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通過替換拓撲學中最基礎的概念，彼得?舒爾茨（Peter Scholze）與達斯汀?克勞森（Dustin Clausen）邁出了宏大計劃的第一步，從根本上解釋數字為何呈現出這般性質。

圖源：Kristina Armitage / Quanta Magazine

作者：Konstantin Kakaes（量子雜志作家）2026-5-20

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-5-23

求喜歡

我們先從數學界最老生常談、被用濫的笑話說起：拓撲學家是分不清咖啡杯和甜甜圈的人。你看，兩者都有一個孔洞。

拓撲學通常被描述為一種 “橡皮膜” 幾何，在這種幾何中，如果一個形狀可以在不撕裂的情況下拉伸或壓縮成另一個形狀，二者就被視為相同。但這種概括遺漏了關鍵的一點：拓撲學家，以及大量依賴拓撲方法的其他數學家，是如何嚴謹地刻畫所有這些拉伸變換的？他們不會盯著甜甜圈和咖啡杯瞇起眼睛，然后心想：“我憑直覺就能看出怎么把一個捏成另一個，所以它們肯定是一樣的。” 恰恰相反，他們用一種可以 “忽略” 距離、同時靈活保留底層結構的方式描述形狀，允許其彎曲與拉伸。

這些 “拓撲空間” 在100多年前被提出時，在邏輯學與集合論的革命中扮演了核心角色，這場革命劃定了19世紀數學與現代數學的界限。它們的誕生是數學從日常生活中的數字與形狀，邁向愈發抽象的思想深處的關鍵一站。此后，拓撲空間成為數學龐大體系的基礎。如果把數學比作摩天大樓，拓撲空間就是深深扎入常識基巖的混凝土樁基，整座數學大廈最終都建立在其上。

但令人不安的是，拓撲空間被證明極不適合現代數學的一大分支：在拓撲空間中做代數運算非常別扭，而代數恰恰是數學家很喜歡研究的內容。

多年來，數學家認為自己只能忍受拓撲空間的局限。就像你在摩天大樓的87層工作時，修繕地下底層的地基是一件令人畏懼的事。

彼得?舒爾茨更傾向于提出新定義，而非尋找新證明。正如他所說，他在 “嘗試為現存的事物命名”。

圖源：Barbara Frommann / 波恩大學豪斯多夫數學中心

但在過去十年中，波恩馬普研究所的彼得?舒爾茲與法國高等科學研究院的達斯汀?克勞森致力于替換拓撲空間。他們定義了一類新的數學對象，名為凝聚集（condensed sets），這類對象形似無限細密的塵埃，保留了拓撲空間所有優良性質，同時規避了缺陷。事實證明，塵埃是比拓撲空間那種顆粒狀、易于理解的基底更好的基礎材料。

“他們解決了一個我們從未意識到自己存在的問題，”斯坦福大學數學家、AMS美國數學會主席拉維?瓦基爾（Ravi Vakil）說，“因為我們已經有了自認為合理的解決方案。” 結果就是，“一整塊數學領域變得簡潔得多。”

這是一項雄心勃勃的工程。舒爾茨與克勞森提出的新定義與概念威力強大，但也復雜難懂。舒爾茨本人也不確定它們會得到多廣泛的應用。但另一方面，他將其視作一個更宏大計劃的第一步，這個計劃的目的是解釋數字為何呈現出這般性質。

做數學有點像攀巖：正如攀登陡峭巖壁的路線可以兼具創造性，甚至在技術動作編排上展現優雅感，證明也是如此。兩者都是在既有地形上穿行。大多數研究 —— 甚至一些最頂尖的研究 —— 都是為已知的高峰尋找新路線。但在數學中，工具與地形之間存在一種奇妙的關系，就好像發明一種新型冰鎬會讓此前不為人知的山脈浮現。當這些新山脈出現在地平線時，曾經看似陡峭險峻的舊山開始變得像平緩的丘陵。

