角形。然后對這些小三角形重復(fù)此過程，并永遠(yuǎn)持續(xù)下去。

一個出人意料的事實(shí)是：我們也可以從帕斯卡三角得到謝爾賓斯基三角形。方法是：把所有奇數(shù)涂成灰色，偶數(shù)涂成白色。

約1975年，一種完全不同的獲取分形圖像的方法正在發(fā)展。詳情參閱：

伯努瓦?曼德勃羅（Benoit Mandelbrot，又譯曼德爾布羅特）1924年生于波蘭，在法國生活過一段時間，最終定居美國。他引入分形（fractal，意為 “破碎”）一詞，描述這些對象的復(fù)雜結(jié)構(gòu)與自相似性：“粗糙或破碎的幾何形狀，可被分成若干部分，每一部分（至少近似地）是整體的縮小副本”。他對這一領(lǐng)域的貢獻(xiàn)極大影響了20世紀(jì)下半葉的數(shù)學(xué)，分形則影響了從混沌理論、癌癥診斷到飛機(jī)機(jī)翼周圍氣流及行星運(yùn)動研究的廣泛主題。

為理解曼德勃羅的方法，我們先考慮復(fù)平面上的線性變換，每個點(diǎn)z被映射到rz+s，其中r和s是常數(shù)。下面列出這類變換的例子：把每個點(diǎn)z映到z/2，或映到z+i（i 是?1 的虛平方根）。

反復(fù)應(yīng)用這類變換會發(fā)生什么？從給定初始點(diǎn)z?出發(fā)，其逐次迭代z?、z?…… 最終會收斂到有限點(diǎn)、發(fā)散到無窮，還是兩者都不是？在每種情形下，都有一個對應(yīng)的遞推方程，把迭代中的每個點(diǎn)z?帶到下一個點(diǎn)z???。

對于變換z→z/2，遞推方程為z??? = z?/2。

第一次迭代把z?減半得到z?=z?/2，第二次再減半得到z?=z?/4，第三次得到z?/8，依此類推。這里，無論初始點(diǎn)z?是什么，逐次點(diǎn)z?都會收縮到 0。

對于變換 z→z+i，遞推方程為z??? = z?+i。

第一次迭代把z?映到z?+i，接下來兩次依次映到z?+2i和z?+3i，依此類推。這里，對所有初始點(diǎn)z?，得到的點(diǎn)z?都會發(fā)散到無窮。

接下來看二次變換，每個點(diǎn)z被映到rz2+sz+t，其中 r、s、t 是常數(shù)，但一般情形的研究很復(fù)雜。幸運(yùn)的是，變量替換可將其簡化為z→z2+c，其中c是固定常數(shù)。于是，對應(yīng)的遞推方程為z??? = z?2 + c。

因此我們可以只研究c取不同值的這些例子，令人驚訝的是，改變c會產(chǎn)生重大影響。對每個c值，我們區(qū)分兩類初始點(diǎn) z?：反復(fù)迭代后保持有限的點(diǎn)，和發(fā)散到無窮的點(diǎn)。

兩者之間的邊界稱為朱利亞集，以20世紀(jì)初研究它們的法國數(shù)學(xué)家加斯東?朱利亞（Gaston Julia）命名。

當(dāng)c=0時，變換為z→z2，迭代為z??? = z?2。反復(fù)平方使點(diǎn)0保持不動，把點(diǎn)1/2依次映到1/4、1/16、1/256……（收斂到 0），而把z?=2依次映到4、16、256……（發(fā)散到無窮）。事實(shí)上，半徑為1的圓內(nèi)部所有點(diǎn)都收斂到0，外部所有點(diǎn)都發(fā)散到無窮，朱利亞集就是圓周本身。

當(dāng)c=?2時，情形截然不同：?2到2之間線段上的所有點(diǎn)都保持有限，線段外的所有點(diǎn)都發(fā)散到無窮，朱利亞集就是這條線段本身。

當(dāng)c=?1時，情形更為奇異：一個復(fù)雜陰影區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)都保持有限，區(qū)域外的所有點(diǎn)都發(fā)散到無窮，朱利亞集就是該區(qū)域的邊界。可見，對不同的c，朱利亞集差異極大。其中一些是連通的（即連成一片），另一些則分裂成許多碎片。這一區(qū)別至關(guān)重要。

