|作者：曹則賢1, ? 吳颶昊2 汪克林3

(1 中國科學院物理研究所)

(2 中國科學技術大學 合肥微尺度物質科學國家研究中心)

(3 中國科學技術大學近代物理系)

本文選自《物理》2026年第5期

摘要文章基于物理量的升降算符表示與態矢量的無量綱Fock態占據數表示處理朗道能級問題與量子霍爾效應。對朗道能級問題選取對稱規范，采用升降算符表示，哈密頓量不再有表觀的x-，y-方向上的不等價性，明顯看出系統的對易可觀測量完備集可選為{H，nb，Jz}，問題可在算符nb=a1+a1+a2+a2之本征值一定的子空間中求解。求解過程非常簡單，分立能級無需歸因于一維諧振子，且同時自然地帶出朗道能級的簡并度，表明這些都是該問題的本質特征。這里的關鍵是用角動量撬動關于朗道能級問題中守恒量的認識，守恒量算符nb將整個希爾伯特空間分解為有限維的子空間。借助博戈留波夫變換，可以證明朗道能級問題具有電磁規范不變性。采用升降算符表示，可將量子霍爾效應的哈密頓量變換為與朗道能級問題的哈密頓量完全相同的形式，故可根據后者的完備態矢集開展進一步的討論，極大地簡化了量子霍爾效應問題的計算。我們的理論具有普適的意義，有助于解析地求解諸多量子力學基本問題。

關鍵詞表示理論，升降算符，朗道能級，諧振子，簡并，守恒量，規范不變性，博戈留波夫變換，量子霍爾效應

1 導 言

量朗道能級問題是朗道于1930年提出的，揭示了由于磁場中的電子軌道的部分有限性，自由電子也會有順磁性[1]。在朗道的原文中，磁場中的自由電子的哈密頓量為

其中

這里H是z-方向上的磁場強度。考慮x-y平面內的運動。朗道指出，可以利用對易關系

與量子力學基本對易關系[p, q]=h/i的相似性，引入變換
，則x-y平面內的運動部分的哈密頓量為

這是標準的諧振子哈密頓量，故(1)式中的哈密頓量有能譜
(原文p3上漏了平方)。這個能量表示的第一部分是分立的，第二部分是連續的，故有電子軌道的部分有限性之說。請注意，(2)式來自磁矢勢選為A=，這是所謂的對稱規范。取對稱規范下的哈密頓量的x-y部分，即(4)式，等價于一維諧振子。

有趣的是，在求波函數時，朗道假設波函數具有形式
，得到薛定諤定態方程：

進一步假設
，則得到φ要滿足的定態方程為

這描述的是一個中心在
處的y-方向的一維諧振子。注意，方程(5)可通過取磁矢勢為A=(-Hy, 0, 0)直接得到，這是后來所謂的朗道規范。此處朗道規范下的x-y部分的運動等價于x-方向上的平動加上y-方向的諧振。

我們看到，朗道在無意中采用了兩種不同的電磁場規范，且在不同的視角下磁場中的自由電子的運動會有不同的等價圖像。

朗道能級有很多應用，比如可用來解釋量子霍爾效應。在朗道能級問題提出來之后，關于這個問題在處理方式上和物理詮釋上都呈現出不同來[2—4]。為了用我們引入的角動量量子理論處理朗道能級問題[5，6]，現在用當前常用的術語與符號把朗道能級問題再表述一遍，為此用H表示哈密頓量，用q表示電荷，且采用國際單位制。

設有自由電子處于外加均勻磁場中，B=Bez。為電磁場的磁矢勢選取朗道規范A=(-By, 0, 0)，這樣電子的正則動量為p+qA，相應地，哈密頓量為

由于H不顯含坐標x，z，故H與px，pz對易，本征波函數可取如下形式。帶入定態方程Hψ=Eψ，可得：

作替換
，得：

其中
。此方程是y-方向上的一維諧振子的定態方程，有能譜：

一維諧振子的定態不是簡并的，但朗道能級有簡并[3]。這樣的解就產生了不相洽的問題。如何為朗道能級引入簡并度呢？為此引入附加條件，電子在有限空間里運動，px取分立值，Lx是樣品在x-方向上的長度。諧振子的中心位置為
，因此有，則在有限的y-范圍內的諧振子數目為，此處取Lx=Ly。這為朗道能級的簡并找到了一個解釋。然而，這樣的處理方式有一些值得商榷的地方。

(1)上述解是選擇朗道規范A=(-By, 0, 0)得到的。同樣是選擇朗道規范，如果取A=(0, Bx, 0)，則物理圖像變成了分立能級來自x-方向上的一維諧振子，能級簡并應該要求y-方向上存在限域效應。如果選擇對稱規范，則又完全是另一種圖像。但是，真實的物理不應該依賴于規范選擇。

