盧瓦爾河，被譽(yù)為"法蘭西的母親河"。盧瓦爾河谷是拉伯雷、笛卡爾、巴爾扎克、喬治·桑、普魯斯特、香奈兒出生或成長(zhǎng)的地方，也是達(dá)·芬奇晚年定居、謝世之地。17 世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家馬林?梅森牧師也生成斯長(zhǎng)于斯，他的名字與數(shù)學(xué)史和計(jì)算機(jī)發(fā)展史上最迷人的謎題之一 —— 梅森素?cái)?shù)永遠(yuǎn)聯(lián)系在了一起。

蔡天新教授的新作《梅森素?cái)?shù)》，用通俗易懂的語言講述了梅森素?cái)?shù)的傳奇故事和研究現(xiàn)狀，這一傳奇跨越2500年，涉及亞歐非美4大洲。到2024年為止，人們共找到52個(gè)梅森素?cái)?shù)，其中有不少由業(yè)余愛好者找到，有的因此領(lǐng)走了10萬美元的獎(jiǎng)金。考慮到部分讀者的好奇心，書后還有10多條附錄，包括52個(gè)梅森素?cái)?shù)的發(fā)現(xiàn)者和發(fā)現(xiàn)時(shí)間。為了寫作本書，蔡教授還探訪了盧瓦爾河畔的小鎮(zhèn)與城堡。數(shù)學(xué)的理性之美，與人文的感性之光，在這本書里相互交融。

下文經(jīng)授權(quán)摘自蔡天新著《梅森素?cái)?shù)》“引子”與“第一章”，有刪節(jié)。

撰文 | 蔡天新

一張10萬美元的支票

道生一，一生二，二生三，三生萬物。

——（東周）老子

2000年的一個(gè)春日，居住在美國汽車城底特律的印度人哈吉拉特瓦拉（Nayan Hajratwala）先生收到了總部設(shè)在舊金山的電子前沿基金會(huì)（EFF）一張5萬美元的獎(jiǎng)金支票，因?yàn)橐荒昵暗?月，他找到了第38個(gè)梅森素?cái)?shù)，這也是到那時(shí)為止人類發(fā)現(xiàn)的最大素?cái)?shù)。眾所周知，素?cái)?shù)或質(zhì)數(shù)是大于1且不能乘法分解的正整數(shù)。例如，最小的4個(gè)素?cái)?shù)是2、3、5、7，它們也是10以內(nèi)所有的素?cái)?shù)。

那個(gè)價(jià)值5萬美元的素?cái)?shù)是：

2^6972593?1

這也是人類知道的第一個(gè)位數(shù)超過100萬的素?cái)?shù)，如果把這個(gè)素?cái)?shù)寫成我們熟悉的十進(jìn)制形式的話，它有2098960位。

可是，哈吉拉特瓦拉先生并不是一個(gè)數(shù)學(xué)家，他甚至很可能對(duì)尋找素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)理論一無所知——雖然他贏得了這筆獎(jiǎng)金。他是總部設(shè)在倫敦的普華永道會(huì)計(jì)事務(wù)所（Price Waterhouse Coopers）的從業(yè)人員，這家會(huì)計(jì)師事務(wù)所擁有近15萬名員工，遍布150多個(gè)國家和地區(qū)。哈吉拉特瓦拉先生所做的一切，就是從互聯(lián)網(wǎng)上下載一個(gè)程序。這個(gè)程序在他平常不太使用的奔騰II 350型計(jì)算機(jī)上悄悄地運(yùn)行，經(jīng)過111天的計(jì)算后，前面所說的梅森素?cái)?shù)在1999年6月的某一天出現(xiàn)了。