達斯汀?克勞森與舒爾茨一道，在過去十年中開發了一套全新的數學框架。他們的 “凝聚數學” 已經在幫助連接拓撲學、范疇論、代數與其他領域。

圖源：Christophe Peus / IHES法國高等科學研究院

開發這些新工具需要一種革命者般的自信 —— 尤其是當這需要摒棄學界沿用已久、仿佛已成為山脈本身一部分的工具時。

無法回頭的節點

即便沒有合適的語言，人們也可能發現強大的數學真理。

也就是說，拓撲學的出現早于拓撲空間。早在1735年，萊昂哈德?歐拉（Leonhard Euler）就證明，不可能一次性不重復地走完他所居住的柯尼斯堡城的七座橋。這是一個典型的拓撲學結論 —— 城市中每塊陸地的大小、橋梁的長度都無關緊要，重要的只是它們之間的連接模式。

在近200年里，拓撲學的研究斷斷續續。19世紀中葉，奧古斯特?費迪南德?莫比烏斯（August Ferdinand M?bius）分析了以他名字命名的莫比烏斯帶：一條絲帶扭轉一次后首尾相接。它可以說是現實世界中具備實用價值的最奇特拓撲對象 —— 例如用于單面傳送帶，能讓機器運轉時磨損均勻。大約同一時期，莫比烏斯開始引入該領域的一些核心思想，比如如何通過在形狀上繪制環路來分類不同孔洞數的形狀。

此后不久，伯恩哈德?黎曼（Bernhard Riemann）、亨利?龐加萊（Henri Poincaré）等人取得了進一步進展。但他們因缺乏合適的語言而舉步維艱。正如澳大利亞數學家約翰?斯蒂爾韋爾（John Stillwell）在 2009 年評價龐加萊在拓撲學中的開創性工作時所寫https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/poincare2009.pdf ：“伴隨著巨大的突破，也伴隨著困惑。” 龐加萊擁有想法，卻缺乏恰當的詞匯來表達。

在外人看來，與拓撲學最接近的數學分支似乎應該是幾何學。拓撲學看起來就是幾何學，只不過對象是柔性的而非剛性的。但龐加萊困惑的解決方案并非來自幾何學，而是來自一個新興的邏輯學分支 —— 集合論。

奠定現代拓撲學基礎的德國數學家費利克斯?豪斯多夫（Felix Hausdorff），同時也是詩人、哲學家與劇作家。

圖源：公有領域

20世紀初，研究者們試圖將數學建立在更堅實的基礎上。他們剛剛意識到自己對數字的日常直覺完全錯誤；如今他們正激烈辯論，應該以哪些公理 —— 即顯而易見的真理 —— 作為理論的基石（詳情參閱）。對最基礎假設的表述看似微小的差異，都會對哪些命題可證、哪些不可證產生重大影響。

他們用集合論來梳理這些關于數學基礎的爭論。1912年，剛開始在波恩大學任教的費利克斯?豪斯多夫 —— 數十年后舒爾茨也來到這里 —— 著手撰寫第一部集合論系統性著作。當時，45歲左右的豪斯多夫已是一位頗有成就的作家：他以保羅?蒙格雷（Paul Mongré）為筆名出版了一部詩集、兩本試圖調和尼采與康德思想的哲學著作，以及一部在40座城市上演的戲劇。作為數學家，他成績斐然，但尚未成為頂尖巨星。

1914年《集合論基礎》一書出版后，一切都改變了。在書中，他首次給出了拓撲空間的定義。拓撲空間就是一組被歸為豪斯多夫所稱鄰域的元素集合 —— 如今稱為開集（open sets）。開集為空間賦予了結構。

開集只需滿足兩個條件。

第一，任意多個開集的并集仍為開集。（如果布魯克林構成一個鄰域，皇后區構成一個鄰域，那么布魯克林與皇后區合起來必須算作一個更大的鄰域。）

第二，任意有限個開集的交集仍為開集。

圖源：Mark Belan / Quanta Magazine

拓撲空間可以是有限集，也可以是無限集。它既能承載錯綜復雜的結構，也可以不具備任何結構。正如舒爾茨所言，拓撲空間 “無處不在。只要你腦海中存在點與點彼此鄰近的直觀概念，拓撲關系便隨之而生”。

