|作者：曹小東1 劉俊杰2 蔣建華1,3,?

(1 中國科學技術大學蘇州高等研究院)

(2 上海大學物理系)

(3 中國科學技術大學物理學院)

本文選自《物理》2026年第5期

摘要真實的量子系統總是與環境耦合。這種耦合與量子多體效應相互交織，催生出極為豐富的非平衡物理現象。研究開放量子多體系統的核心困難在于：密度矩陣的維度隨系統規模呈指數增長，且耗散、相互作用和外場驅動同時發揮作用，很難單獨分離出來處理。文章從正向求解和目標調控兩個方向出發，介紹人工智能方法在開放量子多體系統中的應用進展。

關鍵詞開放量子多體系統，人工智能，量子調控

01

開放量子多體系統

真實的量子系統通常并非完全孤立，而是不可避免地與周圍環境發生耦合，從而與外界交換能量、粒子和信息。在許多情況下，這種耦合會破壞系統中的量子相干性，使原本依賴相干演化才能維持的量子態逐漸退相干。在很長一段時間內，環境耦合被視為量子系統中需要抑制的不利因素。然而，近年來越來越多的研究表明，耗散并不總是起“破壞”作用。通過恰當的設計，特定形式的耗散可以成為一種調控量子態的有用手段：它既能幫助人們穩定和制備某些目標量子態，也可驅動系統進入一些在平衡態中難以實現、甚至根本不會出現的量子相[1—5]。特別是在量子多體體系中，粒子間相互作用、量子統計與耗散過程之間會發生復雜的競爭與協同，此時耗散不再只是簡單地抹平量子效應，而是有可能深刻重塑關聯建立和演化的方式，進而產生豐富的非平衡物理現象。

為了更具體地建立物理圖像，我們考慮一個具有雙占據損失耗散的費米—哈伯德鏈[3]。在該模型中，每個格點上有4種可能的狀態：|0>表示沒有電子占據，|↑>和|↓>分別對應一個自旋向上和自旋向下的單電子占據態，|↑↓>為雙占據態。電子以躍遷振幅t在最近鄰格點之間跳躍，當兩個電子同時占據同一格點時則需要付出U的相互作用能。當系統處于半填充(每個格點平均占據一個電子)、總磁化為零且U?|t|時，系統傾向于處在每個格點被單占據的低能子空間中。此時，相鄰格點之間通過二階虛躍遷過程形成反鐵磁超交換作用，系統傾向于建立反鐵磁關聯，即
。若每個格點有一定幾率向環境丟失雙占據電子對，系統中的雙占據態會被持續抑制。由于反鐵磁關聯的形成依賴于虛雙占據過程，這種耗散會顯著削弱原本由超交換機制建立起來的反鐵磁關聯；相比之下，鐵磁構型中的相鄰同自旋電子受到泡利不相容原理限制，不會通過同一虛雙占據通道發生損耗，因此在動力學上表現得更為穩定。于是，隨著系統不斷演化，體系中原本占主導的反鐵磁關聯逐漸減弱，鐵磁關聯則相對增強。由此可見，耗散在這里并不是簡單地抹除關聯，而是通過選擇性壓制某類微觀過程，使原本在封閉體系中對應高能特征的鐵磁關聯在動力學中相對增強。

上述例子只是環境耦合改變多體系統物理性質的一個具體體現。由于環境原則上包含無窮多的自由度，要系統研究這類問題，我們首先需要合適的近似理論框架。當系統與環境耦合較弱，且環境的關聯時間遠短于系統的弛豫時間時，可在Born—Markov近似下得到系統的有效動力學描述。此時，系統隨時間的演化滿足Lindblad方程[6, 7]：

其中ρ是密度矩陣，為Liouville超算符，Li 是第i 個耗散通道的跳躍算符，γi為相應的耗散強度。雖然這一方程是在若干近似下導出的，但對多體系統而言，對它進行精確求解仍然極其困難。