九年零兩個(gè)月以后，即2008年8月，加利福尼亞大學(xué)洛杉磯分校的計(jì)算機(jī)專家史密斯（Edson Smith）找到了第47個(gè)梅森素?cái)?shù)，有12978189位。這是人類發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)超過1000萬位的素?cái)?shù)，當(dāng)然也是當(dāng)時(shí)已知最大的素?cái)?shù)，他因此獲得了EFF寄來的一張10萬美元的獎(jiǎng)金支票，同時(shí)他的發(fā)現(xiàn)還被紐約的《時(shí)代》周刊推選為年度50項(xiàng)科學(xué)發(fā)明之一。

早在公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得便在其名著《幾何原本》第9卷中的命題20證明了，素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。筆者愿意相信，梅森素?cái)?shù)也會(huì)有無窮多個(gè)。反正下一張支票，即獎(jiǎng)金額度為15萬美元的支票，仍在等待下一位主人，會(huì)開給第一個(gè)找到超過一億位的梅森素?cái)?shù)的幸運(yùn)兒。2024年10月11日，英偉達(dá)公司的一名前員工找到了第52個(gè)梅森素?cái)?shù)，有41024320位，這也是迄今人類發(fā)現(xiàn)的最大素?cái)?shù)，可是離一億位的獎(jiǎng)勵(lì)要求仍有距離（或許只是一步或兩步之遙）。

值得一提的是，此前一年，第50個(gè)梅森素?cái)?shù)由美國田納西州聯(lián)邦快遞公司（FedEx）的電氣工程師佩斯找到，有23249425位。可能是因?yàn)?0這個(gè)整數(shù)的緣故，日本一家叫虹色的小出版社在不到一個(gè)月的時(shí)間里出版了一本名叫《2017年最大的素?cái)?shù)》的書，全書共720頁，沒有任何文字，只有一個(gè)數(shù)字，那就是第50個(gè)梅森素?cái)?shù)。此書出版后第4天，首印的1500冊(cè)圖書便銷售一空了。

《2017年最大的素?cái)?shù)》

那么，何為梅森素?cái)?shù)？誰又是梅森先生呢？

梅森神父的沙龍

盧瓦爾河谷是孕育法蘭西精神的地方。

——（法國）夏爾·戴高樂

01

美麗的盧瓦爾河谷

1588年9月8日，一個(gè)秋高氣爽的日子，在巴黎西南盧瓦爾河大區(qū)的薩爾特（Sarthe）省，一個(gè)男孩降生了，他便是后來的天主教神父馬林·梅森（Marin Mersenne），一個(gè)神奇的數(shù)學(xué)家兼物理學(xué)家。梅森的祖輩都是農(nóng)民，小時(shí)候他在故鄉(xiāng)的教會(huì)學(xué)校念書，加入了當(dāng)?shù)氐慕虝?huì)組織。盧瓦爾河是法國的第一大河和母親河，她最美的一段是中游280公里長(zhǎng)的河谷。兩岸有許多精致的小山丘，古老的城堡掩映在綠樹叢中。薩爾特省因同名的盧瓦爾河支流得名，此河流經(jīng)的省會(huì)勒芒與巴黎的直線距離大約200公里。

梅森像

盧瓦爾河谷盛產(chǎn)梨和蘋果等新鮮蔬果，每到秋天，這里漫山遍野都是紫色的石楠花，花叢中長(zhǎng)滿了野生的蘑菇。還有遐邇聞名的白詩南葡萄酒，既可釀成干型，也可釀成甜型。巴黎人喜歡來這里秋游、打獵或捉野鴨。有一個(gè)說法，要完整地領(lǐng)略法蘭西風(fēng)情，需要去兩個(gè)地方，一是巴黎，二是盧瓦爾河谷。多元文化匯聚的巴黎代表了法蘭西浪漫而前衛(wèi)的一面，而盧瓦爾河谷則是法蘭西古樸優(yōu)雅的后花園。巴黎的美，美在各種文化的撞擊和矛盾；而盧瓦爾河谷的美，則美在她的自然、恬靜和純粹。