我們來看一個更為熟知的對象：數軸。當我們思考數字間的相互關聯時，對應的就是一種拓撲空間，即標準拓撲。在該拓撲里，任意不含端點的區間都可稱作鄰域，也就是開集。所有這類區間均屬于開集。

這種拓撲賦予我們日常熟知的實數結構。

我們也可以拋開固有認知，在常用數字集合上定義截然不同的拓撲空間。這就好比將圖書館里的書籍全部取下，徹底打亂原有排布規則，以全新方式重新歸類擺放。

例如，我們可以把數軸揉成團并壓縮至單點，使得任意兩個數字都能無限趨近彼此。

這類似于將所有書籍雜亂堆砌在一起，原本的歸類關聯不復存在，所有書籍都彼此相鄰。這種拓撲稱為非離散拓撲（indiscrete topology），僅包含兩個開集：空集與整條數軸。

與之相對的極端形式是離散拓撲（discrete topology），其中每一個點都各自構成獨立鄰域。

在離散拓撲中，任意兩點之間互不相鄰。如同把館內每一本書單獨放置在孤立島嶼上，書籍之間的關聯同樣消失殆盡。

從這個角度來看，甜甜圈與咖啡杯的經典趣味比喻，并未體現出拓撲思維的真正價值。拓撲的核心不在于通過拉伸壓縮改變距離數值，而是能夠在不存在距離概念的空間中，對結構開展有效分析。

依托拓撲空間，數學家得以探索數學領域中諸多全新范疇。它拋開距離尺度，重新詮釋連續、連通等基礎概念，這種思維模式極具價值，也有悖常規直覺。借助這套理論，相關概念可以推廣至更多研究場景，助力各數學分支推導重要命題。譬如代數基本定理，連卡爾?弗里德里希?高斯（Carl Friedrich Gauss）這類數學巨匠都難以輕松完成證明，運用拓撲思路后，證明過程就會變得簡潔凝練。

拓撲空間的誕生，也促使數學家提出以往未曾設想的新問題。優秀的數學定義兼具拓展研究邊界、簡化現有理論推演的雙重作用，拓撲空間同樣具備這樣的特質。

豪斯多夫的著作堪稱現代拓撲學的開端。日后布爾巴基學派的數學家評價，其精準凝練的定義，讓這套理論兼具嚴謹性與普適性。書中基于公理推導結論的章節，成為公理化理論的典范，抽象深邃又具備前瞻視野。

無垠學海中的一滴水

現代數學包含眾多分支領域，各分支擁有專屬術語體系、推演規則與研究特點，但彼此并非完全割裂，會以多樣形式產生關聯。究其原因，實數這類數學研究對象，會同時出現在多個分支的研究范疇中，它兼具代數結構、分析結構、組合結構與拓撲結構等多重屬性。不同領域的交叉地帶，往往會逐步發展成獨立的研究方向。

我們如今僅僅只是在這片廣袤的知識疆域邊緣摸索探尋。 ——愛丁堡大學學者克拉克?巴威克（Clark Barwick）

1945年，兩位美國數學家塞繆爾?艾倫伯格（Samuel Eilenberg）與桑德斯?麥克萊恩（Saunders MacLane）發表一篇頗具開創性的論文 https://people.math.osu.edu/cogdell.1/6112-Eilenberg&MacLane-www.pdf ，由此創立一門全新學科，即范疇論（category theory）。范疇論一舉在數學各個既有分支之間搭建起互通的快捷通路。

艾倫伯格與麥克萊恩將 “范疇” （categories）定義為由各類對象，以及它們之間被稱作態射（morphisms）的關聯關系共同構成的集合。舉例來說，一個范疇可以由集合以及集合間的映射構成，也可以由向量空間以及能夠實現空間變換的線性映射組成。

