問(wèn)大家一個(gè)老生常談但總吵翻天的問(wèn)題：無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.999......和整數(shù)1，到底誰(shuí)更大？

不繞彎子，先給答案：兩者根本不存在大小之分，因?yàn)樗鼈儽緛?lái)就是同一個(gè)數(shù)，當(dāng)然一樣大！

但我敢保證，看到這個(gè)答案，肯定有人要抬杠，尤其是那些還在用小學(xué)、初中數(shù)學(xué)思維看問(wèn)題的小伙伴，大概率會(huì)拍著桌子說(shuō)：“你扯什么呢？1明明就比0.999......大一點(diǎn)點(diǎn)，哪怕那一點(diǎn)點(diǎn)無(wú)限小，也是大啊！”

其實(shí)這真不能怪大家，畢竟我們從小接觸的數(shù)字，都是有限的、實(shí)實(shí)在在的，比如0.9、0.99、0.999，這些數(shù)確實(shí)都比1小，差的就是最后那一點(diǎn)點(diǎn)。

但問(wèn)題在于，0.999......后面的9是無(wú)限循環(huán)的，永遠(yuǎn)沒(méi)有盡頭，這就和我們平時(shí)接觸的有限小數(shù)，有了本質(zhì)的區(qū)別。

咱們分層次來(lái)講，看看不同數(shù)學(xué)水平的人，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解到底有啥不一樣，你也可以對(duì)號(hào)入座，看看自己屬于哪一層。

如果你只有小學(xué)或者初中數(shù)學(xué)水平，大概率會(huì)認(rèn)為1更大。

為啥？

很簡(jiǎn)單，你會(huì)下意識(shí)地拿有限的小數(shù)去類比無(wú)限循環(huán)小數(shù)。

比如你會(huì)想，0.9比1小0.1，0.99比1小0.01，0.999比1小0.001，不管后面加多少個(gè)9，總會(huì)比1小那么一點(diǎn)點(diǎn)，哪怕那一點(diǎn)點(diǎn)越來(lái)越小，趨近于0，但永遠(yuǎn)不會(huì)等于0。

這種想法很正常，畢竟我們?cè)谛W(xué)、初中階段，接觸的都是有限的數(shù)字，還沒(méi)有真正理解“無(wú)限”這個(gè)概念的含義，用有限的思維去衡量無(wú)限的事物，自然會(huì)得出這樣的結(jié)論。

如果你有高中數(shù)學(xué)水平，大概率會(huì)認(rèn)為兩者一樣大，而且還能給出簡(jiǎn)單的證明。高中數(shù)學(xué)里，我們開(kāi)始接觸無(wú)限循環(huán)小數(shù)、極限的初步概念，這時(shí)候就能用一些簡(jiǎn)單的方法，證明0.999......等于1。最經(jīng)典、最容易理解的方法，其實(shí)小學(xué)老師就間接教過(guò)我們，只是那時(shí)候我們沒(méi)往深了想。

小學(xué)課上，老師經(jīng)常跟我們說(shuō)，1/3等于0.333......，相信很多人都接受這個(gè)結(jié)論，畢竟用除法算一下，1除以3，確實(shí)是無(wú)限循環(huán)的0.333......。那既然1/3=0.333......，我們把這個(gè)等式的兩邊都乘以3，左邊就是1/3×3=1，右邊就是0.333......×3=0.999......，這么一換算，答案就非常明了了，0.999......=1。

如果你覺(jué)得這個(gè)證明不夠嚴(yán)謹(jǐn)，再來(lái)一個(gè)更直接、更有說(shuō)服力的方法，這也是高中數(shù)學(xué)里常用的證明思路。

我們?cè)O(shè)0.999......=x，很明顯，0.999......乘以10，就是9.999......，也就是10x=9.999......。接下來(lái)，我們用后面的等式減去前面的等式，也就是10x - x = 9.999...... - 0.999......，左邊算出來(lái)是9x，右邊呢？因?yàn)樾?shù)點(diǎn)后面都是無(wú)限個(gè)9，減去之后全部抵消，剩下的就是9，所以9x=9，兩邊同時(shí)除以9，就能得出x=1，也就是說(shuō)，0.999......=1。

到這里，很多人應(yīng)該就能接受兩者相等的結(jié)論了，但總有那么一些“杠精”，無(wú)論如何都不能接受，他們會(huì)找出各種理由來(lái)反駁，最常見(jiàn)的一個(gè)質(zhì)疑就是：“9.999......和0.999......相比，小數(shù)點(diǎn)后面少了一個(gè)9，怎么可能相等？”

碰到這種情況，我只能說(shuō)，神來(lái)了也救不了你，因?yàn)闊o(wú)限循環(huán)的意思就是，小數(shù)點(diǎn)后面的9永遠(yuǎn)寫不完，沒(méi)有盡頭。你根本沒(méi)法去數(shù)“到底有多少個(gè)9”，更沒(méi)法說(shuō)“9.999......比0.999......少一個(gè)9”。既然都是無(wú)限個(gè)9，怎么可能有“多一個(gè)”“少一個(gè)”的說(shuō)法？這就好比你說(shuō)“無(wú)限多的蘋果，比無(wú)限多的橘子多一個(gè)”，本身就是一個(gè)沒(méi)有意義的說(shuō)法。