盧瓦爾河畔的蒙梭羅城堡

在薩爾特河匯入之前，盧瓦爾河流經(jīng)了中央大區(qū)的安德爾-盧瓦爾省，安德爾河是盧瓦爾河另一條更大的支流，省名Indre-et-Loire就是把兩條河流的名字連在一起的，而且是按照字母順序排列的，et的意思是“和”，相當(dāng)于英文里的and，而它東北面的省份Loir-et-Cher (盧瓦-謝爾) 卻沒有按字母順序排列，雖說也由兩條河流的名字組成。必須指出的是，安德爾-盧瓦爾省是數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾（Rene Descartes, 1596-1650）的故鄉(xiāng)，他出生的小鎮(zhèn)圖賴訥在該省南部邊緣，如今已改名笛卡爾鎮(zhèn)。

笛卡爾比梅森小八歲，但曾在同一所學(xué)校學(xué)習(xí)，即拉弗萊什的皇家大亨利學(xué)校，又譯拉弗萊什公學(xué)。拉弗萊什是薩爾特省副省會(huì)和第二大城市，盧瓦爾河另一條支流盧瓦河（Loir）流經(jīng)此城。笛卡爾出身貴族，母親早逝，父親另娶妻子，他小時(shí)候由外祖父母帶大，八歲時(shí)父親送他進(jìn)了這所由國王亨利四世創(chuàng)建的貴族學(xué)校。開明的校長(zhǎng)見他身體虛弱，卻又聰明，便允許他早晨睡懶覺，在床上看書而不必到教室早自修。

亨利四世中學(xué)——巴黎最好的兩所中學(xué)之一 | 圖源：作者攝

1610年5月14日，當(dāng)亨利四世的馬車駛過巴黎的一條街道時(shí)，一個(gè)激進(jìn)的天主教徒?jīng)_進(jìn)馬車，用匕首刺傷了國王，他于次日去世。按照國王的生前意愿，他的心臟被取出，安葬在皇家大亨利學(xué)校，校方挑選了24位成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生參與護(hù)送，14歲的笛卡爾也在其中。笛卡爾在這所學(xué)校學(xué)習(xí)了八年，除了人文學(xué)科，還學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)、數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)，他后來建立了平面坐標(biāo)系和解析幾何，同時(shí)創(chuàng)立了二元論哲學(xué)，成為“近代哲學(xué)之父”（德國哲學(xué)家黑格爾語）。

02

梅森神父的沙龍

生于養(yǎng)于盧瓦爾河流域，梅森自小聰穎好學(xué)，并虔誠地參加教會(huì)組織的活動(dòng)，后來被送到拉弗萊什的皇家大亨利學(xué)校研修，在那里他與笛卡爾有一段共同的時(shí)光。1611年，23歲的梅森又被推選去巴黎，學(xué)習(xí)神學(xué)和希伯來語。兩年以后，他正式成為神父，并留在巴黎。在17世紀(jì)的歐洲，對(duì)普通人家的父母來說，神父、醫(yī)生和律師是最希望孩子從事的三大職業(yè)。梅森在米尼姆修道會(huì)的兩座女修道院授課，他強(qiáng)烈地反對(duì)煉金術(shù)和占星術(shù)，努力捍衛(wèi)科學(xué)。32歲那年，梅森開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和音樂，并以傳道的名義在西歐進(jìn)行廣泛持久的旅行，僅意大利就去了15次。

梅森的修道院復(fù)原圖，梅森沙龍?jiān)谄渲?/p>

梅森與同代最杰出的同胞科學(xué)家德扎爾格、伽桑狄、笛卡爾、費(fèi)爾馬、帕斯卡爾等人交往，并與意大利的伽利略、托里拆利，荷蘭的惠更斯等通信，成為伽利略學(xué)說堅(jiān)定的支持者。由于當(dāng)時(shí)沒有科學(xué)雜志，人們可能畢生研究同一個(gè)問題，而相互之間并不知道。梅森通過旅行和通信，把消息及時(shí)傳遞給同道。有一個(gè)流傳甚廣的說法，“告訴梅森一個(gè)新發(fā)現(xiàn)，意味著全歐洲的人都知道了。”不僅如此，梅森本人也對(duì)某些問題進(jìn)行研究或給出建議。例如，他曾研究過擺線，并建議荷蘭人惠更斯利用擺線作為計(jì)時(shí)器，后者因此研制出擺鐘。