除了在給定參數下進行正向求解，我們往往還希望進一步通過調控參數，使系統演化到某個目標量子態。此時，問題的核心就不再僅僅是如何求解演化方程，還在于如何利用耗散、相互作用與外部控制來實現目標態制備[2]。這一任務同樣非常困難：可調控參數的維度通常很高，且不同參數常常受到實驗條件或物理機制的限制；同時，在實際過程中通常無法直接獲取系統狀態的全部信息。因此，這是一個在高維參數空間中、受多種物理約束且信息不完備的優化問題。

下面我們將分別介紹人工智能在高效、精確地正向求解開放量子多體系統演化，以及對量子系統進行有效調控方面所取得的進展。

02

神經網絡密度矩陣

對于一個包含N個格點、局域希爾伯特空間維數為d的系統而言，要完整描述其密度矩陣ρ，原則上需要dN×dN個復數，參數量隨系統規模指數增長，這就是所謂的“指數墻”問題。由于神經網絡具有強大的表達能力，往往能用相對較少的參數去擬合高維空間中的復雜函數，因此被用于表示量子多體系統的波函數[8]。受此啟發，一種自然的想法是用神經網絡來表示ρ。不過，與波函數不同，密度矩陣的表示并非任意的，它還必須滿足半正定和厄米性等物理約束[9—11]。

圖1 神經網絡密度矩陣方法示意。密度矩陣需要滿足的物理約束、純化表示(a)與變分穩態求解(b)和瞬態時間演化(c)

為滿足這些約束，一種常見做法是采用純化表示。其核心思想是：系統密度矩陣所描述的混態，可以看作在更大的希爾伯特空間中對環境自由度求跡之后得到的約化態。為此，我們可以引入輔助自由度a(即圖1(a)中的紅色節點)，將“系 統自由度+輔助自由度”整體視為一個純態，并用神經網絡對其進行參數化。然后，對輔助自由度求跡，即得系統的約化密度矩陣

，這里σ為物理自由度，θ為神經網絡參數。按這種方式構建的ρθ天然滿足半正定和厄米性。同時，借助神經網絡的表達能力，網絡參數數量dim(θ)通常可以遠小于密度矩陣的維數d2N。

在此表示基礎上，穩態求解和瞬態時間演化都可以轉化為對θ的優化問題[12—15]。對于穩態求解，系統滿足穩態條件
，這里代表穩態ρss在Liouville空間的向量化表示。因此可通過變分優化θ來最小化損失函數。對于瞬態時間演化，則在每個時刻t 都需要通過變分優化θ來最小化Lindblad演化方程的損失函數。由于位于變分參數流形在ρθ處的切空間內，而一般并不落在該切空間內。因此，如圖1(c)所示，這類方法的核心思想就是通過優化，使在切空間上的最佳投影誤差最小[12]。

近年來，神經網絡密度矩陣方法不斷發展，已被用于研究一維系統和較小的二維團簇。然而，在目前可求解的系統大小上，它尚未明顯超越張量網絡等方法[13，14]。該方法在更大規模體系上的運用主要有兩個瓶頸。其一，雖然通過純化構建的神經網絡密度矩陣天然滿足物理約束，但這同時對網絡架構形成了較強的限制，現有實現大多集中在受限玻爾茲曼機(restricted Boltzmann machine, RBM)這類相對簡單的架構上，如何在保留物理約束的同時引入表達能力更強的網絡，仍有待進一步探索。有意思的是，如果不明確要求神經網絡表示一定要滿足半正定性，而是直接用卷積神經網絡(convolutional neural network，CNN)參數化密度矩陣，已有工作發現在若干測試模型中可以得到優于RBM密度矩陣的結果[15]。其二，在瞬態演化中，需要處理矩陣Sij=
的求逆。由于S的維度與網絡參數量相當，大參數量網絡的優化會變得相當困難；同時，這一矩陣通常需要借助隨機采樣得到，采樣噪聲也會引入額外的數值不穩定性。值得注意的是，基于正算子值測度(positive operator valued measure, POVM)的概率表示，可以將Lindblad方程重寫為概率分布的演化方程，并用支持精確采樣的自回歸神經網絡(Transformer)參數化，在純化方法之外提供了另一條路徑[16]。