我們終于來到曼德勃羅集合（Mandelbrot set），一個以多種方式出現(xiàn)的著名分形圖案。1978年已有早期版本發(fā)表，但1979至1980年，曼德勃羅用計算機(jī)對其進(jìn)行了詳盡分析，形容它是 “極致簡潔與難以置信的復(fù)雜的驚人結(jié)合”。它關(guān)于實(shí)軸對稱，形狀類似心形，周圍附著無窮多個圓盤和其他細(xì)小結(jié)構(gòu)。和其他分形圖案一樣，它具有極其豐富的自相似性。

這個集合如何定義？一種方式涉及朱利亞集。我們前面看到的朱利亞集大多是連通的，但有一個不是。基于這一思想，曼德勃羅集合由所有使朱利亞集連通的復(fù)數(shù)c構(gòu)成。從前面的例子可知，曼德勃羅集合包含點(diǎn) 0、?2、?1、i 和 1/4，但不包含點(diǎn)?3/4 + 1/4i。它也包含?2 到 1/4 之間的所有實(shí)數(shù)，但不包含其他實(shí)數(shù)（如?3、1/2 或 1）。

曼德勃羅集合的另一個（等價）定義直接使用遞推關(guān)系 z??? = z?2 + c 的迭代，初始點(diǎn) z?固定為 0。此時，曼德勃羅集合恰好由所有使這些迭代保持有限的點(diǎn)c構(gòu)成。

曼德勃羅集合極為復(fù)雜 —— 事實(shí)上，《吉尼斯世界紀(jì)錄》稱它為數(shù)學(xué)中最復(fù)雜的對象。如前所述，自相似性無處不在，觀察得越細(xì)致，其結(jié)構(gòu)就顯得越盤根錯節(jié)。此外，它極具美感，能生成大量復(fù)雜迷人的圖像。這些被稱為分形藝術(shù)的作品從1980年代中期開始出現(xiàn)，經(jīng)常出現(xiàn)在海報和T恤上。科學(xué)與藝術(shù)之間這種意想不到的聯(lián)系，讓為此付出巨大努力的伯努瓦?曼德勃羅深感欣喜。

Q&A問答環(huán)節(jié)

主持人：

這部分內(nèi)容實(shí)在引人入勝，其實(shí)我們整個晚上都能繼續(xù)聊下去，因?yàn)槊恳粋€方程背后都有講不完的故事。我注意到時間有限，所以我們現(xiàn)在留給現(xiàn)場觀眾幾個提問機(jī)會，有想問問題的可以舉手。線上也有一兩個問題，我先從線上的開始，大家可以先構(gòu)思自己想問的內(nèi)容。

好，這里有一個很有趣的問題，羅賓，答案很簡單。線上一位叫彼得的觀眾，

問：

我和一位數(shù)學(xué)家朋友打了個賭，賭在這個十年結(jié)束前，人工智能會解決一道重大的世界級數(shù)學(xué)未解難題。我能贏這個賭嗎？

答：

人工智能會解決大量數(shù)學(xué)問題。現(xiàn)在對數(shù)學(xué)來說是一個無比激動人心的時代。我知道很多人對此感到擔(dān)憂，但我相信人工智能將極大地改變數(shù)學(xué)。我們不知道會帶來多大改變，但許多我們難以攻克的猜想，在人工智能嘗試解決之后，有望不僅能解開這些難題，還能催生出更多更有趣、更有深度的猜想。所以數(shù)學(xué)家們不應(yīng)該害怕人工智能，反而應(yīng)該為它可能帶來的前景、為它將推動這門學(xué)科實(shí)現(xiàn)的巨大進(jìn)步感到興奮。

主持人：好的，非常棒。現(xiàn)場有問題嗎？好，你正后方那位。

問：

我想更宏觀地請教一下，結(jié)合您剛才講到的諸多方程，您如何看待數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系？數(shù)學(xué)是我們用來描述自然的工具嗎？還是說我們其實(shí)是在探究自然本身？因?yàn)槟鷦偛耪故镜姆匠汤锍霈F(xiàn)了很多不可思議的相似性和關(guān)聯(lián)。我想聽聽您對此的看法。