梅森享有“聲學(xué)之父”的美譽(yù)，并在音樂理論方面有創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)。梅森定律描述了弦振動(dòng)的諧波，適用于吉他和鋼琴。1635年，他建立了非正式的巴黎科學(xué)協(xié)會(huì)，有140位通訊會(huì)員，包括數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和哲學(xué)家等，他們來自法國、意大利、荷蘭和英格蘭等國家。梅森與會(huì)員們保持著聯(lián)系，他在巴黎的家是個(gè)大房子，定期在家中舉辦沙龍，帕斯卡爾父子是其中的常客。梅森出版的著作有《科學(xué)中的真理》和《宇宙的和諧》等。

左圖：18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家歐拉，他找到了第8個(gè)梅森素?cái)?shù)。（圖源：作者攝）；右圖：找到第25個(gè)和第26個(gè)梅森素?cái)?shù)的高中生諾爾。

插曲

布萊士·帕斯卡爾（Blaise Pascal,1623-1662）比梅森小34歲，兩人可謂是忘年交，他的父親老帕斯卡爾與梅森同齡，是個(gè)稅務(wù)官員。小帕斯卡爾出生在法國中部的多姆山省，四歲那年母親去世，由父親和兩個(gè)姐姐對(duì)他進(jìn)行教育。在他們精心培養(yǎng)下，帕斯卡爾自小就喜歡幾何學(xué)，他曾獨(dú)立地得到歐幾里得幾何的前32條定理。發(fā)現(xiàn)了兒子的數(shù)學(xué)天賦以后，父親決定把家搬到巴黎，為了培養(yǎng)兒子，他后來未再續(xù)弦。

12歲那年，帕斯卡爾發(fā)現(xiàn)”三角形的內(nèi)角和等于180度”。隨后，他父親滿心喜歡地帶他參加梅森沙龍的學(xué)術(shù)活動(dòng)，讓他大開眼界，并結(jié)交了許多科學(xué)家。

在德扎爾格的影響下，18歲的帕斯卡爾寫成《論圓錐曲線》。這本小冊(cè)子的大部分已經(jīng)散失，但是一個(gè)重要結(jié)論被保留下來，那就是帕斯卡爾定理：圓錐曲線的內(nèi)接六邊形其三對(duì)邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)共線。圓錐曲線指橢圓（包含圓）、雙曲線和拋物線，據(jù)說笛卡爾看過后對(duì)此書大為贊賞，但是不敢相信它出自一個(gè)少年之手。

帕斯卡爾是純粹的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，同時(shí)也是卓有成就的思想家和作家，他短促的生命甚至為人類的日常生活也做出了有益的貢獻(xiàn)。

帕斯卡爾定律是流體力學(xué)中的一條重要定律，天氣預(yù)報(bào)時(shí)的氣壓?jiǎn)挝唤信粱蚯粒ｋU(xiǎn)業(yè)的第一個(gè)數(shù)學(xué)公式也是由帕斯卡爾給出的。在帕斯卡爾生命的最后一年，他親自為巴黎市民設(shè)計(jì)了第一輛公共馬車，隨后，他又建議市政府成立出租馬車服務(wù)公司來管理這一新的交通工具，這是今天全世界每座城市的公交汽車服務(wù)公司和出租車服務(wù)公司的前身。

德扎爾格（Girard Desargues, 1591-1661）出生在法國第三大城市里昂的一個(gè)神職人員家庭，比梅森小三歲。他年輕的時(shí)候做過陸軍軍官，后來鉆研工程技術(shù)，成了一名工程師和建筑師。他曾建議巴黎市政府利用機(jī)械裝置提升塞納河的水位以供應(yīng)城內(nèi)居民，后來他擔(dān)任黎塞留樞機(jī)主教和首相的科技顧問。