還有人會(huì)這樣質(zhì)疑：“1比0.999......大了0.000......1，這看起來(lái)明明很有道理啊！”

其實(shí)這種說(shuō)法，更是毫無(wú)道理，因?yàn)樗^的0.000......1，根本就不存在這樣的數(shù)。

大家仔細(xì)想想，既然小數(shù)點(diǎn)后面有無(wú)限個(gè)0，最后又加了一個(gè)1，那就說(shuō)明，小數(shù)點(diǎn)后面的0并不是無(wú)限多個(gè)，不管有多少個(gè)0，只要最后有一個(gè)1，那就是有限個(gè)0，根本不是無(wú)限循環(huán)的概念。說(shuō)白了，這個(gè)所謂的0.000......1，本身就是一個(gè)自相矛盾的存在，根本不符合無(wú)限循環(huán)的定義，自然也就不能用來(lái)證明1比0.999......大。

其實(shí)總結(jié)一下就很明顯了：所有認(rèn)為0.999......和1不相等的小伙伴，本質(zhì)上都是在用有限的思維方式，去衡量無(wú)限的概念。這也不能怪大家，畢竟“無(wú)限”這個(gè)概念，在人類數(shù)學(xué)史上，曾經(jīng)給人們?cè)斐闪司薮蟮睦Щ螅踔烈l(fā)了三次數(shù)學(xué)危機(jī)，直到今天，還有很多人無(wú)法真正理解無(wú)限的含義。

咱們舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子，幫大家打破有限思維的局限，更好地理解無(wú)限的概念。第一個(gè)例子，就是大家可能都聽(tīng)過(guò)的：“自然數(shù)和偶數(shù)哪個(gè)多？”

很多人看到這個(gè)問(wèn)題，第一反應(yīng)就是“肯定自然數(shù)多啊”，因?yàn)樽匀粩?shù)包括奇數(shù)和偶數(shù)，是整體和局部的關(guān)系，整體怎么可能不比局部多？但實(shí)際上，自然數(shù)和偶數(shù)一樣多，因?yàn)樽匀粩?shù)和偶數(shù)能夠做到一一對(duì)應(yīng)。

你隨便找一個(gè)自然數(shù)，我都能找到一個(gè)偶數(shù)和它對(duì)應(yīng)：你說(shuō)1，我對(duì)應(yīng)2；你說(shuō)2，我對(duì)應(yīng)4；你說(shuō)3，我對(duì)應(yīng)6；你說(shuō)1000，我對(duì)應(yīng)2000；哪怕你說(shuō)一個(gè)無(wú)限大的自然數(shù)，我也能找到一個(gè)對(duì)應(yīng)的偶數(shù)。既然能一一對(duì)應(yīng)，那就說(shuō)明兩者的數(shù)量是一樣多的，沒(méi)有誰(shuí)多誰(shuí)少。

很多人潛意識(shí)里很難接受這個(gè)事實(shí)，究其原因，還是因?yàn)槲覀兞?xí)慣了用有限的思維去衡量無(wú)限的事物。在有限的范圍內(nèi)，比如1到100，自然數(shù)有100個(gè)，偶數(shù)有50個(gè)，確實(shí)是自然數(shù)多；但放到無(wú)限的范圍內(nèi)，這種有限范圍內(nèi)的規(guī)律，就不再適用了。無(wú)限的世界里，沒(méi)有“整體比局部多”的說(shuō)法，一一對(duì)應(yīng)，才是判斷兩個(gè)無(wú)限集合數(shù)量是否相等的標(biāo)準(zhǔn)。

再給大家講一個(gè)相對(duì)高深一點(diǎn)的例子，可能有點(diǎn)難，但很有意思：實(shí)數(shù)是由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)組成的，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都有無(wú)窮多個(gè)，你覺(jué)得有理數(shù)和無(wú)理數(shù)誰(shuí)多呢？

答案可能會(huì)出乎很多人的意料：無(wú)理數(shù)更多，而且比有理數(shù)多得多！

多到什么程度呢？

有理數(shù)的數(shù)量在無(wú)理數(shù)面前，簡(jiǎn)直就是“滄海一粟”，不值一提。可以這么通俗地理解：如果說(shuō)有理數(shù)的數(shù)量是“無(wú)限”，那么無(wú)理數(shù)的數(shù)量就是“無(wú)限的無(wú)限”，兩者根本不是一個(gè)量級(jí)的。

可能有人會(huì)問(wèn)，都是無(wú)窮多個(gè)，怎么還會(huì)有多少之分呢？這就要用到一個(gè)專業(yè)術(shù)語(yǔ)——“勢(shì)”，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，“勢(shì)”就是用來(lái)衡量無(wú)限集合大小的概念，不同的無(wú)限集合，“勢(shì)”是不一樣的，有的大，有的小。有理數(shù)的“勢(shì)”，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于無(wú)理數(shù)的“勢(shì)”，所以無(wú)理數(shù)比有理數(shù)多得多。