03

神經網絡規范相空間表示

上一節介紹的是直接利用神經網絡表示密度矩陣的方法。這里我們討論另一種思路：不直接表示密度矩陣，而是利用神經網絡提高相空間表示方法的采樣效率。以玻色子系統為例，我們可以構建Bargmann相干態
，其中b?為玻色產生算符，為復數。相干態是湮滅算符的本征態b|α>=α|α>，也是最接近經典描述的量子態。利用相干態的超完備性，任意的密度矩陣都可以展開為

這種用相干態展開密度矩陣的方法稱為positive-P表示[17]。其中α和β為兩個獨立的復變量，量子系統的全部信息被編碼在一個定義在擴展相空間上的經典概率分布P(α, β)中。當系統按照Lindblad方程演化時，通過將算符作用映射為相空間中的微分操作，可以導出P(α, β)滿足Fokker—Planck方程，這將開放量子多體系統的時間演化轉化為了經典概率密度的漂移和擴散過程。該Fokker—Planck方程等價于一組It?隨機微分方程(SDE)。因此，我們只需模擬大量按該SDE演化的隨機軌跡，并通過系綜平均計算物理觀測量。由于單條隨機軌跡所需的變量數隨體系自由度線性增長，這為大體系模擬提供了可能[18]。

然而，在實際應用中，SDE中由相互作用帶來的非線性項往往會導致軌跡發散，這通常對應于分布P(α, β)出現了長尾。少數發散軌跡會支配系綜平均，使統計結果完全失效。為解決該困難，gauge-P表示進一步引入一個額外的隨機權重變量Ω，將密度矩陣展開為[19，20]

其中
為算符展開基。這里的P(α, β, Ω)同樣是擴展相空間上的一個經典概率密度。當Ω≡1時，這個廣義表示退化為通常的positive-P表示，因此它可以視作positive-P的自然推廣。引入Ω后，同一個密度矩陣可以對應多種等價的相空間隨機過程，而物理觀測量由帶權重的相空間平均給出。因此，我們可以引入漂移規范函數Gα, Gβ和擴散規范函數λ，它們會改變SDE的漂移項和擴散項，但不改變任何物理觀測量的值[19，20]，這就是gauge-P表示中的規范自由度。換句話說，SDE的隨機實現方式擁有很大的選擇自由，而物理結果對這一選擇是不變的。

這種規范自由度給出了一條規避發散軌跡的可能途徑：如果能在函數空間中找到合適的規范函數，使得隨機軌跡的分布保持緊致、不產生長尾，就可以在不影響物理結果的前提下，改善數值采樣的穩定性和精度。過去，人們已經嘗試通過解析推導給出某些特定形式的規范函數來消去有害的邊界項[20]，這些解析規范能夠在特定模型中緩解軌跡發散。但是，解析規范通常依賴于對具體模型的深入分析和針對性設計，普適性較差，對于一般開放量子多體系統解析找到理想的規范函數往往非常困難。

圖2 神經網絡隨機規范相空間表示方法。Lindblad方程先被改寫為相空間中的Fokker—Planck方程，再由隨機微分方程采樣實現。神經網絡根據當前軌跡變量和時間輸出隨機規范，改變軌跡的隨機實現方式，把容易發散的采樣軌跡約束回有效區域，同時保持物理觀測量不變

神經網絡為該問題提供了有力的工具。我們可以用神經網絡來參數化規范函數，網絡的輸入是當前的軌跡變量(α, β, Ω)和時間t，輸出是漂移規范Gα, Gβ和擴散規范λ。如圖2所示，訓練時，我們要求相空間概率密度P(α, β, Ω)的尾部得到有效抑制，使采樣軌跡始終保持在物理合理的區域內，以此作為損失函數來優化網絡參數。需要指出的是，這里神經網絡并不直接表示量子態本身，而是圍繞一個原理上嚴格成立的理論框架，去學習一個能夠使隨機采樣保持穩定和高效的規范函數。因為規范變換不改變物理量的值，這一學習過程改變的僅僅是數值實現的效率和精度。而且，由于學習到的是隨機過程的調控策略，而非某個具體系統的量子態，這種策略有可能在小體系上訓練后直接遷移到更大的體系中使用。

