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在2026年官方阿貝爾獎講座中，獲獎者格爾德·法爾廷斯在他的講座《從阿貝爾到莫德爾》中探討了算術幾何中的深層聯系。

格爾德·法爾廷斯在證明傳奇的莫德爾猜想（現為法爾廷斯定理）時徹底革新了現代數學和數論——這一突破最初使他于1986年獲得了菲爾茲獎。在這場講座中，他追溯了從尼爾斯·亨里克·阿貝爾19世紀開創性的數學研究，一直到定義現代算術的幾何洞見。

圖源：Ilja. C. Hendel（阿貝爾獎工作人員）

作者：格爾德·法爾廷斯（Gerd Faltings）

2026阿貝爾獎講座（Abel laureate lecture）2026-5-27

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-6-8

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好的，主辦方囑咐我這場講座要講得淺顯通俗，我自己講課向來也力求通俗易懂，不過不少人看法不同，因此我先從引言講起。

丟番圖幾何擁有悠久的歷史。溯源最早可以到古埃及：當時人們需要劃定直角、完成土地丈量，古人發現邊長 3、4、5 的三角形恰好是直角三角形，這便是丟番圖幾何早期的現實應用。

下面我們來介紹代數簇，它由代數方程組定義，方程里不含正弦、余弦這類超越函數，只出現多項式，示意圖如下。

按照一般理論，有所謂的仿射代數簇，依托交換環構造。取若干多項式f?，先構造多項式環，再模去由這些多項式生成的理想；那么該代數簇在任意環上的點，都一一對應從這個商環指向目標環的環同態。

舉個最簡例子：單位圓。平常我們大多討論圓上的實坐標點，復坐標點需要兩倍空間維數，而我的演示僅限制在二維、三維范圍內，高維幾何很難直觀作圖。圓的方程x2+y2=1，正是中小學所學的單位圓，屬于虧格 0 代數曲線。虧格 0 曲線的有理點規律很清晰：要么不存在任何有理點，要么全體有理點可以用單個參數整體參數化。

現場有黑板和粉筆對吧？我在黑板畫圓，標注(-1,0)與(1,0)兩個有理定點。參數化思路是：任取一條直線和圓相交，二次方程一般對應兩個交點，解形如a±√b。如果其中一個交點坐標是有理數，那么另一個交點坐標必然也是有理數。固定圓上一個有理點(-1,0)，取過該點、斜率為有理參數t的一族直線，直線與圓的第二個交點同樣是有理點。演算可得交點坐標：

x=(1-t2)/(1+t2)

y=2t/(1+t2)

當t取無窮大（退化情況）時，直線是圓的切線，切點算作二重交點。

當t=1/2時，得到坐標(3/5, 4/5)，正好構成邊長 3、4、5 的直角三角形，古埃及人正是借助這套原理，在尼羅河每年汛期過后重新丈量、劃分被洪水沖毀邊界的農田。

注：黑板畫的圖像只體現實數平面上的點，復數情形更為復雜：實平面是二維，復坐標對應的空間是四維復平面，很難直觀繪制（或許你可以把時間作為第一個維度，再加上三維空間）。同時仿射代數簇缺少無窮遠點，幾何信息不全：比如兩條平行直線在有限平面永不相交，卻會在無窮遠點處交匯，因此研究時常要擴充射影完備化、補上無窮遠點。

圓是虧格 0 曲線，虧格是拓撲不變量；接下來是虧格 1 曲線，也就是橢圓曲線。取名和橢圓本身無關，源于橢圓弧長計算公式是橢圓積分。橢圓曲線方程由三次多項式開根號得到，需要補充無窮遠點才能完備。

我們簡要梳理復點拓撲：把復平面添加一個無窮遠點，拓撲上就變成球面。對橢圓曲線，例如y2=x3-x（x的三次多項式），對每個x，y一般有兩個復數解，相當于球面之上疊兩層曲面；只有三次多項式的根點和無窮遠點處，兩個分支重合，也就是分歧點（ramification）。沿著球面任意一個分歧點畫小回路、連續變動根號取值，正負根號會發生互換。沿著兩個分歧點之間的連線剪開雙層球面，再把切口交錯粘合，最終得到環面（輪胎面），環面拓撲虧格恰好是 1，這就是橢圓曲線復點的拓撲模型。虧格越高，拓撲曲面的洞數越多。

關鍵性質：虧格 1 的橢圓曲線自帶群結構，曲線上任意兩點可以通過幾何法則做加法，構成代數群，這在阿貝爾所處的年代是前沿研究。普通初等積分能靠變量代換化簡，但橢圓積分無法用初等函數表出。阿貝爾與同期學者開創性地調轉思路：不去研究橢圓積分，轉而研究其反函數，由此發現雙周期函數，奠定橢圓曲線分析基礎。

莫德爾定理：定義在數域上的橢圓曲線，其數域有理點構成有限生成阿貝爾群。這一定理如今廣泛應用于密碼學。自然引出疑問：虧格≥2 的代數曲線，有理點會是什么情況？莫德爾提出猜想：虧格不小于 2 的代數曲線，在任意數域上僅有有限多個有理點，這就是著名的莫德爾猜想。