(2)若以
形式的包含不可歸一化因子的波函數作為其后討論的出發點，則難免會帶入不確定的非物理因素。

(3)朗道能級問題本質上是帶電粒子z-方向上的運動與x-y平面內的運動的脫耦，后者是一個二維運動。朗道自己利用對稱規范與后來的研究者利用朗道規范的求解過程中，都建議分立能級來自一維諧振子的運動[1—4]。擁有等價的兩個自由度的系統所表現出的分立能級約化為一維諧振子問題，這從物理角度來看令人費解，也有擔心其正確性的理由。

(4)更重要的是，無磁場時自由電子的運動具有三維平移對稱性和轉動對稱性。加上磁場后，垂直于磁場的平面內的運動應該具有二維空間的轉動對稱性，但前述的處理方式所建議的物理圖像中，存在明顯的x-，y-方向上的不等價。

本文采用物理量的升降算符表示和態矢集的無量綱Fock態占據數表示處理朗道能級問題。在對稱規范下，朗道能級問題有非常簡單的解法，且能揭示朗道能級簡并的來源。這里的關鍵，是用角動量來撬動關于朗道能級問題中守恒量的認識。守恒量算符nb將整個希爾伯特空間分解為有限維的子空間，而整個希爾伯特空間可以由有限維空間直和得到，這讓問題的求解變得非常簡單。借助一個博戈留波夫變換[7]，可以證明朗道能級問題是規范變換不變的。進一步地，可以將量子霍爾效應的哈密頓量變換為與朗道能級問題的哈密頓量有嚴格相同的形式，從而可以簡單求解。本文表述的方法可以在諸多量子力學基本問題上簡便地得到嚴謹自洽的結果。

2 朗道能級問題

取對稱規范，
，哈密頓量的形式為

展開得：

其中
(注意這里的因子)。角動量分量jz=xpy-ypx出現在哈密頓量中。哈密頓量不顯含坐標z，磁場只影響x-y平面內的運動，z-方向上的運動與x-y平面內的運動是脫耦的。z-方向上的波函數可選擇平面波；在具體的MOSFET(金屬—氧化物—半導體場效應管)結構中，載流子可看作在z-方向上受限于無限深方勢阱。在接下來的討論中，我們忽略z-方向上的運動。至于x-y平面內的運動，磁場對帶電粒子的作用分成兩部分，有一個等效的二維諧振子勢，其在x-y平面內對粒子起到約束作用，加上電荷的回旋運動，，所帶來的軌道角動量所關聯的磁矩與磁場間的作用能。這個物理圖像更接近物理真實。

為了充分利用角動量的量子理論[5，6]，接下來對物理量采用升降算符表示，態矢采用無量綱的Fock態占據數表示。引入表述表換：

其中Δ是量綱為[MT-1]的參數，升降算符ak+, ak (k=1, 2)滿足對易關系[ak+, ak]=1。為簡單計，取?=1。如此則有jz=i(a1a2+-a1+a2)，哈密頓量(12)式可表示為

此式中省去了兩個諧振子的零點能項。

針對變換后得到的哈密頓量(14)式，找到相應的守恒量，可以確定恰當的對易算符完備集。為此引入算符：

此算符與jz對易，因此與哈密頓量H對易，故針對朗道能級問題可選擇求對易算符完備集(H,nb,jz)的共同本征態集。

因為nb是守恒量，系統的定態必是對應nb的一個確定本征值nb的態矢，故系統的一個特定的定態應該由態矢集中的態矢組成。也就是說，系統的定態可以逐一在態矢空間的由nb所確定的子空間中求解。由于每一個子空間都是有限維的，因此求解過程得到了極大的簡化。進一步地，jz也是守恒量，在nb取確定值的子空間中的定態還要求是jz的本征態。這樣，求能量本征值及本征態的問題就約化為在一個nb取確定值的子空間中求算符jz的本征值問題。