圖3 單格點Bose—Hubbard模型中的一階關聯函數和分布函數。(a)和(b)比較了采用不同隨機規范下一階關聯函數實部、虛部隨時間的演化，神經網絡隨機規范(neural gauge)在較長時間內都與精確結果吻合得很好；(c)相空間變量的分布函數隨時間的變化，可以看到該方法能有效壓制長尾分布的出現[21]

圖3(a)和(b)對比了單格點Bose—Hubbard模型的一階時間關聯函數中該方法的表現。可以看到，相較于沒有隨機規范的positive-P方法以及采用解析隨機規范(analytical gauge)消除軌跡奇點的方法，神經網絡隨機規范在精度和可模擬時間上均有明顯提升。圖3(c)進一步顯示，前兩種方法中的分布函數隨演化時間增長會迅速變成長尾分布，而神經網絡隨機規范則能有效壓制長尾分布的產生[21]。

圖4 神經網絡隨機規范在二維驅動—耗散的Bose—Hubbard模型中的遷移表現。比較在不同小體系上訓練得到的規范函數用于16×16體系計算得到的二階密度關聯函數隨時間的演化。在較小訓練體系上得到的規范容易在中后期出現不穩定，而3×3訓練得到的規范能夠穩定演化到更長時間，并逐漸靠近黑色虛線標出的穩態參考值[21]

遷移性方面的結果展示在圖4中。針對16×16二維驅動—耗散的Bose—Hubbard模型，僅使用在3×3小體系上訓練得到的規范網絡，就能夠穩定地對大體系進行長時間演化計算，得到的二階密度關聯函數隨時間的演化與角空間重整化方法(corner-space renormalization method,CSR)給出的穩態值[22]符合得很好。

04

量子調控

前面我們討論了合理的外場驅動和耗散如何幫助穩定和制備某些量子態，以及人工智能技術如何幫助我們正向求解給定系統的時間演化。那么，一個自然的問題便是：假如我們能夠正向計算開放量子多體系統的時間演化，為了得到想要的目標態或目標物理性質，應該如何逆向設計外場驅動和耗散通道？

我們先介紹一類模型依賴的方法。如圖5上半部分所示，可以將時間變量作為神經網絡的輸入，并輸出該時刻系統的狀態ρ(t)和施加在系統上的驅動ξ(t)。在訓練過程中，一方面要求網絡預測的狀態滿足Lindblad方程，從而讓網絡學習系統的動力學控制規律；另一方面，在演化結束時要求網絡預測的狀態盡可能接近目標態，以此訓練網絡給出能將系統引導至目標態的驅動強度ξ(t)。這里，強制網絡滿足Lindblad方程非常關鍵，這相當于向網絡顯式注入了系統演化的動力學先驗信息，能夠有效提升生成的ξ(t)的精度和可靠性[23]。這種思路可以理解為：如果已經掌握了基本原理(Lindblad方程)，那么在完成具體任務(通過ξ(t)將系統調控到目標態)時通常也會更加高效。圖5中所示的例子表明，對于一個兩能級系統，訓練后網絡生成的外場驅動ξ(t)能夠成功將系統調控到想要的吉布斯(Gibbs)態。

上述方法在原理上自然且直接，但它隱含了一個較強的前提：我們能夠比較準確地寫出系統動力學方程，并在優化過程中獲取完整的狀態信息。真實實驗往往并不滿足這一點。人們通常無法直接獲得系統的完整狀態ρ(t)，而只能得到有限的測量結果o(t)；這些測量結果帶有統計噪聲，測量本身還會改變后續狀態。因此，實際控制問題并不只是“求一個最優外場函數”，而更像是一個閉環決策問題：控制器一邊通過測量獲得有限信息，一邊根據這些信息選擇下一步操作。

