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本文探究材料碎裂時(shí)涌現(xiàn)的隱藏結(jié)構(gòu)，揭示自然過程、數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間出人意料的關(guān)聯(lián)。文章重點(diǎn)分析阿爾貝托?布里（Alberto Burri）的作品《黑色大龜裂》，作品中的裂紋形態(tài)呈現(xiàn)出雙曲幾何特征，令人聯(lián)想到龐加萊模型與埃舍爾的鑲嵌圖案。這場(chǎng)跨學(xué)科之旅表明，對(duì)看似平凡現(xiàn)象的細(xì)致觀察，能夠催生出跨越科學(xué)與藝術(shù)的深刻洞見。

作者：朱利安?邁耶（ Julien Meyer ）2026-5-18

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-5-28

求喜歡

作者簡(jiǎn)介

朱利安?邁耶（Julien Meyer）獲布魯塞爾自由大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位，現(xiàn)任盧森堡國家自然歷史博物館科學(xué)推廣負(fù)責(zé)人。他癡迷于科學(xué)、自然與藝術(shù)的聯(lián)結(jié)，探索從基礎(chǔ)物理規(guī)律到生命及其痕跡的世界。

想象你漫步在森林中。起初一切都顯得尋常 —— 地上的落葉、小徑旁干裂泥土的縫隙、頭頂鳥兒的鳴唱。但如果你停下腳步，湊近細(xì)看，感知會(huì)驟然轉(zhuǎn)變：迎著陽光，一片葉子會(huì)展現(xiàn)出精巧的葉脈網(wǎng)絡(luò)；原本看似隨機(jī)的裂紋，將空間分割成規(guī)整的多邊形；鳥鳴也呈現(xiàn)出富有節(jié)奏的規(guī)律。片刻前還微不足道的景象，此刻變得秩序井然…… 甚至，美得動(dòng)人。

圖1a 迎著陽光，山毛櫸葉呈現(xiàn)精巧的葉脈網(wǎng)絡(luò)

圖1b 干裂泥土中形成裂紋網(wǎng)絡(luò)

圖1c 山姆?埃佩爾丁（Sam Erpelding）的《生態(tài)之聲研究 IV》—— 對(duì)盧森堡、荷蘭、奧地利自然聲景的藝術(shù)生態(tài)探索，結(jié)合野外錄音與數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)聲化，揭示棲息地氛圍中的隱藏圖案

但這樣的瞬間為何會(huì)出現(xiàn)？除了帶來短暫的驚嘆，它們對(duì)我們又有何意義？答案或許在于人類一項(xiàng)非凡的能力：刻意凝神，專注于起初看似平常的事物。

這些與自然的邂逅、這些微小瞬間，點(diǎn)燃我們的好奇心，驅(qū)動(dòng)思維運(yùn)轉(zhuǎn)。每一次觀察都始于尋常之物，卻蘊(yùn)藏著故事的種子：有人發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出問題、尋求解釋。簡(jiǎn)單的好奇心，最終可演化為結(jié)構(gòu)、分類，乃至理論。

從這個(gè)意義上說，在看似隨機(jī)中感知秩序的能力，正是科學(xué)乃至數(shù)學(xué)本身的根基。

解讀裂紋

圖案具有普遍性。它存在于萬物、各類材料、動(dòng)植物之中：老虎皮毛的條紋、蝴蝶翅膀的結(jié)構(gòu)色、石珊瑚的分形生長(zhǎng)形態(tài)，皆是如此。即便在物體崩解、腐爛、消逝的過程中，物理規(guī)律依然發(fā)揮作用，引導(dǎo)過程走向某種有序結(jié)果。

在這些多樣的秩序形態(tài)中，本文聚焦一種特殊現(xiàn)象：裂紋（cracks）的形成。材料在應(yīng)力作用下發(fā)生斷裂時(shí)，張力的釋放會(huì)以裂隙網(wǎng)絡(luò)的形式留存下來。這樣的網(wǎng)絡(luò)可見于干裂的泥土、陶瓷釉面，甚至隕石的熔殼。它們兼具破壞性與生成性，造就出極具規(guī)律性的幾何形態(tài)。

圖2a 干裂泥土的裂紋網(wǎng)絡(luò)

