導語

“集智百科精選”是一個長期專欄，持續為大家推送復雜性科學相關的基本概念和資源信息。作為集智俱樂部的開源科學項目，集智百科希望打造復雜性科學領域最全面的百科全書，歡迎對復雜性科學感興趣、熱愛知識整理和分享的朋友加入，文末可以掃碼報名加入百科志愿者！

↑↑↑掃碼直達百科詞條

劉子豪、楊明哲 | 作者

作者簡介

目錄

1. 歷史

2.標準型和性質

2.1 不動點和穩定性分析

2.1.1 求解不動點

2.1.2 不動點穩定性分析

2.1.3 相圖與分岔圖

2.2 推廣形式

2.2.1 推導過程

2.2.2 例子

3 案例：云杉蚜蟲爆發模型

3.1 模型方程

3.1.1 無量綱公式化處理

3.2 無量綱方程的分析

3.3 物理意義

4 二維系統（以上）

4.1 二維標準型

4.2 穩定性分析

5 相關概念

鞍結點分岔 （Saddle-Node Bifurcation），又稱折疊分岔（Fold Bifurcation）、切線分岔（Tangent Bifurcation）或藍天分岔（Blue Sky Bifurcation），是非線性系統中相對簡單且常見的不穩定性機制之一。 [1]

1. 歷史

鞍結點分岔的早期研究可追溯到龐加萊（Jules Henri Poincaré）時期。龐加萊最早提出了“分岔”的概念。他重點研究了這樣一種現象：當外部條件（即參數）發生改變時，系統原本可能存在的幾種不同狀態（即方程不同的解的分支）會逐漸靠近、合并，并最終完全消失。他當時描繪的這一過程，與鞍結點分岔的情況非常相似。[2]

鞍結點分岔的名稱最早由蘇聯學者安德羅諾夫（A. A. Andronov）與列昂托維奇（E. A. Leontovich）給出，并且在他們的研究中，系統地討論了參數變化對系統不動點的影響。[3]

2. 標準型和性質

在數學上，我們可以通過標準型來研究分岔的本質特征。對于一維動力系統（參考一維動力學），鞍結點分岔的最簡微分方程形式（標準型）如下[4]

• 其中 x ∈ 是狀態變量， r ∈ 為誘導分岔產生的外部參數。

• 對于實際研究中的更復雜的系統，如，為了將原系統簡化為標準型（即忽略高階項（如 O ( x 3 , r 2 ) 等）的影響），狀態變量 x 和參數 r 必須限制在局部范圍內：

• x的取值范圍應為不動點 x?的ε-鄰域：x∈(x??ε,x?+ε)，其中 ε>0且充分小。
• r 的取值范圍應為臨界值 rc 的δ-鄰域：r∈(rc?δ,rc+δ)，其中 δ>0 且充分小。

• 只有在此微小鄰域內，泰勒展開后的低階項才能主導系統的定性行為。具體可參見下文中的推廣形式。

鞍結點分岔的關鍵性質在于，隨著系統參數 r 的改變，相空間中原本存在的兩個不動點（一個穩定，一個不穩定）相互靠近、碰撞并最終相互抵消而消失，導致系統原本的穩定狀態不復存在。也可反過來看待，原本狀態不穩定的系統因系統參數 r 的改變，使其先出現了一個半穩定不動點，最終出現了兩個不動點（一個穩定，一個不穩定）。