但這套理論真正的核心價值，源自二人進一步提出的抽象概念：能否借助函子（functor），將一整個范疇完整映射至另一個范疇？函子能夠有序地把對象對應為對象、態射對應為態射。換言之，它不僅可以實現兩類研究對象體系間的變換，還能保留對象彼此的關聯結構，以此打通不同數學分支。

克拉克?巴威克（Clark Barwick）與其研究生彼得?海恩（Peter Haine）各自獨立定義出稠密集（pyknotic sets），該數學對象與凝聚集（condensed sets）高度相似。

圖源：克拉克?巴威克

艾倫伯格與麥克萊恩的研究目標之一，是將拓撲學和其余數學分支關聯起來。學界早已發現，拓撲學很難和數學核心分支代數融洽結合。愛丁堡大學的克拉克?巴威克（Clark Barwick）表示，拓撲學為代數發展帶來極大助力，但受自身構建方式限制，拓撲與代數難以適配，反而阻礙了相關研究推進。

范疇論的推演往往從淺顯直觀的表述起步，繼而依托研究者口中戲稱的 “抽象的廢話”，推導出極具價值的數學結論。不同范疇具備不同特性，實用價值也有所區別。在適配的范疇中，抽象推演能夠發揮強大作用，在其余范疇里則失去實際意義。

在拓撲學中，你可以構建由拓撲空間與連續映射組成的范疇。代數學里，阿貝爾群范疇是重要分支，阿貝爾群（abelian groups）擁有規整對稱的性質。若想要整合代數結構在拓撲層面的表現規律，或是探究代數規則如何約束拓撲構造，自然會選取同時兼具拓撲與代數屬性的對象，構建拓撲阿貝爾群范疇。

但拓撲阿貝爾群并不滿足范疇論研究所需的關鍵性質。倘若范疇論為數學各個分支山脈開辟出貫通路網，那么想要沿路行進的拓撲學者，只能駕駛故障頻發、頻繁維修的老舊車輛前行。

這便是舒爾茨與克勞森最終著手解決的難題。舒爾茨表示，拓撲學者實際上并不認可拓撲空間，因為其對應的范疇使用體驗欠佳。能否定義全新對象替代拓撲空間，既保留原有理論價值，又構建出性質更優的范疇，最終實現拓撲學與代數學及其他分支的融合互通？

別具一格的革新者

全新思想往往會迎來集中迸發的契機。

2013年，時年25歲的舒爾茨已是造詣深厚的數學研究者 https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-and-the-future-of-arithmetic-geometry-20160628/，聲名鵲起，成為德國最年輕的全職教授 https://www.spiegel.de/lebenundlernen/uni/24-jaehriges-mathe-genie-wird-deutschlands-juengster-professor-a-861373.html 。

他與當時任職于美國普林斯頓高等研究院的巴爾加夫?巴特（Bhargav Bhatt）共同撰寫論文https://arxiv.org/abs/1309.1198 ，給出一類特殊范疇的全新定義。行文過程中，二人順帶提出一種晦澀的數學集合，即 “點的pro-艾達爾位點上的層”（sheaf on the pro-étale site of a point，其中pro-指projective limit，譯者注）。彼時舒爾茨并未重視這一概念。他坦言，這類尚未命名的集合，在當時看來只是理論中難以理解的特殊部分。

巴爾加夫?巴特曾與舒爾茨一同定義出相關數學對象，多年后人們才意識到，這些對象正是凝聚集，具備極高的理論價值。

圖源：西蒙斯基金會

同一時期，克勞森正在麻省理工學院攻讀博士學位。在哥本哈根大學完成五年博士后研究后，他于2018年前往波恩，與剛斬獲數學界最高榮譽菲爾茲獎的舒爾茨共事 https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-becomes-one-of-the-youngest-fields-medalists-ever-20180801/ 。克勞森出于不同研究目的，獨立推導出同類集合，他說服舒爾茨一同深入探究。舒爾茨回憶，彼時克勞森已經察覺到，這類集合有望用來替換拓撲空間。