咱們?cè)儆靡粋€(gè)通俗的比喻，幫大家理解這個(gè)概念。

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，都是稠密的，也就是說(shuō)，它們都是緊挨在一起的，沒(méi)有縫隙。但無(wú)理數(shù)比有理數(shù)更稠密，稠密到什么程度呢？

打個(gè)比方，假設(shè)我們有100個(gè)人，分別代表100個(gè)有理數(shù)，這100個(gè)人緊挨在一起站成一排，彼此之間沒(méi)有任何縫隙，這看起來(lái)已經(jīng)夠稠密了吧？但不管這100個(gè)人之間有多稠密，我們都能在他們之間，塞進(jìn)無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)理數(shù)。你可以把無(wú)理數(shù)通俗地理解為“看不見(jiàn)的鬼”，不管兩個(gè)人挨得有多緊，哪怕是臉貼臉，都能塞進(jìn)無(wú)數(shù)個(gè)“鬼”，而且永遠(yuǎn)塞不完。

有人可能會(huì)覺(jué)得不可思議：100個(gè)人都已經(jīng)站得沒(méi)有縫隙了，怎么還能塞進(jìn)無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)理數(shù)呢？其實(shí)這就是無(wú)限的神奇之處，它超出了我們的日常認(rèn)知，超出了我們有限思維的范圍。就像0.999......和1，我們總覺(jué)得它們之間有縫隙，有差距，但實(shí)際上，它們之間沒(méi)有任何縫隙，根本就是同一個(gè)數(shù)。

其實(shí)無(wú)限的概念，不僅在數(shù)學(xué)里很重要，對(duì)我們理解宇宙，也有很大的幫助。很多人都認(rèn)為宇宙是無(wú)限大的，但每每想到無(wú)限大的宇宙到底是怎樣一種存在狀態(tài)，就會(huì)感到非常困惑，甚至頭疼。

之所以會(huì)產(chǎn)生這種困惑，本質(zhì)上和我們困惑于0.999......和1的大小一樣，都是因?yàn)闊o(wú)限的概念，超出了人類大腦能感知、能理解的范圍。

我們平時(shí)看到的任何事物，都是有限的：桌子有大小，房子有大小，地球有大小，哪怕是我們能看到的宇宙，也是有限的范圍。我們?cè)谟邢薜氖澜缋锔兄降恼胬恚坏┯龅綗o(wú)限，就會(huì)顯得無(wú)能為力，甚至完全失效。

很多人接受宇宙是無(wú)限的這個(gè)觀點(diǎn)，但一想到“無(wú)限大”到底是多大，就會(huì)下意識(shí)地去想象一個(gè)“巨大的空間”，里面裝滿了星星、星系。但實(shí)際上，當(dāng)我們這樣想的時(shí)候，就注定不會(huì)有結(jié)果，因?yàn)槲覀兤鋵?shí)一直在用有限的思維，去衡量無(wú)限的宇宙。無(wú)限大的宇宙，并不是“很大很大的有限空間”，而是沒(méi)有邊界、沒(méi)有盡頭，永遠(yuǎn)無(wú)法被我們完全感知和理解的存在，就像0.999......后面的9，永遠(yuǎn)沒(méi)有盡頭一樣。

最后，給大家留一個(gè)有關(guān)無(wú)限的數(shù)學(xué)小問(wèn)題，算是一個(gè)小考驗(yàn)，也算是一個(gè)思考題：在數(shù)軸上隨便砍一刀（假設(shè)這把刀沒(méi)有厚度），砍到有理數(shù)的概率是多少？

答案可能會(huì)出乎你的意料：0！

看到這個(gè)答案，很多人肯定又要抬杠了：“不可能啊！數(shù)軸上有無(wú)數(shù)個(gè)有理數(shù)，怎么可能砍到的概率是0？”其實(shí)這就是無(wú)限世界的神奇之處：概率為零的事件，也有可能發(fā)生！

這句話聽(tīng)起來(lái)很矛盾，但其實(shí)并不矛盾。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是因?yàn)橛欣頂?shù)的數(shù)量，在無(wú)理數(shù)面前實(shí)在是太少了，少到可以忽略不計(jì)，所以砍到有理數(shù)的概率，就無(wú)限趨近于0，最終等于0。但概率為0，并不代表不可能發(fā)生。就像我們?cè)跀?shù)軸上，確實(shí)能找到有理數(shù)的點(diǎn)，只是找到的概率，無(wú)限接近于0而已。

至于為什么概率為零的事件也能發(fā)生，這里就不詳細(xì)展開(kāi)了，留給大家去思考。如果你能想明白這個(gè)問(wèn)題，說(shuō)明你對(duì)無(wú)限的概念，已經(jīng)有了更深的理解；如果想不明白，也沒(méi)關(guān)系，畢竟多數(shù)人其實(shí)都想不明白，數(shù)學(xué)專業(yè)的人畢竟是少數(shù)，不用太為難自己。