接下來以nb=3的情形為例演示具體的求解過程。此時子空間有四個基態矢|3, 0>，|1, 2>，|2, 1>和|0, 3>，需要解的問題是找到一個疊加態：

使得

為本征值問題

此本征值問題有解m=1, -1; 3, -3。具體地，

m=1，相應的歸一化本征態為

對應的能量值E=nω+mω為E3,1=4ω；

m=-1，相應的歸一化本征態為

對應的能量值E3,-1=2ω；

m=3，相應的歸一化本征態為

對應的能量值E3,3=6ω；

m=-3，相應的歸一化本征態為

對應的能量值E3,-3=0ω。

對于nb取幾個很小數值的情形，結果簡單羅列如下：

(i)nb=1的情形，子空間只有兩個基態矢|0, 1>和|1, 0>。本征值問題jz| >1=m| >1的解為m=1, -1，相應的歸一化本征態可分別記為

對應的能量值分別為E1,1=2ω和E1,-1=0ω。

(ii)nb=2的情形，子空間有基態矢|2, 0>，|1, 1>和|0, 2>。本征值問題jz| >2=m| >2的解為m=2,-2，相應的歸一化本征態可記為

對應的能量值分別為E2,2=4ω和E2,-2=0。

(iii)nb=4的情形，子空間有基態矢|4, 0>，|3, 1>，|2, 2>，|1, 3>和|0, 4>。本征值問題jz| >4=m| >4的解為m=4, -4, 2, -2，相應的歸一化本征態可記為

對應的能量值分別為E4, 4=8ω，E4, -4=0ω，E4, 2=6ω，E4, -2=2ω。

此處的推導，每一步都遵從量子力學的基本法則。所得到的態矢是可歸一化的物理態矢，消除了此前理論中x-方向與y-方向明顯的表觀不同，還消除了某一個方向上的波函數為平面波的困難。在此前的處理中，能量本征值譜為{E=nω; n=0, 1, 2 …}，那里的n來自等效的一維諧振子勢，是沒有簡并的。如何解釋朗道能級的簡并問題便成了此前理論中的一個難點。我們此處用對稱規范所得到的能譜為{E=nω; n=0, 2, 4…}。考慮到兩種處理方式中的ω差一個1/2因子，因此兩者的能譜是相同的。但是，兩種處理方式的物理圖像是不同的。當前所得的總能量值nω來自二維諧振子疊加上角動量與磁場之間的作用，簡并有明確的來源。從我們的理論可以清楚地看到，系統的能量
由諧振子能量，nbω，和角動量—磁場相互作用，mω，兩部分構成，且nb=n1+n2。的態有無窮多重簡并態| >1,-1，| >2,-2，| >3,-3…，而的態有無窮多重簡并態| >3,-1，| >4,-2，| >5,-3…。簡并來自系統的固有性質，不需要引入額外的假設。

用升降算符ak+, ak與無量綱態矢空間處理朗道能級問題，可明顯看到存在守恒量nb，這一點可加以利用。此外，角動量的量子特性也得到了應用。采用對稱規范，讓這一問題本身看似具有二維空間的對稱性。然而，物理理論應該具有規范不變性。采用不同規范處理朗道能級問題，所得結果應該是本質上相同的才對。那么，朗道能級問題與電磁規范的選取無關嗎？為了回答這一問題，我們將朗道能級問題在朗道規范下與對稱規范下的哈密頓量都用升降算符表示，發現可以找到一個博戈留波夫變換，證明兩者形式上是等價的。

朗道能級問題在朗道規范下和對稱規范下的哈密頓量可分別寫為

這里的
。改用升降算符ak+, ak，k=1, 2，表示，兩個哈密頓量變為

兩者看起來非常不同。因為兩者都正比于ω，為簡單計，接下來的演算中把ω忽略。引入博戈留波夫變換：

將其代入哈密頓量HS，發現存在4組(f1, f2, f3, f4)選擇，即

其中α為一常數，可將HS變換為到HL。也即是說，當使用升降算符表示時，朗道規范下和對稱規范下的哈密頓量即便在形式上都是相同的。

3 量子霍爾效應

朗道能級問題與整數量子霍爾效應相關聯[2，3]。有了朗道能級問題的解，便有了有效地討論量子霍爾效應的基礎。考察在x-方向上施加一均勻電場，實驗上表現為在MOSFET結構上加一門電壓，以引起載流子在x-方向上的流動，因磁場的存在會引起橫向電流。這相當于在朗道能級問題中的哈密頓量上又疊加了一個qεx項，則霍爾效應問題中的哈密頓量為

其中
。額外添加的這一項看似簡單，但給問題帶來了實質性的變化。朗道能級問題里的守恒量nb此時不再是守恒量，前述求解方法失效。不過，問題沒那么糟糕。我們發現可以對(25)式中的哈密頓量作表象變換，將之變成與朗道能級問題里的哈密頓量有嚴格相同的形式。一個看似困難的問題用表象理論可以輕松化解，可見狄拉克當年構建量子力學表象理論所體現的深刻思想的威力。