幾乎同一時段，巴威克與當時的學生彼得?海恩（ Peter Haine），為解答自身關注的范疇論問題，獨立給出略有差異的定義。海恩稱，團隊最初只為攻克單一問題，也預判這套理論擁有廣泛用途，但核心目標是推導特定結論，對以往研究成果完成拓展延伸。

而在他看來，克勞森與舒爾茨懷揣著更為宏大的研究愿景。

二人確實懷揣宏大目標。他們將這類集合命名為凝聚集（condensed sets），并正式展開研究。研究過程中的階段性成果并未對外刊發。2019年4月，舒爾茨在波恩大學開設凝聚數學相關課程；同年5月，他發布一份共計77頁的講義筆記https://arxiv.org/abs/2605.03658 ，依托內容最終給出一致對偶（coherent duality）這一重要定理全新且簡潔的證明。后續與舒爾茨展開合作的約翰?科梅林（Johan Commelin）回憶道，以往相干對偶定理的證明過程繁復晦澀、繞彎頗多。而舒爾茨與克勞森推導出的證法條理清晰、精巧凝練。

科梅林表示，這份簡潔優美的證明，讓全球各地的學者紛紛組建研讀小組與研討班，一同鉆研這份講義，探尋其中的核心思路。科梅林本人在弗萊堡大學也牽頭組建了研討團隊，研讀過程難度不小。他坦言，團隊里沒有人能夠吃透全部細節內容。

舒爾茨回憶，“凝聚集最初只是用于推導數學結論的工具，很快便擁有了更深層的意義。就我個人而言，凝聚集徹底改變了我思考數學問題的根本方式。用凝聚視角替代傳統拓撲視角后，這套思維模式已經融入我的所有研究工作之中。”

巴塞羅那大學集合論學者杰弗里?貝格法爾克（Jeffrey Bergfalk）介紹，2019年他與捷克科學院同行克里斯?蘭比 - 漢森（Chris Lambie-Hanson）在網絡上發布一篇技術性論文 https://arxiv.org/abs/1907.11744 后，初次結識舒爾茨與克勞森。集合論研究圈子規模小且聯系緊密，和數學主流領域存在一定隔閡。貝格法爾克原本以為，只有熟識的同行會關注這篇文章，沒想到收到了克勞森發來的郵件。郵件中提到，二人正在凝聚數學框架下研究相近課題，這門新興學科當時并不為貝格法爾克與蘭比 - 漢森所知。

貝格法爾克許久之后才意識到，舒爾茨和克勞森想要憑借凝聚數學實現的變革規模何其宏大。達斯汀與彼得待人謙和友善，溝通交流順暢自然，這樣的處事態度難能可貴。盡管二人的研究方向早已超出傳統集合論范疇，提出的問題卻精準貼合集合論學者的研究關注點。他們的思考方向和我們原本的研究思路契合，這也促使我們主動去學習凝聚數學相關知識。

著手重塑二十世紀大量數學理論的兩位學者，行事風格卻十分低調質樸。2021年接受數學家瑪麗亞?亞克爾松（Maria Yakerson）采訪https://www.youtube.com/watch?v=HYZ3reRcVi8 時，舒爾茨坦言，自己大多只是用全新表述方式重新詮釋前人的研究成果。他本身對定理推導與證明過程興趣有限，核心追求是創立全新定義。優質的定義應當能夠簡化命題表述，同時降低證明難度。舒爾茨并不認為自己具備超凡創造力，他所做的，只是為客觀存在的數學規律賦予恰當名稱。

同期另一場訪談中https://www.youtube.com/watch?v=XTOwj1LvntM ，克勞森向亞克爾松談及自身想法。他不愿投稿發表論文，認為現行學術出版體系存在根本性弊端。日常也極少整理撰寫研究成果，相關工作大多交由合作學者完成。他一心專注純粹的數學研究，和舒爾茨一樣，始終探尋貼切的概念名稱與理論表述語言。他甚至曾考慮投身文學翻譯行業。

