女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

蒙特城堡位于阿普利亞北部，由神圣羅馬帝國皇帝弗里德里希二世在其生命的最后十年建造1。城堡矗立在被稱為穆爾日（Murge）的平原上的一座圓錐形小山上，緩緩地向大海傾倒。其獨特的八邊形外形，每個角落都有八角形塔樓，被陰影清晰地勾勒出來。鮮明的城墻突出了其立體感。蒙特城堡的幾何關系無需創造或猜測。它們只是存在于這座建筑中，它需要數學分析來幫助將其作為建筑對象進行評估，就像歷史分析、年代分析、藝術史分析和建筑史分析一樣。

圖29.1蒙特城堡。

當然，我們必須忽略城堡的實際尺寸與明顯的設計目標之間的微小偏差。建筑師在這里建造了一些小的偏差，例如，為了突出建筑的東翼。這并沒有貶低基本概念，恰恰相反。這些偏差顯然是基于一個明確的總體規劃。

幾何分析和定義

蒙特城堡的二維布局可以被確定為一個具有 16 個元素的對稱群：8 個反射平面和 8 個旋轉平面。這是一個自同構群。這些對稱關系在所有游覽塔中都有體現（圖 29.2）。對稱的多重性通過同構關系（即主樓的大八角形、內庭院的八角形和置于同一軸線系統中的八個八角形塔樓之間的 "相似性"）得到了擴展。

圖29.2蒙特城堡的對稱群。

三個八邊形彼此“相似”的尺寸比由4/h (I):2h(II):2(2√2-1)h(III)給出，其中h是基本網格的網格尺寸(圖29.3)。三個八角形的邊長比為2a:a:c(√2-1)，其中a為庭院八角形的邊長。這里涉及的對稱群是D16型平面群，用J. M. Montesinos-Amilibia (1987)的符號表示。

圖29.3基本網格。

簡單的反射對稱在自然界中經常出現，長期以來在建筑中發揮著重要的美學功能。還有其他一些數學關系同樣具有很強的美學效果，它們也出現在自然界中--例如，與五邊形有關的 "黃金比例"。蒙特城堡的建筑師清楚地意識到對稱在美學上的重要性。他利用這些對稱性實現了城堡令人印象深刻的外觀，至今仍影響著我們。

平面航拍照片（圖 29.4）顯示，構成內院的八角形的切線在八角形角樓的中心相交：它們形成一個八角星，星尖位于角樓的中心。這就提供了內院和角樓之間的幾何關系，這種關系是通過上文討論的相似性關系建立起來的。

圖 29.4 蒙特城堡鳥瞰圖及幾何圖形。

《蒙特城堡》（Gotze，1984 年）一書中首次討論了這一關系，并給出了該布局的幾何結構（圖 29.5、29.6 和 29.7）。馬克斯·科赫首先想到了幾何平面中的多重對稱所帶來的強烈美學效果，并將其定義為一種具有自身內在美的幾何構型（科赫，1991 年：221-233）。他將其描述為由正多邊形概括而成的八面體構型，并根據以下原則進行構建：

1. 該配置包括一個中心八邊形 O 的中心點和頂點，以及中心八邊形的八個較小的平移副本 OV 的中心點和頂點，所有副本的大小相等。

2. OV 的中心 MV 位于通過 O 的中心 M 和 O 的頂點的射線上。

3. 所有 MV 與 M 的距離相同。

4. 盡可能多的 O 和 OV 的頂點和中心是共線的；也就是說，它們位于共同的直線上。最后一個條件對美學構造至關重要。科赫隨后討論了許多不同的可能共線排列。

圖29.5蒙特城堡幾何構造中的第一步。

圖29.6蒙特城堡幾何構造中的第二步。

圖29.7蒙特城堡幾何構造中的第三步。

在圖 29.8 中，標出了兩個這樣的 "交點"（即基本八邊形結構中位于一條直線上的點）：連接八邊形中心 MaMv 的直線（或相當于通過 c 和 b 的直線），以及兩個外部八邊形的切線。

圖29.8兩個共線排列。

除了圖 29.5、圖 29.6 和圖 29.7 所示的布局（需要羅盤和直尺）之外，漢諾威工業大學的馬塞爾-埃爾內（Marcel Erne′）提出了另一種不需要羅盤的布局（圖 29.9）。

圖29.9布局的替代結構。

在畫出一個直角后（如第一種構造），我們將一個大正方形分成邊長為 h 的 16 個子正方形（如上圖 29.3）。h 可以看作是一個模量，其大小可以根據城堡的測量結果計算出來。下一步是創建第二個同樣大的正方形，并將其旋轉 45°，使新正方形的頂點位于原正方形主軸的延長線上。這就是通過旋轉正方形來構建八邊形的經典方法。第二種構造的優點之一是可以輕松計算所有線段的長度。