圖2b 作為裝飾元素的陶瓷釉面裂紋

圖2c 隕石熔殼的裂紋

局部來看，單條裂紋可能顯得雜亂無章，但當(dāng)兩條或更多裂紋相互作用時(shí)，情況就變得格外有趣。想象一片老舊的水泥路面，兩條裂紋從相對(duì)方向彼此靠近。起初，裂紋仿佛在相互避讓、迂回繞行，片刻后卻以接近直角的方式交匯。這種模式在無數(shù)材料與場(chǎng)景中反復(fù)出現(xiàn)。但原因何在？一條裂紋如何影響另一條的路徑？它們又如何 “交流”？

圖3 兩條裂紋相互繞行，并傾向于以直角交匯

答案藏在材料本身。裂紋擴(kuò)展時(shí)，會(huì)沿路徑釋放張力，使剩余應(yīng)力方向與裂紋保持垂直。當(dāng)?shù)诙l裂紋靠近時(shí)，會(huì)朝著最大化釋放殘余應(yīng)力的方向生長(zhǎng)，自然形成約 90° 的交匯角，即通常所說的T型節(jié)點(diǎn)。

圖4a 水槽中以 90° 角交匯的裂紋

當(dāng)裂紋反復(fù)愈合與斷裂時(shí)（例如泥土經(jīng)歷干濕循環(huán)），情況會(huì)更復(fù)雜。此時(shí)T型節(jié)點(diǎn)可演變?yōu)?strong>Y型節(jié)點(diǎn)，裂紋以約 120° 角交匯，使應(yīng)力在三個(gè)方向均勻分布。因此，裂紋節(jié)點(diǎn)的幾何形態(tài)高度依賴其背后的物理過程。

圖4b 干裂泥土中約 120° 角形成的裂紋

一個(gè)意義深遠(yuǎn)的典型案例來自火星：美國航空航天局好奇號(hào)火星車在蓋爾撞擊坑發(fā)現(xiàn)六邊形泥裂網(wǎng)絡(luò)。

圖5 火星上由反復(fù)干濕循環(huán)形成的六邊形裂紋圖案（圖源：NASA/JPL - 加州理工學(xué)院 / 火星空間科學(xué)系統(tǒng)研究所 / 圖盧茲天體物理與行星科學(xué)研究所）

2021年拍攝的這些圖案，首次直接證明火星曾存在持續(xù)的干濕循環(huán) [3]。與單次干燥形成的尖銳T型節(jié)點(diǎn)不同，六邊形結(jié)構(gòu)是反復(fù)補(bǔ)水使角度逐漸柔化形成Y型節(jié)點(diǎn)的結(jié)果。這種循環(huán)干濕過程尤為重要，因?yàn)樗徽J(rèn)為能創(chuàng)造生命起源前化學(xué)反應(yīng)所需的條件。這些火星裂紋不僅記錄了遠(yuǎn)古氣候，還暗示這里曾存在支持生命起源化學(xué)過程的環(huán)境。

碎裂之物的隱藏幾何

除了支配裂紋形成的物理過程，在適宜條件下，裂紋網(wǎng)絡(luò)還驚人地遵循純粹的數(shù)學(xué)規(guī)律，其基礎(chǔ)是簡(jiǎn)單的組合論證。

簡(jiǎn)單說明如下：設(shè)某區(qū)域頂點(diǎn)數(shù)為 V?，一條新直線將其分割為兩個(gè)區(qū)域，頂點(diǎn)數(shù)分別為 V?、V?，則平均頂點(diǎn)數(shù)為v=(V?+V?)/2=(V?+4)/2等價(jià)形式為 V?4=(V??4)/2

每重復(fù)一次分割，與 4 的差值就減半，最終 V 趨近于 4。

想象在一張白紙上隨機(jī)畫直線，直線將紙面分割成若干區(qū)域。統(tǒng)計(jì)每個(gè)區(qū)域的頂點(diǎn)數(shù)并取平均值，結(jié)果總會(huì)接近4。

圖6 在紙上隨機(jī)畫直線并統(tǒng)計(jì)各區(qū)域頂點(diǎn)數(shù)，每個(gè)區(qū)域的平均頂點(diǎn)數(shù)收斂于 4