1628年，他作為軍事工程師參加了包圍濱海城市拉羅舍爾的戰(zhàn)斗，在那里見到笛卡爾，兩人成為朋友。此時(shí)正值歐洲的30年戰(zhàn)爭(zhēng)，之前笛卡爾已有10年時(shí)間在漫游和軍旅生涯中度過，但他只是文官而不實(shí)際參戰(zhàn)。

1630年，德扎爾格在巴黎加入了梅森的科學(xué)協(xié)會(huì)和沙龍，對(duì)年輕的帕斯卡爾有著重要的影響。德扎爾格提出了“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”的概念，把直線看作具有無窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作割線的極限，這些概念都是射影幾何學(xué)的基礎(chǔ)。

憑借這些概念的引入，他回答了兩個(gè)世紀(jì)前全才的意大利雕刻家阿爾貝蒂就透視原理提出的一個(gè)問題——同一描摹對(duì)象在相互平行的兩塊玻璃屏板上的投影之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。而德扎爾格定理是這樣說的：假如平面或空間的兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)，那么它們的（三組）對(duì)應(yīng)邊（延長(zhǎng)線）的交點(diǎn)共線。

德扎爾格定理是射影幾何學(xué)的基本定理，射影幾何學(xué)是研究圖形的射影性質(zhì)，即它們經(jīng)過射影變換后依然保持不變的圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支，又稱投影幾何學(xué)。

在梅森的科學(xué)協(xié)會(huì)中，也有來自巴黎以外的同胞，最著名的便是南方圖盧茲城里的費(fèi)爾馬（Pierre de Fermat，1601-1665），他是個(gè)地方法官。因?yàn)楫?dāng)年的法國政府有要求，法官要盡量避免參加社交活動(dòng)，以免判案時(shí)遇到熟人有偏頗，于是費(fèi)爾馬就把無數(shù)個(gè)夜晚奉獻(xiàn)給了數(shù)學(xué)研究。經(jīng)過梅森的介紹，費(fèi)爾馬與帕斯卡爾通信，有一陣子他們討論了賭博中獲勝的概率問題，他們的通信奠定了概率論這門學(xué)科的基礎(chǔ)。

梅森的科學(xué)協(xié)會(huì)和沙龍是1666年由國王路易十四宣布成立的法蘭西科學(xué)院的雛形，據(jù)說那會(huì)兒法國有15個(gè)類似的科學(xué)技術(shù)協(xié)會(huì)，梅森的協(xié)會(huì)和沙龍之所以能夠勝出，應(yīng)該得益于他吸引的同仁水平之高。遺憾的是，法蘭西科學(xué)院成立時(shí)梅森已不在人世了，其他人成為該科學(xué)院的創(chuàng)始院士。1648年9月1日，梅森死于肺膿瘡引發(fā)的并發(fā)癥，享年60歲。有的歷史學(xué)家認(rèn)為，那天他與老同學(xué)笛卡爾在一起時(shí)，因?yàn)樘鞖馓珶犸嬘昧诉^量的淡水。正如達(dá)·芬奇死于弗朗索瓦一世懷中，梅森是死在好友伽桑狄懷中。這位伽桑狄與笛卡爾一樣，也是一位數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家，我們將在第12節(jié)詳細(xì)介紹。

03

梅森素?cái)?shù)的奧秘

值得一提的是，萊吉烏斯在拉丁語里的意思是皇家，萊吉烏斯教授（Regius Professor）在牛津、劍橋、圣安德魯斯、格拉斯哥、阿伯丁、愛丁堡和都柏林大學(xué)均屬于皇家教授頭銜。例如，牛頓的老師巴羅（Isaac Barrow, 1630-1677）30歲那年被劍橋大學(xué)任命為 Regius Professorship of Greek，但教了兩年他就不教了，因?yàn)閬硇尴ＥD語的學(xué)生太少了。