關系

構成城堡外側內墻的八邊形邊長由相交網格決定，是構成內部庭院的八邊形邊長的兩倍。八個外塔的寬度等于一個庭院邊長 a。

我們也可以使用網格尺寸 h 作為基本單位來代替 a。可以通過測量塔樓的寬度或內部庭院的邊長，從實際建筑中找到 a 的數量。雖然 h 作為構建矩形網格的基本單位非常重要，但如何測量 h 卻不是很清楚。網格在布局的發展過程中起著至關重要的作用，估計在將圖紙轉化為建筑的實際建造過程中也起著關鍵作用。對于這種復雜的幾何構型，如果不在施工現場進行全尺寸標注，是不可能建造出來的。顯然，這也不可能是"手工"完成的，而必須使用現成的機械測量工具。以 h 為基本單位，我們可以得出以下結果（參見圖 29.3）：

1. 院墻外側與外墻內側之間的距離為 h。

2. 從一面墻的中心到另一面墻的中心，內部庭院的直徑是 2h。

3. 塔樓中心之間的距離也是 2h。

4. 塔樓的邊長為 b=a^2×h/2 ，外墻的厚度為 c=a^2/((2√2)h) 。

5. 城堡的總寬度為 (4√2)h。這個數學公式與幾何構造相對應。

值得注意的是√2的出現，盡管這并不奇怪，因為我們正在處理正方形和八邊形的構造。

俄羅斯建筑歷史學家 M.S. Bulatov 指出，伊斯蘭建筑的特點是高度對稱和重復使用 √2（Bulatov，1988 年：98-104）。Bulatov 的解釋基于他自己對中亞建筑的仔細研究和調查，以及阿拉伯學者的著作。

如前所述，建筑工地上平面圖的實際標注很可能是從確定外八邊形的兩個網格方格開始的。這在技術上是可行的，因為網格尺寸是所有其他測量的基礎。外八角形對角墻之間的距離為 36 米，約等于 120 羅馬英尺，這也說明了初始方格以及外八角形的重要作用。

蒙特城堡是由西多會石匠建造的。弗里德里希二世對這個在中世紀中葉的建筑中發揮了重要作用的修會有著深厚的感情。為了便于比較，請注意德國萊茵高地區埃伯巴赫修道院教堂的中殿也是由熙篤會建造的，其長度約為 71 米，即大約 240 羅馬英尺，正好是蒙特城堡相對墻壁內側距離的兩倍。此外，維特魯威的法努姆大教堂的中央房間長 120 羅馬英尺，寬 60 羅馬英尺。

在所有三座建筑中，長度都是 60 羅馬英尺的倍數，因此與十六進制系統中的數字相對應，十六進制系統自巴比倫天文學家時代起就已為人所知，在歐洲一直沿用到雷吉蒙塔努斯（Regiomontanus）的表格出現（1436-1476 年）。有鑒于此，將外八邊形的十六進制系統視為構建布局的實際出發點似乎非常合理。這讓我們不禁要問，在這一歷史時期，設計歐洲建筑的這一非常獨特的想法可能源自何處。在同一時期建造的其他城堡（例如，德國中部的瓦特堡、萊茵河畔的馬克斯堡和蒙特勒附近的希永城堡，這里僅列舉三個不同地區的任意例子）的布局都與蒙特城堡的幾何構型相去甚遠。英格蘭南部的古堡和法國北部的唐戎是另外兩個缺乏這種幾何結構的例子。

建筑的實用性、肋拱的技術和柱頭的設計都是熙篤會石匠工作的一部分，他們致力于中歐的哥特式風格。這對蒙特城堡本身的設計一無所知。即使是同時代的建筑師維拉德-德-霍內庫爾（Villard d'Honnecourt）的著作中也沒有任何類似的內容。沒有關于城堡設計歷史的書面記錄，我們也不知道建筑師是誰。但我們不必僅僅依靠猜測就能了解這座非凡建筑的創作過程，因為它的幾何構造和內在美感都非常明確。

在尋找相關建筑時，我們在十三世紀末繪制的航海圖 Carta Pisana 中發現了一個有趣的八角形羅盤，它與蒙特城堡的布局形狀完全吻合（圖 29.10）。

圖 29.10 蒙特城堡的幾何結構疊加在比薩那之歌的復制品上（法國國家圖書館，Dep. des Cartes et Plans, Res. Ge. B1118）。