這一簡(jiǎn)潔的純數(shù)學(xué)推理，適用于現(xiàn)實(shí)世界中由直線構(gòu)成的裂紋網(wǎng)絡(luò)，破碎的冰蓋就是典型例子。

圖7 在家即可嘗試！這塊破碎冰蓋中各區(qū)域的平均頂點(diǎn)數(shù)為 61:15≈4.07

在一篇廣受關(guān)注的論文[1] 中，加博爾?多莫科斯（Gábor Domokos）及其合作者將這一思想拓展至更一般的裂紋網(wǎng)絡(luò)，包括形成Y型節(jié)點(diǎn)的情況。由于Y型節(jié)點(diǎn)通常以約 120° 交匯，自然可推測(cè)每個(gè)區(qū)域的平均頂點(diǎn)數(shù)接近 6，如同蜂巢。他們?cè)诘刭|(zhì)學(xué)研究中考察地球板塊，板塊幾乎都以Y型節(jié)點(diǎn)交匯，統(tǒng)計(jì)得到的平均值為5.8—— 接近6，但并不完全相等。

多莫科斯回憶起當(dāng)時(shí)團(tuán)隊(duì)的有趣反應(yīng)：地質(zhì)學(xué)家對(duì)此十分滿意，對(duì)地球表面復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)而言，5.8 已經(jīng) “足夠接近”；但數(shù)學(xué)家卻感到不安。為何存在偏差？缺失了什么？最終洞見浮現(xiàn)：地球表面并非平面，而是一個(gè)巨大的球面！當(dāng)他們將論證適配正曲率幾何后，偏差消失，理論期望值從嚴(yán)格的 6 降至 5.8，與觀測(cè)結(jié)果幾乎完美吻合。

此刻，我們內(nèi)心的幾何直覺應(yīng)當(dāng)被喚醒：除歐氏空間與球面空間外，還有一類常曲率幾何 ——雙曲空間。現(xiàn)實(shí)世界中是否也存在暗示雙曲空間的案例？

圖8 常曲率空間分為三類：

球面空間（正曲率）

歐氏空間（零曲率）

雙曲空間（負(fù)曲率）

1882年至1884年間，法國數(shù)學(xué)家亨利?龐加萊（Henri Poincaré，1854–1912）提出并深入研究了雙曲空間的兩種經(jīng)典模型：雙曲上半平面與雙曲圓盤。在這些模型中，相當(dāng)于歐氏幾何 “直線” 的測(cè)地線，總會(huì)以直角與邊界相交，呈現(xiàn)出豐富且反直覺的結(jié)構(gòu)，挑戰(zhàn)了傳統(tǒng)空間觀念。

這些非歐幾何的開創(chuàng)性思想，后來成為20世紀(jì)多位藝術(shù)家的靈感源泉，其中最具代表性的是荷蘭版畫家莫里茨?科內(nèi)利斯?埃舍爾（Maurits Cornelis Escher，1898–1972）。埃舍爾癡迷于無限鑲嵌、不可能構(gòu)造與非零曲率空間，他在《圓極限 I–IV》等作品中經(jīng)典地呈現(xiàn)了雙曲圖案：重復(fù)的魚、天使與魔鬼向圓盤邊界不斷收縮，直觀展現(xiàn)雙曲平面。

圖9 龐加萊圓盤（左上）與上半平面（右上）是負(fù)曲率空間的兩種等價(jià)模型；荷蘭藝術(shù)家莫里茨?科內(nèi)利斯?埃舍爾（1898–1972）在《圓極限 IV》等作品中將這些幾何轉(zhuǎn)化為藝術(shù)（左下）

阿爾貝托?布里《黑色大龜裂》中的雙曲結(jié)構(gòu)

那么裂紋本身呢？在巴黎蓬皮杜中心，20 世紀(jì)最具標(biāo)志性的藝術(shù)品中，有一幅意大利藝術(shù)家阿爾貝托?布里（Alberto Burri，1915–1995）的巨幅黑色畫作：1977 年創(chuàng)作的《黑色大龜裂》Grande cretto nero https://www.centrepompidou.fr/fr/ressources/personne/cbq6bAe 。這件矩形作品尺寸為 1.5 米 ×2.5 米，表面布滿密集的龜裂鑲嵌圖案。裂紋輪廓清晰，遍布整個(gè)畫面。視線向邊緣移動(dòng)時(shí)，碎裂區(qū)域不斷變小，與龐加萊雙曲模型中收縮的瓷磚極為相似。