于是，巴羅便改教數(shù)學(xué)，又被學(xué)校任命為新設(shè)立的盧卡斯講席教授，結(jié)果就教出了牛頓。等到牛頓26歲，其成就超過了巴羅，38歲的巴羅便主動(dòng)讓賢了，牛頓出任第二任盧卡斯講席教授。如今，盧卡斯教授已成為劍橋乃至英國最具聲望的教授職位。“一個(gè)愛書的人，他必定不至于缺少一個(gè)忠實(shí)的朋友、一個(gè)良好的導(dǎo)師、一個(gè)可愛的伴侶和一個(gè)溫情的安慰者。”巴羅的這句名言流傳至今。

為牛頓讓賢的巴羅

通常來說，已知最大的梅森素?cái)?shù)也是已知最大的素?cái)?shù)（反例在本書中偶有出現(xiàn)），因此梅森素?cái)?shù)的尋找顯得特別有意義。尤其是在過去近半個(gè)世紀(jì)里，因?yàn)榇笏財(cái)?shù)可以用來構(gòu)造密碼學(xué)中的公開密鑰系統(tǒng)。可是，我們既無法判定是否存在無窮多個(gè)梅森素?cái)?shù)，也無法判定是否有無窮多個(gè)梅森合數(shù)，雖說兩者之中至少有一個(gè)成立。但是，如果存在無窮多個(gè)4m+3型索菲·熱爾曼素?cái)?shù)，則必定有無窮多個(gè)梅森合數(shù)。

索菲·熱爾曼素?cái)?shù)是指這樣的素?cái)?shù)p，2p+1也是素?cái)?shù)。例如2、3、5、11、23是索菲·熱爾曼素?cái)?shù)，而7、13、17、19、27不是索菲·熱爾曼素?cái)?shù)。它得名于法國女?dāng)?shù)學(xué)家和物理學(xué)家索菲·熱爾曼（Sophie German,1776-1831）。上述有條件下無窮多個(gè)梅森合數(shù)的存在性證明并不高深，只需用到初等數(shù)論中二次剩余的性質(zhì)。另一方面，我們可以利用梅森素?cái)?shù)的性質(zhì)證明素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，這個(gè)證明需要用到抽象代數(shù)里有關(guān)群論的知識(shí)（以上兩個(gè)證明參見附錄1和附錄2）。

熱爾曼出生于巴黎的一個(gè)殷富人家，父親有很多藏書，有不少是科學(xué)方面的書籍，她從小就讀到阿基米德的故事、牛頓和歐拉的著作，對(duì)數(shù)學(xué)和物理學(xué)尤感興趣。但在她生活的年代，女性是遠(yuǎn)離大學(xué)和學(xué)術(shù)的，于是她只好化名男子與同胞數(shù)學(xué)家拉格朗日、勒讓德以及德國數(shù)學(xué)家高斯等通信，她在費(fèi)爾馬大定理的研究中做出了突出貢獻(xiàn)。后來高斯建議哥廷根大學(xué)授予她榮譽(yù)博士學(xué)位，可惜未及授予她便患乳腺癌去世了。

2016年，法國發(fā)行紀(jì)念熱爾曼的郵票

1889年，為紀(jì)念法國大革命100周年，埃菲爾鐵塔在巴黎建成，鐵塔四周刻有72位法國科學(xué)家和工程師的姓氏，其中數(shù)學(xué)家有16位，按照索菲·熱爾曼的貢獻(xiàn)，她本有機(jī)會(huì)位列其中，但可能因?yàn)樾詣e的緣故，她沒有被選中。另一個(gè)遺憾是，群論的創(chuàng)立者伽羅瓦（évariste Galois，1811-1832）也沒有被選中，他在20歲那年死于情人決斗。伽羅瓦利用自己的發(fā)明徹底解決了根式求解代數(shù)方程問題，由此發(fā)展出來的一整套有關(guān)群和域的理論被稱為伽羅瓦理論。

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