本文的共同第一作者包括北京大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖靈班本科生柯繹思、疏彥凱、數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院本科生黃天域；共同通訊作者為北京大學(xué)王立威老師、卡內(nèi)基梅隆大學(xué)博士生蓋景初；其他作者還包括北京大學(xué)賀笛老師。

近期，LLM 已經(jīng)在 IMO 上取得了很好的成績(jī)，在一些研究級(jí)數(shù)學(xué)上（如短程證明、組合構(gòu)造）也有所進(jìn)展。但如果真正讓 LLM 去處理提出數(shù)十年的數(shù)學(xué)猜想，結(jié)果會(huì)是如何？在本工作中，北大王立威教授團(tuán)隊(duì)構(gòu)建了一套基于 LLM 的框架，聚焦Gilbert-Pollak 猜想（斯坦納比猜想），成功將二維平面的斯坦納比從 1985 年證明的 0.824 改進(jìn)到了，距離猜想目標(biāo)僅差 0.01，一步之遙！

該進(jìn)展已被陶哲軒 Terence Tao收錄組合數(shù)學(xué)優(yōu)化中的常數(shù)列表中！問題編號(hào) 43。

• 倉(cāng)庫(kù)鏈接：https://github.com/teorth/optimizationproblems

這個(gè)問題有多大影響力？在上個(gè)世紀(jì)，該問題由貝爾實(shí)驗(yàn)室科學(xué)家 Gilbert 和 Pollak 提出。著名數(shù)學(xué)家、美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（AMS）前主席 Ronald Graham（葛立恒）、美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士 Fan Chung（金芳蓉）都對(duì)該問題進(jìn)行過系統(tǒng)深入的研究。1990 年，堵丁柱教授和 Frank Hwang（黃光明）研究員進(jìn)行了一系列相關(guān)研究，曾被譽(yù)為 1989 年 - 1990 年度美國(guó)離散數(shù)學(xué)界和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)界重大成果。圍繞該問題的研究論文眾多，是一個(gè)飽受數(shù)學(xué)家關(guān)注的猜想。

目前該工作已被 ICML 2026 接收，相關(guān)代碼和數(shù)學(xué)證明均已開源。

• 論文標(biāo)題：Towards Solving the Gilbert-Pollak Conjecture via Large Language Models
• 論文地址：https://arxiv.org/abs/2601.22365
• 項(xiàng)目倉(cāng)庫(kù)：https://github.com/keyisi2006/Steiner-Ratio

困擾人類 60 年的 Gilbert-Pollak 猜想

形象點(diǎn)說(shuō)：給定平面上 n 個(gè)城市，最小生成樹（MST）就是修建 n - 1 條鐵路將它們連起來(lái)。最小斯坦納樹（SMT）就是可以額外修建若干個(gè)中轉(zhuǎn)站，再修建鐵路將它們連起來(lái)。可以看出，合適地建立中轉(zhuǎn)站會(huì)讓路程變短，但猜想指出：并不會(huì)短太多。

問題 1：直接寫成 prompt 問 LLM，行不行？

之前一系列 AI4Math 的工作，要么是數(shù)學(xué)證明的長(zhǎng)度較短（如 IMO 問題），要么是針對(duì)構(gòu)造性的、非嚴(yán)謹(jǐn)證明性的組合構(gòu)造問題。

讓 LLM 直接去寫幾十頁(yè)的嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)證明，還要有創(chuàng)新性，對(duì)于目前 LLM 能力來(lái)說(shuō)為時(shí)過早。為了解決斯坦納比猜想，必須減少證明長(zhǎng)度，或者向構(gòu)造性的方向轉(zhuǎn)換。

步驟 1.1：看看人類數(shù)學(xué)家怎么做？

回顧人類數(shù)學(xué)家的工作，發(fā)現(xiàn)大家都是采取了歸納法：對(duì)于一棵很大的斯坦納樹，只去考慮一個(gè)局部，從中摘除（prune）掉一小部分的點(diǎn)，并將剩下的點(diǎn)重連成斯坦納樹。

那么，只要剩下的部分滿足比例（歸納假設(shè)）+ 摘除過程的變化量滿足比例，就可以合并得到原問題滿足比例！寫成一行公式就是：

從而，問題的關(guān)鍵就是找到更好的摘除 / 分割樹的方式。

步驟 1.2：整理一下？這就是 Max-Min 問題！

本工作中提出了一個(gè)叫做驗(yàn)證函數(shù)（verification functions）的數(shù)學(xué)工具，一個(gè)驗(yàn)證函數(shù)就代表了一種分割樹的方式。歸納法就是要求：任意的樹形態(tài)，存在一種分割，使得比例成立。其實(shí)這就是一個(gè)max-min 問題：最大的樹形態(tài) w ——最小的驗(yàn)證函數(shù) F。

人類數(shù)學(xué)家嘗試了 10 種不同的 F，可以得到 0.824 的下界。如果 LLM 能幫助人類嘗試 1000 種不同的 F，就有機(jī)會(huì)得到更好的下界！