圖10 阿爾貝托?布里（1915–1995）：

《黑色大龜裂》Grande cretto nero，1977年

這種雙曲特征在畫面下邊界尤為明顯：碎片越靠近邊緣越小，裂紋常沿曲線延伸并以直角與邊界交匯，恰如龐加萊上半平面中的測(cè)地線。初看這似乎令人費(fèi)解，但結(jié)合前文對(duì)裂紋的論述便不難理解：裂紋天然會(huì)以接近 90° 的角度與邊界或其他裂紋交匯，以釋放應(yīng)力。在布里的作品中，邊緣附近的裂紋嚴(yán)格遵循這一原理，在靠近邊界時(shí)發(fā)生彎曲，最大化釋放張力。類似的雙曲行為有時(shí)也能在老舊道路與路面的裂紋表面觀察到。

如此看來，布里的作品令人聯(lián)想到龐加萊上半平面，尤其是下邊緣處碎片收縮、裂紋以直角與邊界交匯的特征。不過，上半平面僅下方有界，而布里的矩形畫布四邊均封閉，四條邊緣都呈現(xiàn)出類似的雙曲行為，使類比更貼近龐加萊圓盤模型 —— 空間向所有邊界均勻收縮。于是一個(gè)自然的問題浮現(xiàn)：若將布里的龜裂作品重構(gòu)于圓盤之中，會(huì)呈現(xiàn)何種樣貌？

圖11 在《黑色大龜裂》中，碎裂區(qū)域向邊界（紅色）不斷變小，裂紋常沿曲線路徑以直角與邊界交匯（綠色）

正方形到圓盤的映射

龐加萊上半平面與圓盤是等價(jià)的雙曲空間模型，可通過保幾何變換相互轉(zhuǎn)換。但布里的畫布是矩形，標(biāo)準(zhǔn)變換無法直接適用。為保留裂紋以直角交匯（尤其在邊界處）的關(guān)鍵特征，需要一種保角變換，即共形變換。幸運(yùn)的是，恰好存在滿足需求的變換：施瓦茨–克里斯托費(fèi)爾變換（Schwarz Christoffel transformation）。

更確切地說，施瓦茨–克里斯托費(fèi)爾（SC）變換提供了單位圓盤

D={w∈C:|w|<1}

到平面多邊形區(qū)域的共形映射。對(duì)于正方形，可通過橢圓積分寫出顯式公式。根據(jù)Fong[2]的研究，從圓盤到正方形的正向映射

SC:D→[?1,1]2

z=SC(w)=[(1?i)/(?K?)] F [arccos?((1+i)/√2 w), m=1/2]+(1?i)

給出，其中 F (φ,m) 為模 m=1/2 的第一類勒讓德不完全橢圓積分，K?=K (1/2) 為第一類完全橢圓積分。顯式表達(dá)式為

F(φ,1/2)=∫?^φ dθ/√(1?(1/2) sin2θ)

K?=F(π/2,1/2)=∫?^(π/2) dθ/√(1?(1/2) sin2θ)≈1.854

計(jì)算實(shí)現(xiàn)

為使用施瓦茨–克里斯托費(fèi)爾變換將布里的作品映射到圓盤，我們編寫 Python 程序逐像素構(gòu)建圓盤圖像。流程可概括如下：

1. 加載源圖像并中心裁剪為正方形區(qū)域

2. 在單位圓盤內(nèi)構(gòu)建均勻笛卡爾網(wǎng)格

3. 對(duì)每個(gè)圓盤點(diǎn) w，計(jì)算其在正方形內(nèi)的像 z=SC(w)

4. 將 z 轉(zhuǎn)換為像素坐標(biāo)，為 w 賦予正方形圖像對(duì)應(yīng)顏色

5. 拼接所有像素，得到圓盤形狀圖像

上述實(shí)現(xiàn)將正方形圖像共形映射到圓盤。但布里的《黑色大龜裂》是矩形而非正方形，直接將矩形映射到圓盤會(huì)不可避免地產(chǎn)生水平擠壓與畸變，掩蓋我們希望保留的幾何特征。