補充：虧格≥2 曲線本身不具備群結構，但依附它存在高維的雅可比簇，雅可比簇是阿貝爾簇，自帶群結構，由雅可比與阿貝爾同期創立。1928年安德烈?韋伊（André Weil）將莫德爾定理推廣：任意數域上，代數曲線對應的雅可比簇的有理點仍是有限生成阿貝爾群；證明的核心工具是高（高度函數 heights）。

有理分數p/q的高度H(p/q)可以用分子分母絕對值之和|p|+|q|定義，核心性質：高度有上界時，滿足條件的有理點只有有限個。

1920年代進展

韋伊定理給出雅可比簇有理點有限生成，學界原本設想依托該結論反推莫德爾猜想：有限生成的大群中，落在原曲線上的點只能是有限個，這條路徑長期有人嘗試，但直到 1990 年前后沃伊塔（Vojta）才借助丟番圖逼近完成證明。

丟番圖逼近的奠基者是三位數學家：圖厄（Thue 挪威，發明了方法）、西格爾（Sigel 德國，給出主要應用）、羅斯（Roth，國籍有點復雜，他完善了方法）。

我舉個方法實例：整系數四次不可約多項式方程F(x,y)=1僅有有限組整數解。原理：方程拆解成若干一次因式乘積，(x,y)是方程的有理解時，至多一個因式取值極小；因式大小受控于有理分數的高度的冪次，結合羅斯定理：代數數的有理逼近增長速度有下界，逼近誤差不低于高的-2次方。

聯立可推出|F(x,y)|會限制高度有界，進而解的個數有限。

羅斯在上世紀 50 年代完善這套理論，羅斯引理通過選取高度急劇遞增的有理逼近，構造高階零點輔助多項式導出矛盾，完成最終證明，早期圖厄、西格爾只用雙因式就能完成簡易論證。

1960年代關鍵進展

1962年沙法列維奇（Shafarevich）在斯德哥爾摩國際數學家大會上做報告，提出壞約化概念：整系數多項式模素數p后，若多項式出現重根，對應的素數p就是壞約化素因子，壞約化素數只有有限個。沙法列維奇猜想：固定虧格、固定一組壞約化素因子，對應的代數曲線在同構意義下只有有限多條。數學上著名的小平邦彥-帕爾申構造（Kodaira-Parshin construction）可以證明：沙法列維奇猜想能夠推出莫德爾猜想 —— 任取曲線上一個有理點，就能構造僅在該點分歧的覆疊曲線，曲線上有理點一一對應新構造的覆疊曲線。

同期，馬寧（Yuri Manin，給出Gauss-Manin聯絡）、格勞爾特（Grauert）率先在函數域上取得突破。函數域如?(x)，對應底域上的代數曲面；常數域擴張得到的平凡曲面會有無窮多截面（有理點），需要剔除這類 “同構平凡曲線”（isotrivial curves，等平凡曲線）。

1968年帕爾申（Parshin）證明：在處處好約化的函數域上，沙法列維奇猜想與莫德爾猜想成立。思路：曲線的有理截面由某個擬緊（quasicompact）代數簇參數化，再證明剛性定理，即該代數簇維數為 0；擬緊 + 零維，自然只有有限個點。

同期泰特（Tate）提出泰特猜想（泰特為阿貝爾獎得主），針對有限域上的阿貝爾簇：伽羅瓦群通過弗羅貝尼烏斯（Frobenius）自同態（endomorphisms）作用在泰特模（Tate module）上，若一個算子和伽羅瓦作用可交換，則該算子必然來自阿貝爾簇的自同態。證明思路：取阿貝爾簇的一列有限階子群，做商簇；若無窮多商簇互相同構，就能構造出自同態。阿貝爾簇的模空間在有限域上只有有限有理點，因此同構類數目有限。但問題是這對所謂的極化阿貝爾簇顯然成立，而很難去掉極化的條件。扎欣（Zarhin）借助高度函數：商簇的高度保持定值，由高度基本性質直接推出有限性，大幅簡化了原證明。

1970年代：阿拉凱洛夫理論誕生

阿拉凱洛夫（Arakelov）把帕爾申的函數域結果拓展到含壞約化的曲線，1974 年創立阿拉凱洛夫幾何。函數域中，代數曲線對應底域上的纖維化曲面；數域的底環是整數環?，缺少幾何意義上的無窮遠點，但素理想對應p進賦值（在p進賦值基礎上再定義p進范數）、實數賦值充當 “無窮遠點”。阿拉凱洛夫的核心思想：在算術對象上配備實度量，把分析工具融入代數數論，填補數域缺失的無窮遠點幾何。阿拉凱洛夫本計劃用這套工具證明莫德爾猜想，卻因健康中斷研究。