“我始終無法完全認同拓撲空間這套體系。現實中存在豐富完備的數學體系，我們一直試圖探索其內在規律，卻始終沒有合適的語言去完整描述。”

未知的探索并未讓他止步，反而愈發堅定研究信念。“暫時無法弄懂并不會讓我沮喪，真正洞悉原理的那一刻，會帶來莫大的欣喜。”

筑基“塵埃”之上

凝聚集的價值正體現于此。按照舒爾茨的比喻，凝聚集如同一套構造法則，可以依托完全不連通的空間，搭建出實數這類具備連續屬性的研究對象，好比將零散的面粉、砂糖顆粒糅合烘烤，最終成型為完整糕點。

康托爾集就是典型例子。取 0 到 1 之間的全體實數構成線段，剔除中間三分之一部分，再依次剔除剩余所有線段的中間三分之一。無限重復該操作后，最終只會余下離散的點狀集合，任意兩點互不緊鄰，整體呈現完全不連通的特性。

取一條線段，去掉中間三分之一段。再依次剔除剩余每段線段的中間三分之一。無限重復該操作，最終會得到一簇彼此互不連通的“塵埃”點集。

康托爾集是結構最簡單的凝聚集，同時也是構造各類復雜凝聚集的基礎單元。舒爾茨表示，仿照康托爾集這類點狀集群，以特殊方式疊加組合，就能構建出形式更為繁復的凝聚集。

這類離散細碎的結構看似陌生，實際應用卻無處不在。以十進制形式書寫數字時，本質上就是將數字視作類似的點狀集合，相當于把每一位數字對應區段從數軸中單獨拆分出來。

按照這種形式，確定一個數值的過程，本質就是對數軸進行無窮次分割。舒爾茨表示，十進制展開式對應的是完全不連通空間，每新增一位數字，數軸就會被進一步拆分。所有數值相互之間都處于離散隔絕的狀態。

那么如何借助這類離散集合，構造出我們熟知的實數數軸這類連續對象？辦法是將離散片段重新拼接融合，例如把 0.49999999999999999… 與 0.5 視作同一個數，同理也將 0.50999999999999999… 等同于 0.51，依照這類規則統一界定數值。

舒爾茨與克勞森提出的凝聚集原理與之相仿，這類集合本身具備離散特性，卻能夠用來構造、研究拓撲學范疇內的連續對象。舒爾茨解釋道，相較于以拓撲空間作為研究起點，凝聚集還具備另一項優勢：這類完全不連通的基礎單元，在代數層面的描述方式極為簡潔。

馬克斯?普朗克數學研究所的學者、舒爾茨的合作研究者胡安?埃斯特萬?羅德里格斯?卡馬戈（Juan Esteban Rodríguez Camargo）表示，凝聚集可以構成一類特殊范疇，終于能夠以實用且嚴謹的方式，融合拓撲學、代數學以及其他數學分支的理論內容。

二人率先運用凝聚集，重新證明以往依托拓撲空間推導得出的經典結論，代數基本定理便是其中一例。瓦基爾評價，全新的證明思路讓相關理論邏輯變得順滑通透，便于學者建立直觀認知，理解程度也隨之加深。

此后二人決定進一步拓展研究邊界。

凝聚理論的發展歷程

2019年至今，舒爾茨與克勞森不斷依托凝聚集搭建全新數學結構，持續發布課程講義。科梅林稱，這套理論在波恩大學的迭代速度，遠超全球學界的吸收進度。研究相繼衍生出輕凝聚集，以及固態、液態、氣態空間等概念，完整的凝聚數學體系逐步成型。

克勞森與舒爾茨都不將自身視作拓撲領域研究者。倘若二人處事風格更為強勢，或是理論實用價值不足，此番跨界重構學科基礎的嘗試，難免會引發業內不滿。被問及凝聚數學將會帶來何種影響時，舒爾茨表示，他們無意強行推動理論普及。二人沉浸于研究過程，只為探尋能夠切實助力自身探索的新思路。