強化學習為這種閉環問題提供了合適的工具。它把量子系統看作一個可以交互的環境，把測量記錄看作觀測，把外場控制幅度、相位等看作動作，把最終任務完成得好不好寫成獎勵。神經網絡參數化的策略πθ(at|o≤t)的作用，就是根據到當前時刻為止的觀測歷史o≤t選擇下一步動作at。這里的關鍵不在于顯式重建密度矩陣，也不在于事先精確知道Lindblad方程中的每個參數，而在于通過許多次嘗試逐漸學會：什么樣的觀測歷史下， 采取什么動作更可能把系統推向目標。如圖5所示，在對一個與兩能級體系耦合的諧振子模型進行Fock態制備的任務中，智能體正是利用有限測量反饋和獎勵信號，逐漸找到高質量制備目標Fock態的方法[24]。

圖5 量子調控中的兩類優化問題。上半部分表示模型依賴的調控：網絡同時學習系統狀態和外場驅動，并通過動力學方程與目標態誤差共同訓練；下半部分表示無模型調控：智能體只能看到測量得到的不完整信息，通過反復試探、反饋和獎勵逐步學會控制策略[23，24]

在基于強化學習的量子調控中，對歷史觀測記錄的建模十分重要。一方面，強化學習中的獎勵往往是延遲出現的：某一步動作是否有用，可能要經過后續演化和最終測量后才顯現出來，因此策略必須從整段軌跡中判斷哪些早期操作真正貢獻了最終成功。另一方面，弱測量本身帶有噪聲，例如連續擴散型測量可寫成：

其中，rt表示連續弱測量過程中到時刻t為止的測量記錄，drt表示在時間區間[t, t+dt]內獲得的測量記錄增量；L表示被測通道，η是測量效率，dWt是Wiener增量。這說明單次讀數并不是系統狀態的直接標簽，而是系統信息與隨機噪聲的混合。只有把一段歷史記錄合起來，才更容易從噪聲中恢復對狀態和控制方向有用的信息。因此，對πθ(at|o≤t)來說，有效信息往往分布在整個o≤t中，而不只在當前的o(t)里。由于Transformer的注意力機制天然適合捕捉長時間窗口內的相關性，文獻[25]將其應用于連續弱測量下的量子反饋控制，結果表明它能夠較好地利用長歷史測量記錄來穩定目標態。

05

結語與展望

近些年，開放量子多體系統研究取得了長足發展，使我們對耗散、測量與相互作用共同驅動的非平衡量子物理有了更深入的理解。然而，現有研究仍多集中在相對簡單的模型和中小規模體系中；對于具有復雜相互作用、復雜幾何結構或更大自由度的開放量子多體系統，可靠而高效的理論和數值方法仍有待發展。其核心困難在于，密度矩陣所需的參數量隨系統規模快速增長，而環境耦合又會進一步豐富系統的動力學結構。

本文介紹的幾類人工智能方法從不同角度嘗試應對這一困難。神經網絡密度矩陣試圖直接壓縮混態表示；神經網絡隨機規范則利用相空間表示中的規范自由度，改善隨機采樣的穩定性和有效時間尺度；在量子調控問題中，物理信息神經網絡和強化學習方法也為目標態制備、反饋控制和復雜控制策略的搜索提供了新的思路。受篇幅所限，本文只是對這一方向做了初步介紹，還有許多重要課題沒有展開，例如非馬爾可夫系統中的記憶效應[26]、面向復雜量子態的層析方法[27]、從實驗數據中學習開放系統動力學[28]，以及用神經網絡傳播子預測驅動—耗散量子動力學[29]等。