2.1 不動點和穩定性分析

以為例

2.1.1 求解不動點

令，不動點意味著變化率為0，即 f ( x ) = 0 。

• 當 r < 0 時， x ? 無解，也就沒有不動點。

• r的范圍在[0,+∞)時，解 有實際意義。

• • 當 r = 0 時，有一個不動點 x ? = 0

  • 當 r > 0 時，有兩個不動點。

需要通過計算系統的雅可比矩陣（在一維情況下即為一階導數）來判斷局部穩定性，因此有 f ′ ( x ? ) = ? 2 x ? 。

當 r > 0 時，

• 分支 x ? = ，有 f ′ ( x ? ) = ? 2 r < 0 ，微小擾動會不斷衰減，是穩定不動點；

• 分支 x ? = ? ，有 f ′ ( x ? ) = 2 r > 0 ，微小擾動會被放大，是不穩定不動點。

當 r = 0 ，有 f ′ ( x ? ) = 0 ，此處為分岔點。

2.1.3 相圖與分岔圖

根據以上求解和分析，對于 這個系統，我們已經可以畫出相圖和分岔圖來直觀展示參數變化對系統的影響。

相圖即 的圖像，縱坐標為，橫坐標為 x 。

根據不動點的求解，我們可以給出三種不同參數 r 情形下的相圖。根據對不動點穩定性的分析，可以進一步得出不動點的類型。

圖中實心點為穩定不動點，空心點為不穩定不動點，半空心點為半穩定不動點。

下面，我們繪制出分岔圖。

分岔圖是以參數 r 為自變量，系統不動點 x ? 為因變量，能直觀展示參數的取值與不動點的數量和性質的關系。

根據求解出的不動點 x ? = 和 x ? = ? 可知圖像是比較簡單的開方冪函數。不動點穩定性類型用虛線和實線分別表示不穩定和穩定。

對于情況類似，只是方向發生了調轉。

分岔圖如下：

2.2 推廣形式

為了更好地發現在復雜的動力系統中，常以局部分岔的方式出現的鞍結點分岔，我們需要了解它的推廣形式。[4]

可以看作是一階參數與二階自變量的線性組合。

2.2.1 推導過程

之所以上式是鞍結點分岔的一般形式，是由于對于任意的動力系統：

將 視為關于 x 與 r 的函數 f ( x , r ) ，對 x ， r 在 x ? 與 r c 處分別進行泰勒展開得到（其中 r c 是臨界狀態時的 r 值）

其中 f ( x ? , r c ) = 0 。又由于鞍結點分岔在分岔點 ( x ? , r c ) 處有，再將視為常數 a ，將視為常數 b 。忽略后面的高階項，即可得到 = a ( r ? r c ) + b ( x ? x ? ) 2

2.2.2 例子

以為例

令 ，有 r ? x = e ? x 。這個等式的交點對應的是不動點，而隨著 r 的變化， r ? x 和 e ? x 兩曲線相切時（即原方程出現重根），此時的 r c 恰好是分岔點。所以，找到這兩條曲線相切時的切點即可得到我們需要的不動點和分岔點 ( x ? , r c ) ，其中半穩定不動點 x ? = 0 ，臨界值 r c = 1 。

在 x ? = 0 ， r c = 1 附近，將 e ? x 在 x = 0 處進行泰勒展開，得到

可見該動力系統符合鞍結點分岔的推廣形式，其包含鞍結點分岔。

3. 案例：云杉蚜蟲爆發模型

下面給出鞍結點分岔在生物界中的具體例子，即云杉蚜蟲的爆發生長現象。這個問題的背景是，云杉蚜蟲是一種會吃森林樹葉的蟲子，同時也會被鳥類等動物捕食。[4][5]

當環境參數（如森林承載力、蚜蟲增長率）發生微小變化時，系統可能會穿過分岔點。原本被有效控制的低數量的蚜蟲種群，可能會轉換到持續爆發的高數量狀態。該系統中有兩個鞍結點分岔。

3.1 模型方程

這里，各個參數的含義說明如下：

• R為蚜蟲的內在增長率，K為森林的環境承載能力。其中K是一個變化較慢的參數。
• R N ( 1 ? N / K )是描述蟲子的邏輯斯諦增長（參考一維動力學）（Logistic Growth）。
• P ( N )是被捕食曲線，例如 。其中A是捕食者的半飽和常數，即捕食速率達到最大值一半時所需的蟲子數量。B是捕食者的最大捕食速率。

以為例, 由于式中出現了四個參數 R 、 K 、 A 、 B ，需要通過無量綱化減少參數數量，同時將參數集中到邏輯斯諦方程部分（等號右側第一項），消除被捕食曲線中的參數來便于我們分析。

無量綱化需要通過下面兩個步驟：

1. 式子兩邊除以 B ，令 x = N / A 。得到

2. 引入無量綱時間，無量綱參數與。再根據鏈式微分法則可到最終的化簡方程：

3.2 無量綱方程的分析

其中，各個參數的含義如下：

• r是接下來主要調整的參數。它雖然是無量綱的，但從表達式上 可以理解為“物種自身的繁殖潛能”與“環境壓制能力”的比值。生態學背景下，一般假設r>0。
• k可理解為環境的承載力。

進一步，令。此時 x ? = 0 通常為不穩定不動點，因此分析實際問題時一般關注 x ? > 0 的不動點的情況，即

對該方程可轉化為求解兩條曲線的交點問題。

• 左側是一條穿過 ( 0 , r ) 和 ( k , 0 ) 的直線，斜率為負。

• 右側從原點出發，先上升后下降，呈單峰狀，與參數 r ， k 無關。

因 k 是一個慢變量，所以將其視為一個常數（上圖中 k = 10 ），將 r （上圖縱坐標）視為主要控制參數。

• 當 r 很小時，可看到兩條曲線僅有一個交點，且為一個穩定不動點，記為不動點1。

• 令 r 逐漸增大到第一個臨界值 r 1 時（約為 0.384 ）， y 1 ( x ) 與 y 2 ( x ) 的下降段相切，出現了半穩定不動點。

• 繼續增大 r ， y 1 ( x ) 與 y 2 ( x ) 的下降段出現了兩個不動點（一個不穩定，一個穩定），記為不動點2、不動點3。以上是該系統第一個鞍結點分岔。