引入新的升降算符(A1, A1+)，(A2, A2+)，令

代入(25)式，當選定
后，可得：

這又變為標準的朗道能級問題了[比較(23b)式]。這樣，可以采用此前的方法求定態能譜和態矢集，只是現在是在新的升降算符下的結果。

為了求解霍爾效應相關的物理問題，一個簡單的方式是將感興趣的物理量，其作為坐標—動量算符的函數，先寫成升降算符(a1, a1+)，(a2, a2+)的函數的形式，然而變換到(A1, A1+)，(A2, A2+)表示，用后者表示下的朗道能級問題之完備態矢集進行計算。現在計算磁場下的載流子當因外加電場造成流動時所產生的橫向電流，即在哈密頓量HH下求動量的期待值。

先計算無外加電場時x-y平面內電荷動量的期望值，發現：

這表明在純粹的磁場下，朗道能級問題中沒有電流。加上x-方向的電場后，計算須用(A1, A1+)，(A2, A2+)表示以及相應的朗道能級問題的態矢集，會發現：

注意到在(23)，(25)，(27)式中的ω應為?ω，故(29b)式的結果為
。這表明磁場下的電荷運動引起了橫向電流。

4 結束語

在處理量子力學問題時，將物理量用升降算符表示，對態矢集采用無量綱的Fock態占據數表示，可以澄清很多令人困惑的疑問，同時讓問題的求解變得簡單可行。對朗道能級問題選取對稱規范，采用升降算符表示，不僅可以消除表觀的x-，y-方向上的差異，而且求解非常簡單，所得波函數免于含平面波部分所帶來的困難，同時自然帶出朗道能級的簡并度。用升降算符表示的哈密頓讓我們輕易辨認出朗道能級問題中的守恒量nb=a1+a1+a2+a2。更重要的是，借助博戈留波夫變換，可以證明朗道能級問題在形式上都具有規范不變性。采用升降算符表示，量子霍爾效應的哈密頓量可以變換成與朗道能級問題的哈密頓量嚴格相同的形式，故而可以根據后者的完備態矢集開展進一步的討論，這極大地簡化了量子霍爾效應相關問題的計算。我們的理論具有普適的意義，有助于解析地求解諸多量子力學基本問題。

參考文獻

[1] Landau L. Zeitschrift für Physik，1930，64 (9-10)：629

[2] Girvin S M. The Quantum Hall Effect：Novel Excitations and Broken Symmetries. 1999，arXiv：cond-mat/9907002

[3] Basu S.，Quantum Hall effect. Cambridge University Press，2024.簡并問題

[4] Ciftja O. European Journal of Physics，2020，41(3)：035404. 對稱規范

[5] 汪克林，曹則賢. 物理，2025，54(5)：344

[6] 汪克林，曹則賢. 物理，2026，55(3)：198

[7] Bogoliubov N N. Il Nuovo Cimento，1958，7 (6)：794

（參考文獻可上下滑動查看）

衷心感謝大家參與周末讀書活動！恭喜ly，羅浩，Hardy，起舞弄清影，李寧共5位讀者獲贈《楊振寧：百年科學之路》一本。請盡快把快遞信息在后臺告訴我們，以便您收到贈書哦。

歡迎訂閱2026年《物理》雜志

《物理》是由中國科學院物理研究所和中國物理學會主辦的權威物理類中文科普期刊，注重學科性與科普性相結合，秉承“輕松閱讀，享受物理”的辦刊理念，集學科大家之力，追蹤物理學成果，服務物理學領域，促進學科交叉，讓科學變得通俗易懂。已成為我國眾多物理專業的大學生、研究生、物理學家案頭常讀的刊物之一。

(期刊訂閱)

訂閱方式：編輯部直接訂閱優惠價240元/年，全國包郵。

方式1微信訂閱

在“物理所財務處”微信公眾號繳費，操作如下：公號下方“業務辦理”-“訂刊費”-收費部門“《物理》編輯部”，之后填寫相應信息。如有問題，可添加編輯微信咨詢：18627635857。

(注：僅針對需要對公開電子發票的讀者，且務必提供正確的單位名稱和單位稅號)

方式2銀行匯款

開戶行：中國農業銀行北京科院南路支行

戶 名：中國科學院物理研究所

帳 號：11250101040005699

（注：請注明“《物理》編輯部”，匯款成功后請及時聯系編輯部登記郵寄地址）

編輯部聯系方式：

咨詢電話：010-82649277；82649029

Email：physics@iphy.ac.cn

(贈閱活 動 ）

為答謝廣大讀者長期以來的關愛和支持，《物理》編輯部特推出優惠訂閱活動：凡直接向編輯部連續訂閱2年《物理》雜志，將獲贈《歲月有情- <物理> 50周年紀念本》。內有自1972年至2022年《物理》發表的50篇精選文章信息，掃描對應的二維碼，可重溫經典之作，感悟物理科學的真諦，領略學科大家的風采。希望讀者們愛上《物理》!