開放量子多體系統是當前量子物理中的重要研究方向，而利用人工智能方法研究這類問題也正在快速發展。與封閉量子體系相比，開放體系同時受到相互作用、耗散、測量噪聲和環境反饋等多重因素的影響，其動力學行為更加豐富，也更難用傳統解析或數值方法進行完整而高效的刻畫。特別是在非厄米相、耗散誘導的相變等問題中，系統常常表現出長時間關聯、臨界慢化以及對Liouvillian譜結構的高度敏感性。以神經網絡和強化學習為代表的人工智能方法，憑借其高維表達、數據驅動建模和策略優化能力，為復雜混態表示、開放系統動力學建模、近似傳播子構造以及量子反饋控制策略優化等重要問題提供了新的思路。尤其是在物理約束、對稱性結構和守恒律被顯式嵌入模型之后，人工智能方法將不再只是黑箱擬合工具，而有望發展成為兼具表達能力、物理可解釋性和數值效率的新型理論與計算工具。希望本文能夠激發讀者對這些問題的進一步興趣。

參考文獻

[1] Diehl S，Micheli A，Kantian A et al. Nat. Phys.，2008，4：878

[2] Verstraete F，Wolf M M，Cirac J I. Nat. Phys.，2009，5：633

[3] Nakagawa M，Tsuji N，Kawakami N et al. Phys. Rev. Lett.，2020，124：147203

[4] Rota R，Minganti F，Ciuti C et al. Phys. Rev. Lett.，2019，122：110405

[5] Bergholtz E J，Budich J C，Kunst F K. Rev. Mod. Phys.，2021，93：015005

[6] Lindblad G. Commun. Math. Phys.，1976，48：119

[7] Gorini V，Kossakowski A，Sudarshan E C G. J. Math. Phys.，1976，17：821

[8] Carleo G，Troyer M. Science，2017，355：602

[9] Torlai G，Melko R G. Phys. Rev. Lett.，2018，120：240503

[10] Hartmann M J，Carleo G. Phys. Rev. Lett.，2019，122：250502

[11] Vicentini F，Biella A，Regnault N et al. Phys. Rev. Lett.，2019，122：250503

[12] Reh M，Schmitt M，G?rttner M. Phys. Rev. Lett.，2021，127：230501

[13] Weimer H，Kshetrimayum A，Orús R. Rev. Mod. Phys.，2021，93：015008

[14] Sander A，Fr?hlich M，Eigel M et al. Nat. Commun.，2025，16：11074

[15] Mellak J，Arrigoni E，von der Linden W. Commun. Phys.，2024，7：268

[16] Luo D，Chen Z，Carrasquilla J et al. Phys. Rev. Lett.，2022，128：090501

[17] Drummond P D，Gardiner C W. J. Phys. A: Math. Gen.，1980，13：2353

[18] Deuar P，Ferrier A，Matuszewski M et al. PRX Quantum，2021，2：010319

[19] Deuar P，Drummond P D. Phys. Rev. A，2002，66：033812

[20] Deuar P，Drummond P D. J. Phys. A: Math. Gen.，2006，39：2723

[21] Cao X，Zhong Z. Neural Gauge Phase-Space Representation for Open Quantum Many-Body Systems. in preparation

[22] Finazzi S，Le Boité A，Storme F et al. Phys. Rev. Lett.，2015，115：080604

[23] Norambuena A，Mattheakis M，González F J et al. Phys. Rev.Lett.，2024，132：010801

[24] Sivak V V，Eickbusch A，Liu H et al. Phys. Rev. X，2022，12：011059

[25] Vaidhyanathan P，Marquardt F，Mitchison M T et al. Phys. Rev. Res.，2026，8：L012043

[26] Breuer H P，Laine E M，Piilo J et al. Rev. Mod. Phys.，2016，88：021002

[27] Torlai G，Mazzola G，Carrasquilla J et al. Nat. Phys.，2018，14：447

[28] Wallace S，Altmann Y，Gerardot B D et al. Phys. Rev. Res.，2025，7：033217

[29] Zhang J，Benavides-Riveros C L，Chen L. Phys. Rev. Res.，2025，7：L012013

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人工智能與量子多體計算專題

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