• 再接著增大 r 到第二個臨界值 r 2 (約為 0.56 )， y 1 ( x ) 與 y 2 ( x ) 在單峰附近相切，原本不動點1與不動點2相遇出現了一個半穩定不動點。

• 繼續增大 r ， y 1 ( x ) 與 y 2 ( x ) 只剩下不動點3。以上是該系統的第二個鞍結點分岔。

相圖和分岔圖如下。相圖中實心點為穩定不動點，空心點為不穩定不動點，半空心點為半穩定不動點。

3.3 物理意義

上面的相圖和分岔圖描述了當外部環境條件（參數 r ）發生緩慢且連續的變化時，系統的最終歸宿（穩定不動點的位置和數量）會發生怎樣的改變。

• 當參數 r 在較小數值范圍內變動（ 0 < r < 0.384 ）：系統只有一個不動點，環境的改變只引起系統狀態的微小調整。比如氣溫稍微升高，蚜蟲數量只是略微增加，依然會被捕食者維持在較低數量的穩定態。

• 當參數 r 在有三個不動點區間內變動（ 0.384 < r < 0.56 ）：此時環境能提供不錯的生存資源。

• 對于第一個穩定不動點，雖然蚜蟲有著不錯的發展環境，但捕食者的效率也相當高，因此蚜蟲數量依然維持在低水平。

• 對于系統中的不穩定不動點，可看作一個“爆發指標”：

• 比如因為對流天氣為當地系統帶來了額外的蚜蟲，導致蚜蟲數量超過了該不動點對應的值，蚜蟲數量增長的正反饋機制被激活，導致系統走向蚜蟲爆發的穩定狀態。

• 又比如通過農藥等方式將蚜蟲數量壓制到小于該不動點對應的值，那么系統中的捕食者即可接管剩下的蚜蟲數量控制工作。

• 對于第二個穩定不動點，蚜蟲數量突破了捕食者所能消耗的上限，保持爆發式增長，最終數量只受環境因素影響。

• 當參數 r 在較大區間內變動（ r > 0.56 ）：此時環境資源極其豐富，系統的負反饋調節機制完全失效，只剩下爆發式繁殖的正反饋機制。捕食者所消滅的蚜蟲數量已經微不足道，最終數量只受環境因素影響。此時若要干預蚜蟲數量，只能從環境因素著手才有效。

4. 二維系統（以上）

與一維動力系統中的鞍結點分岔類似，二維及以上的鞍結點分岔同樣描述了一個穩定不動點和一個不穩定不動點隨參數變化相互靠近、碰撞并最終同時消失的過程。[1][4]

4.1 二維標準型

• x與y為狀態變量。
• μ為分岔參數。

• 一式描述了系統在 x 維度上的分岔行為。

• 二式描述了系統在y維度上的收縮行為（其中λ>0，通常取λ=1來簡化討論），表明系統在非分岔方向上是穩定的。

三維以上的標準型與二維類似，僅在某個維度有分岔行為（類似），系統在其余維度上穩定（均為類似的形式，其中參數 λ > 0 ）。

4.2 穩定性分析

x方向的不動點分析與一維情況完全類似。隨著參數 μ 的變化，二維相平面上的拓撲結構經歷以下三個階段：

1. 雙不動點共存階段 ( μ > 0 )：

• 穩定不動點 ( , 0 ) ：在兩個特征方向上均表現為吸引，對應系統的一個穩態。

• 不穩定不動點 ( ? , 0 ) ：在 y 方向吸引，在 x 方向排斥。

動力學特征：相空間被不穩定不動點分割，大部分軌線最終收斂于穩定不動點。

2. 臨界分岔點 ( μ = 0 )： 兩個不動點在原點 ( 0 , 0 ) 處發生碰撞并融合。

3. 不動點消失與幽靈吸引子 ( μ < 0 )： 方程在實數域內無解，所有不動點消失。

• 幽靈吸引子 (Ghost Attractor)：雖然不動點不再存在，但在原點附近區域，向量場流速極慢（≈ 0 ）。系統狀態在穿過該區域時會發生顯著的臨界遲滯現象，形成所謂的“瓶頸效應”。

5. 相關概念

鞍結點分岔的形式在所有分岔現象里是最為普遍的一種。其在系統中常作為一種局部分岔（Local Bifurcation）出現。高維系統會有環上的鞍結點分岔、無限周期分岔等其他更復雜的分岔類型，而在某些局部上可以將其看成是一維的鞍結點分岔來進行分析，所以掌握一維鞍結點分岔的性質是非?；竞椭匾摹?/p>