為避免這一問題，我們先將布里的畫布重構(gòu)為正方形：裁剪畫作中心區(qū)域，將左右部分概念上 “拼接” 為正方形圖像。這一步犧牲了矩形比例，但保留了邊界處核心的裂紋結(jié)構(gòu)。

轉(zhuǎn)換為正方形后，圖像可被共形映射到單位圓盤，裂紋幾何被忠實(shí)保留：碎裂仍與邊界正交，整體結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出龐加萊圓盤模型特有的雙曲韻味。此外，最終圖像驚人地喚起埃舍爾《圓極限 I–IV》的雙曲圖案。但二者存在關(guān)鍵區(qū)別：埃舍爾的作品是刻意繪制，主動(dòng)呈現(xiàn)雙曲幾何；而布里作品中的結(jié)構(gòu)由裂紋自發(fā)形成，純粹由物理規(guī)律塑造。

圖12 布里《黑色大龜裂》（上，移除中心區(qū)域）及其經(jīng)施瓦茨–克里斯托費(fèi)爾變換后的共形像（下）；雙曲行為被保留，生成具有鮮明 “埃舍爾風(fēng)格” 的圖像

《黑色大龜裂》的更多雙曲藝術(shù)變體

除了裁剪中心區(qū)域得到《黑色大龜裂》的正方形圖像外，還可采用其他構(gòu)造方式。例如從作品中裁剪特定三角形片段，復(fù)制拼接為正方形。這一過程引入人工對(duì)稱性，視覺效果更具美感，但偏離了布里原作中純粹自然的裂紋形成特征。

一場(chǎng)關(guān)于 “無意之美” 的邀約

從簡(jiǎn)單的泥裂到火星生命痕跡，再到藝術(shù)中的雙曲結(jié)構(gòu)：起初看似微不足道的觀察、單純的好奇，可發(fā)展為更深刻的探究，打開意想不到的聯(lián)結(jié)。悉心觀察便能發(fā)現(xiàn)聯(lián)結(jié)材料科學(xué)、物理學(xué)與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，有時(shí)甚至與藝術(shù)意外共鳴。在這些交叉點(diǎn)上，學(xué)科彼此融合，形成單一領(lǐng)域無法企及的深層紐帶。

因此我邀請(qǐng)你：保持好奇，停下腳步，關(guān)注 “小事”、意外與無意之美。正是在這些瞬間，熟知的知識(shí)常常拓展為全新的洞見。

施瓦茨–克里斯托費(fèi)爾映射變換的Python實(shí)現(xiàn)

用于將方形圖像共形映射到圓盤的施瓦茨–克里斯托費(fèi)爾變換 Python 代碼此代碼被用于生成布里的 Grande cretto nero 的圓盤版本。

print(f"Saved {OUTPUT_PATH}")

版權(quán)聲明

本文中圖片不適用CC知識(shí)共享許可協(xié)議的再使用條款。如需使用，可能需要進(jìn)一步獲得權(quán)利持有人的許可。

原文參考文獻(xiàn)

[1] G. Domokos, D. J. Jerolmack, F. Kun and J. T?r?k, Plato’s cube and the natural geometry of fragmentation. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 117, 18178–18185 (2020) https://dx.doi.org/10.1073/pnas.2001037117

[2] C. Fong, The conformal hyperbolic square and its ilk. In: Proceedings of Bridges 2016: Mathematics, Music, Art, Architecture, Education, Culture. pp. 179–186 (2016)

[3] W. Rapin, G. Dromart, B. C. Clark, J., Schieber, E. S. Kite, L. C. Kah, L. M. Thompson, O. Gasnault, J. Lasue, P.-Y. Meslin, P. I. Gasda and N. L. Lanza, Sustained wet–dry cycling on early Mars. Nature 620, 299–302 (2023) https://doi.org/10.1038/s41586-023-06220-3

參考資料

https://euromathsoc.org/magazine/articles/303

https://www.centrepompidou.fr/fr/ressources/personne/cbq6bAe

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