答：

我剛才只舉了少數(shù)例子，比如斐波那契數(shù)列相關(guān)的，但其實(shí)數(shù)學(xué)在自然界中無處不在。它本來就無處不在，在自然里更是隨處可見，相關(guān)研究也已經(jīng)持續(xù)了很久很久。維多利亞時期有一本非常著名的書，作者是達(dá)西?湯普森，講的就是自然中的數(shù)學(xué)。正如我所說，目之所及，都有數(shù)學(xué)的參與。因?yàn)閿?shù)學(xué)能為事物提供最優(yōu)解。如果一個演化過程需要簡潔高效的方案，那它必然會用到數(shù)學(xué)，這是我們數(shù)學(xué)家的共識。

主持人：

我們差不多要結(jié)束了，但在結(jié)束之前，我想說：現(xiàn)場如果還有問題想問羅賓，我相信講座結(jié)束后他很樂意再留幾分鐘和大家交流。在最后，羅賓還有幾句話想說。

羅賓教授：

好的。能夠主講這場倫敦數(shù)學(xué)會的講座，我感到無比榮幸。作為曾經(jīng)的格雷沙姆教授，以及擁有50多年會齡的倫敦數(shù)學(xué)會成員，這場講座對我意義非凡。我想進(jìn)行兩個贈送儀式。

首先，我想把這本精彩的著作贈送給格雷沙姆學(xué)院。順便說一下，如果大家想買這本書，可以享受七折優(yōu)惠，外面有相關(guān)宣傳單。我想把這本書通過代理副院長轉(zhuǎn)交給格雷沙姆學(xué)院的薩拉。非常感謝！

同時，我也非常感謝倫敦數(shù)學(xué)會在過去50多年里給予我的一切。瑪麗剛才提到了哈代講座，這是學(xué)會的年度講座。哈代是倫敦數(shù)學(xué)會最重要的會長之一。事實(shí)上，他是唯一一位兩次擔(dān)任倫敦數(shù)學(xué)會主席的人。學(xué)會里還有一間哈代室，收藏了他的許多著作。幾年前，我得到了一本帶有哈代親筆簽名的書。我知道倫敦數(shù)學(xué)會一直在收集這類藏品，所以我也想把這本書贈送給學(xué)會。非常感謝大家。

主持人：

非常感謝你，羅賓。讓我們用熱烈的掌聲向羅賓致敬。

原文參考文獻(xiàn)與延伸閱讀

參考文獻(xiàn)1和2是關(guān)于方程的通識著作，其中1以純數(shù)學(xué)方程為主，2收錄若干應(yīng)用數(shù)學(xué)與物理方程。參考文獻(xiàn)3至7對應(yīng)本次講座的五個方程。

1. 羅賓?威爾遜（ Robin Wilson ），《公式傳奇：方程及其起源》Sum Stories: Equations and their Origins，牛津大學(xué)出版社，2025

2. 伊恩?斯圖爾特（ Ian Stewart ），《改變世界的17個方程》17 Equations that Changed the World，Profile Books，2012

3. 伊萊?馬奧爾（ Eli Maor ），《勾股定理：四千年史》The Pythagorean Theorem: A 4000-Year History，普林斯頓大學(xué)出版社，2007

4. 馬里奧?利維奧（ Mario Livio ），《黃金比例：φ的故事，世界最神奇的數(shù)》The Golden Ratio: the Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number，百老匯圖書，2002

5. 戴維?S?里奇森（ David S. Richeson ），《歐拉的寶石：從多面體公式與拓?fù)鋵W(xué)的誕生》Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology，普林斯頓大學(xué)出版社，2008

6. 羅賓?威爾遜（ Robin Wilson ），《組合數(shù)學(xué)簡介》Combinatorics: A Very Short Introduction，牛津大學(xué)出版社，2016

7. 肯尼斯?福爾克納（ Kenneth Falconer） ，《分形簡介》Fractals: A Very Short Introduction，牛津大學(xué)出版社，2013

? 羅賓?威爾遜教授 2024/2025

參考資料

https://www.gresham.ac.uk/watch-now/sum-stories

https://www.youtube.com/watch?v=6QjaGtQrKeU

https://www.youtube.com/watch?v=_3wj5Pl4bl4

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