從突變論（catastrophe theory）的角度看[6]，鞍結點分岔實際上是折疊突變（fold catastrophe）在動力系統中的具體表現形式。突變論由 René Thom 建立，其核心思想是用奇點理論研究系統狀態隨控制參數連續變化而發生的不連續躍遷。在 Thom 的七種基本突變類型中，折疊突變是最簡單的一類，通常由一個狀態變量和一個控制參數描述。

因此，在奇點理論框架下，折疊突變描述的是平衡解集合幾何結構的折疊奇點，而鞍結點分岔則是該幾何結構在動力系統中的動力學實現。二者在數學結構上由相同的奇點類型控制，只是描述視角分別來自突變論的勢函數幾何和分岔理論的相空間動力學。這種對應關系揭示了分岔理論與突變論之間的深層聯系：許多基本分岔都可以理解為 Thom 基本突變在動力系統中的具體體現。

參考文獻

1. Wikipedia: Saddle-Node Bifurcation

2. H. Poincare (1885). sur l'i~ouilibre d'ui~e masse fluide animi~e d'un mouvemeht de rotation

3. A. A. Andronov, E. A. Leontovich (1957). On the generation of limit cycles from a loop of a separatrix and from the separatrix of the state of equilibrium of saddle-knot type

4. Strogatz, S. H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. Reading, MA: Perseus Books.

5. Ludwig, D., Jones, D. D., Holling, C. S. (1978) Qualitative Analysis of Insect Outbreak Systems: The Spruce Budworm and Forest.

6. Arnold, V. I., Afrajmovich, V. S., & Il’yashenko, Y. S. (2013). Dynamical Systems V: Bifurcation Theory and Catastrophe Theory. Springer. https://books.google.com/books?id=8-LtCAAAQBAJ

本詞條由集智俱樂部眾包生產，難免存在紕漏和問題，歡迎大家留言反饋，一經采納，可以獲得對應的積分獎勵噢！

親愛的社區伙伴與知識探索者：

我們誠摯邀請熱愛知識分享的您，加入集智百科詞條編寫志愿團隊！無論您是領域專家，還是對特定主題充滿熱忱的學習者，這里都有您的舞臺。通過編寫百科詞條，您將為全球讀者傳遞權威知識，同時獲得專家指導與個人能力躍升的雙重成長。

志愿者職責

• 創作新詞條：覆蓋復雜系統、人工智能等前沿領域

• 迭代經典內容：更新現有詞條，守護知識的準確性與時效性

• 質量守護者：參與內容校對審核，共建精品知識庫

我們期待您

• 集智讀書會成員（需完成一期字幕任務）

• 擁有清晰表達復雜概念的寫作能力

• 對特定領域有深度研究或強烈興趣

• 具備信息檢索與整合素養

• 懷揣責任感與協作精神，愿為知識共享賦能

您將收獲

• 百科積分（支持兌換集智俱樂部周邊：文化衫、復雜科學知識卡以及提現）

• 集智俱樂部創始人張江教授親自指導寫作

• 科研志愿者晉升通道：表現優異者可加入張江教授科研團隊從事科研志愿者

你的百科貢獻之路，從一字一句開始！

第一步，從成為一名字幕志愿者開始！

只需完成一期讀書會講座字幕任務，這不僅是貢獻，更是一次深度的學習。字幕任務過關后，您將升級為“百科志愿者”，開啟編輯詞條、整理術語的進階旅程。

從字幕到百科，這是一條清晰的成長路徑。立即行動，從第一個任務開始你的升級吧！

報名讀書會：「非線性動力學與混沌」

集智俱樂部聯合北京師范大學張江科研組聯和南信大李春彪科研組師生共同發起，由師生共同領讀《非線性動力學與混沌》，以分章節精讀的方式，帶領大家系統學習非線性動力學的基本理論與典型模型，結合洛倫茲系統、Kuramoto模型等經典案例，深入探討混沌的起源、分形與奇異吸引子等前沿問題。

本讀書會不僅讀書，還會系統化地梳理本書中的重要概念，并整理為百科詞條。也就是說，讀完本書，我們會梳理出一套非線性動力學與混沌相關的百科詞條，這才是重點。

我們也會通過梳理詞條的方式，讓學員組成學習小組進行比賽，最終會評出優秀學習小組獲得復雜科學知識卡、汪小帆簽名的《非線性動力學與混沌》、張江簽名的《規模法則》、以及譯者簽名的《復雜-誕生于混沌與秩序邊緣的科學》以及特色集智文化衫！

詳情請見：

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.