本工作設(shè)計(jì)了一個(gè)Reward Model，自動(dòng)化了這一 max-min 問題的求解過程，通過證明單調(diào)性，并配合分治法，為所有樹形態(tài) w 找到一個(gè)驗(yàn)證函數(shù) F 進(jìn)行覆蓋。以前人類數(shù)學(xué)家需要手動(dòng)進(jìn)行啟發(fā)式的參數(shù)空間劃分，現(xiàn)在一個(gè)代碼自動(dòng)搞定。下圖是假設(shè)參數(shù)空間是 2 維的一個(gè)例子：

至此，LLM 不再需要證明完整的猜想，它只需要找到更多的驗(yàn)證函數(shù) F，再與 reward model 交互就可以了！

問題 2：找來(lái)的這么多 F，正確性怎么保證？

想要生成 1000+ 個(gè) F，只需要反復(fù)調(diào)用 LLM 即可。但基于自然語(yǔ)言推理的 LLM，你能相信它的嚴(yán)謹(jǐn)性嗎？如果讓人類一個(gè)一個(gè)檢查，時(shí)間開銷不可估量，難以 scale up。

因此，我們必須讓 LLM 在正確性可驗(yàn)證的框架中運(yùn)行。

步驟 2.1：給 LLM 一個(gè)引理模板

本工作通過數(shù)學(xué)變換，證明了一個(gè)事實(shí)：找更多的 F 函數(shù)，可以通過找兩類引理的方式實(shí)現(xiàn)：一類是 Trapped Regular Point Lemma，另一類是 4-Point Steiner Tree Lemma。

LLM 只需要負(fù)責(zé)填入結(jié)構(gòu)化的參數(shù)，通過代碼片段進(jìn)行表達(dá)，系統(tǒng)就可以通過翻譯（嵌入代碼片段）的方式產(chǎn)生一系列合法的 F。以第 1 類為例，這個(gè)翻譯過程可以是構(gòu)造分段函數(shù)：

步驟 2.2：光有模板還不夠，讓 LLM 徹底「搭積木」

生成結(jié)構(gòu)化的代碼片段仍然可能會(huì)出錯(cuò)。必須要讓 LLM 像「搭積木」一樣，拼湊人類提供的規(guī)則（rules），讓數(shù)學(xué)軟件 Mathematica「合成」保對(duì)的引理，才能從根本上保證正確性。

以第 1 類引理為例，本工作提出了 A、B 兩類規(guī)則，分別代表斯坦納樹必須滿足的性質(zhì)，和確保點(diǎn)存在性的條件。LLM 要做的，就是去選擇 2 - 3 個(gè)規(guī)則，調(diào)用 Mathematica 去化簡(jiǎn)「什么條件下，若干個(gè) A 能推出一個(gè) B」。

通過這種方法，LLM 能在多輪的 tools 調(diào)用中，充分探索這個(gè)推理空間。而且這是保對(duì)的——任何的創(chuàng)意搭建，都不會(huì)產(chǎn)生邏輯的錯(cuò)誤。

問題 3：正確的 F 就能提升下界嗎，有沒有「渾水摸魚」？

目前為止，系統(tǒng)看似很完美，實(shí)則還有一個(gè)隱藏的大問題：只是重復(fù)運(yùn)行，生成 1000+ 個(gè) F，很可能其中很多是平凡的甚至重復(fù)的，根本對(duì)斯坦納比沒有提升！

如何讓 LLM 真正生成有效的 F？必須給它針對(duì)性的迭代引導(dǎo)信號(hào)

步驟 3：針對(duì)問題的瓶頸反省機(jī)制

本工作提出了瓶頸（bottleneck）的概念：在 reward model 運(yùn)行完成后，把得到的提升一個(gè)小量 δ（比如 0.0001），再讓 reward model 運(yùn)行——此時(shí)必然反饋失敗，未被 F 覆蓋的部分的 bounding box，就是瓶頸區(qū)域。

換言之，瓶頸就是讓 ρ += δ 必須克服的參數(shù)區(qū)域。在下一輪生成 F 時(shí)，LLM 必須確保能夠覆蓋瓶頸區(qū)域。從而為每一輪的高效提升提供了保障。

迭代系統(tǒng)框架和成果

通過「重復(fù)生成 Reward → 確定瓶頸 → LLM Agent 提出引理 → 翻譯并開始下一輪」這個(gè)迭代范式，系統(tǒng)成功在 ~10 輪迭代中，將斯坦納比改進(jìn)到了 0.8559。最終的成果通過了人類的檢查。

本文基于 GPT-5 系列構(gòu)建了系統(tǒng)，并驗(yàn)證了模型魯棒性：其余模型如 Gemini 3 和 Claude 4.6 均可得到類似的結(jié)果。下圖展示了迭代輪次和斯坦納比的關(guān)系。

結(jié)語(yǔ)

本工作證明了 LLM 有能力為研究級(jí)數(shù)學(xué)提供幫助，但要設(shè)計(jì)合適的運(yùn)作框架。

在這個(gè)過程中，人類的 insight 仍然是必要的。同時(shí)，人類檢查也是必不可少的部分。

如果要用 LLM 去處理其他數(shù)學(xué)問題，可以參考的內(nèi)容包括，設(shè)計(jì)一個(gè)「搭積木」式的結(jié)構(gòu)化推理空間，以及設(shè)計(jì)瓶頸反省機(jī)制。