之后我有幸結識斯皮羅（Szpiro，我導師納斯托爾德Nastold的好友），他嘗試把帕爾申理論推廣到正特征曲線；正特征下弗羅貝尼烏斯自同構會生成無窮多點，會導致莫德爾猜想錯誤，因此需要借助小平邦彥-斯賓塞類（Kodaira-Spencer class）排除非常量或非等平凡曲線。
1980年代本人研究歷程

80年代初我赴巴黎跟隨斯皮羅學習阿拉凱洛夫理論，選定該方向深耕。第一步把帕爾申–阿拉凱洛夫方法推廣到函數域上的阿貝爾簇族：想要證明有限性，先要證明參數空間是有限型代數簇，再證剛性（維數歸零，無形變）。我完成了第一部分不變量有限性，初期卡在剛性證明。
阿貝爾簇模空間上的典范豐富線叢（ample line bundle）由萬有阿貝爾簇的最高階微分給出，由此可以自然定義高度函數。審稿人曾提議改用雙曲有界幾何替換我的論證，但對我來說太復雜，我堅持沿用微分與模空間思路。在奧伯沃爾法赫（Oberwolfach）數學研討班學習哈里斯-芒福德（Harris-Mumford）的工作后，我破除了對模空間構造繁瑣、難以實操的刻板印象。

回德國后我思考泰特猜想，利用阿貝爾簇的典范高度，做有限階子群商時，積分度量帶來兩種相反變化：商簇積分定義域縮小使積分值變小，微分生成元拉回使積分值變大；結合韋伊關于弗羅貝尼烏斯特征值為√p、泰特的微分與伽羅瓦表示關系，兩項變化恰好抵消，最終證明泰特猜想。

我在奧伯沃爾法赫談到了這件事，回來后發現還可以再走一步。借助雷諾（Reynolds）關于有限群概形同源的結論，進一步得到關鍵定理：同一個同源等價類里的阿貝爾簇只有有限個同構類；依托伽羅瓦表示的賦值估計，完成次數類有限性證明。如今不少新式莫德爾證明繞開高度，改用伽羅瓦表示工具。

之后沃伊塔跳出傳統代數幾何框架，借用羅斯型丟番圖逼近完成莫德爾猜想證明：莫德爾 - 韋伊定理指出有理點群有限生成，等同于有限維格；有理點按方向歸入有限個錐，芒福德早年結論表明同方向點高度極速增長，結合羅斯定理即可推出矛盾，排除無窮多解。我復核沃伊塔論文時，不僅驗證證明無誤，還把結論推廣到更廣情形，同時吃透了復雜的羅斯引理。

若我們采用p進周期域，便可繞開高度理論。這些推理促使勞倫斯（Lawrence）與文卡特什（Venkatesh）于2019年提出莫德爾定理的新證明。其中并未出現任何高度函數。相反，主要工具是可能的伽羅瓦表示的有限性（這是我的一項舊成果）。具體而言，他們定義了一種解析映射，將曲線映射到局部伽羅瓦表示的參數空間上，這一映射通過帕爾申-小平邦彥（Parshin-Kodaira）構造的變體實現。該映射具有扎里斯基（Zariski）稠密象。

此外，在參數空間中，整體伽羅瓦表示的限制位于一個適當的Zariski閉子空間中。另一項進展在于尋求有效方法以切實確定所有有理點的位置。這已導致了對有理點數目的有效限制，但對于其最大高度則尚無定論。帕辛已指出，原則上這種對數目的限制是可能的。另一方面，如果沙博蒂（Chabauty）方法適用（即Chabauty-Coleman方法），則它能提供有效結果。近期該方法得到了改進（升級為二次沙博蒂方法），如今適用范圍更廣，能夠處理更多情況，例如聲名狼藉的“詛咒曲線”（模曲線特例）。

Q&A 問答環節

主持人：非常感謝，我們的觀眾還有幾個問題要請教。

提問1：莫德爾猜想限定虧格≥2，這個虧格條件在證明里具體哪里起到關鍵作用？

答：關鍵在小平–帕爾申覆疊構造：我們要對單點構造僅在該點分歧的覆疊曲線，橢圓曲線（虧格 1）齊性，任意兩點之間存在自同構，無法用覆疊唯一標記單點；虧格≥2 曲線沒有齊性自同構，構造才成立。

提問2：像費馬曲線這樣完全沒有非平凡整數解的曲線，能不能從猜想層面做整體分類？

答：費馬曲線僅在有理數域討論、只有平凡解；莫德爾猜想面向任意數域，只保證解數目有限。精確約束解個數依賴雅可比簇的秩，解分為大高度點、小高度點：大高度點被沃伊塔的錐劃分約束為有限組，小高度點暫無統一辦法。最大難題是有效界，也就是定點高度上界，目前學界全無通用思路。

主持人：再次感謝法爾廷斯教授的精彩報告。

參考資料

https://www.youtube.com/watch?v=bRQYI0EkW2Q

https://math.ecnu.edu.cn/wsysx/tansl1.pdf 談勝利回憶錄2025.8.16

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