部分數學家將二人的研究比作1950至1960年代的一場數學變革。彼時亞歷山大?格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）依托范疇論重塑代數幾何，極大拓寬該領域的研究范疇與應用價值。格羅滕迪克對現代數學影響深遠。

亞歷山大?格羅滕迪克改寫了代數幾何領域的全貌，此后他告別數學研究，隱居于法國比利牛斯山區。

圖源：Paul R. Halmos攝影藏品，檔案編號 e_ph_01181_pub，德夫?布里斯科美國歷史中心，得克薩斯大學奧斯汀分校

阿爾伯塔大學博士后、克勞森昔日研究生達古爾?阿斯蓋爾松（Dagur Asgeirsson）認為，從這一層面而言，可以將彼得與格羅滕迪克相提并論，他正在全方位重塑數學體系。

巴威克表示，凝聚理論最令人振奮的地方，在于能夠定義全新的研究對象。這套理論發掘出一類此前從未被關注的天然數學客體，如同一座無人涉足的山峰，而人類目前僅僅徘徊在這片廣袤領域的邊緣地帶。

克勞森與舒爾茨在一份講義https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Analytic.pdf 中，引用知名數學家戴維?芒福德（David Mumford）的經典言論。芒福德曾評價自己深耕的代數幾何，“該領域素來有著深奧小眾、高度抽象的標簽，業內研究者仿佛暗自謀劃，想要統攝整個數學界”。二人繼而提出，凝聚數學同樣晦澀抽象、門檻頗高，他們計劃以此接續前人的探索之路，這番表述并非全然戲謔。

這場算不上隱秘的數學體系革新仍在持續推進。數年間，二人又陸續定義出解析疊（analytic stacks）、格式塔（gestalten）等全新數學概念，部分學者認為這些新對象的價值甚至超越凝聚集。

舒爾茨認為，凝聚數學除了克勞森與自己主攻的數論方向外，還有望在諸多相距甚遠的領域發揮作用。他提到，作為現代物理學核心分支的量子場論，其基礎理論長久以來存在諸多難題，該領域深度運用高階代數與范疇論知識。

他補充道，量子場論本身又具備極強的分析特性與拓撲屬性。融合這兩類理論體系難度頗高，而凝聚數學為此提供了可行的統一框架。

舒爾茨與克勞森的研究成果印證了選取恰當理論表述體系的重要意義，重構概念既能簡化已有知識體系的推演過程，也能助力探索全新數學領域。舒爾茨表示，深究各類數學現象的本質，本質就是找尋能夠精準詮釋現象的表達語言。

格羅滕迪克晚年發表回憶錄，他將數學家比作建造者，同時提出，數學并非人為創造全新事物，只是發掘原本就客觀存在的內在結構。他在書中寫道，“最美的建筑，不在于體量宏大、高聳巍峨，而是能夠忠實映照出事物潛藏的構造與美感，也最能體現建造者的用心。”

參考資料

https://www.quantamagazine.org/two-researchers-are-rebuilding-mathematics-from-the-ground-up-20260520/

https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/poincare2009.pdf

https://www.quantamagazine.org/the-man-who-stole-infinity-20260225/

https://people.math.osu.edu/cogdell.1/6112-Eilenberg&MacLane-www.pdf

https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-and-the-future-of-arithmetic-geometry-20160628/

https://www.spiegel.de/lebenundlernen/uni/24-jaehriges-mathe-genie-wird-deutschlands-juengster-professor-a-861373.html

https://arxiv.org/abs/1309.1198

https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-becomes-one-of-the-youngest-fields-medalists-ever-20180801/

https://arxiv.org/abs/2605.03658

https://arxiv.org/abs/1907.11744

https://www.youtube.com/watch?v=HYZ3reRcVi8

https://www.youtube.com/watch?v=XTOwj1LvntM

https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Analytic.pdf

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