地中海航海圖主要源于阿拉伯語（包括阿拉伯語的科爾多瓦哈里發）。另外兩個例子包括制作于 14 世紀上半葉的地中海西部馬格里布航海圖（圖29.11），以及一幅不包含任何基本地理信息的兩朵對稱風玫瑰圖（圖29.12）。

圖 29.11 馬格里布航海圖復制品上疊加的蒙特城堡幾何結構。

另一方面，圖29.12中的兩幅風玫瑰圖都清楚地顯示了底層方格網和交叉方格網的延伸網格線，這些網格線的交點決定了八芒星的頂點。

圖 29.12 蒙特城堡的幾何結構疊加在兩朵風玫瑰的復制品上。

Fuat Sezgin 仔細研究了航海圖（Sezgin，2000 年）。他引用歷史學家 Ibn Fadlallah al-'Umari（卒于 1349 年）的話說，航海圖總是包括風玫瑰圖。此外，作為為科爾多瓦航海家 Abu Mahammad 'Abdalla B. Abi Nu' Aim al-Ansari al-Qurtubi 所做工作的一部分，Ibn Fadlallah al-'Umari 還報告說，只有四個主要方向和中間的四個方向有阿拉伯語名稱，即使風玫瑰圖顯示的方向超過八個（最多32個）。顯然，八角星形式的風玫瑰圖是由阿拉伯-西班牙水手共同開發的。蒙特城堡的布局設計采用了這種風格的風玫瑰圖，這清楚地表明了它的起源，也可能表明了建筑本身的含義。八角星的歷史比航海圖還要悠久。在科爾多瓦的 Umaiyaden 清真寺（公元 961-966 年）中的米哈拉布前的沖天爐肋骨上就有八角星。這座清真寺還包含交叉方形圖案的第一階段，在薩拉戈薩的烏邁亞迪-阿爾費利亞宮（十一世紀下半葉）的沖天爐上也可以看到這種圖案。

八角星的出現并不局限于地中海的阿拉伯地區，遠在波斯、印度和中亞也有出現。

正如這些例子所示，由交叉的正方形構成的八角星是穆斯林世界廣泛使用的圖案，出現在許多場合。它被用于宗教建筑的拱頂以及風玫瑰的形式，這表明它與天的概念有關。在本文的討論中，我們只需認識到其基本的幾何構型，在使用它的地方，這種構型被推崇，其特點是具有多種對稱性。

航海圖和阿爾罕布拉宮中類似形式的馬賽克（圖 29.13）展示了八芒星圖發展的另一個步驟：切線的交點，即星的頂點，用射線束來區分。

圖29.13蒙特城堡的幾何結構覆蓋在阿爾罕布拉馬賽克照片上。

在這里，蒙特城堡建筑師的一個新想法開始發揮作用：他通過以較小的類似形式重復八邊形圖案來強調星星頂端的特殊位置。這些角樓不僅通過一條從其中心 Mv 到中央八角形中心 M 的直線連接起來，而且還與外墻和內院的八角形構成了一個完整的幾何系統（見上圖 29.2）。

有了這個新穎的想法，建筑師將對稱性提高了一個數量級，從而增強了整座建筑的美學效果。由于簡單的反射對稱已被視為建筑中的和諧元素，因此這種額外的對稱所產生的巨大效果也就不足為奇了。

假設我們將蒙特城堡建筑師的想法向前推進了一步，并根據塔樓側面的切線構建出新的八角星（圖 29.14）。我們馬上就會發現，這些外星之間的幾何關系體現在更多的拼接上。

圖 29.14 蒙特城堡幾何形狀的進一步發展。

這并不是說蒙特堡的建筑師采取了這一額外的步驟。不需要建立城堡中的幾何關系，因為這些是基于包括八個外部八角形和兩個基本八角形的幾何系統。八顆外部星星的圖形與印度-阿拉伯建筑幾何學中發現的圖案相對應，正如可以在德里胡瑪云陵墓中心的馬賽克(1565)中看到的那樣，星星沿著線排列，只在一個尖端相互接觸(圖29.15)。

圖29.15德里胡瑪云陵墓鑲嵌畫中的八角星。

八顆"衛星"之間緊密的幾何聯系（如相鄰星點的接觸）進一步證明了塔樓的大小并非隨意選擇，而是遵循了幾何體系。這些聯系進一步證明了蒙特城堡幾何設計的完整性，是一個具有內在美感的構型實例。

正如馬克斯·科赫（Max Koecher）所觀察到的，基本八芒星的重復可以繼續下去，從而形成一個具有無限迭代可能性的分形（圖 29.16）。

圖 29.16 蒙特城堡幾何分形迭代的計算機渲染圖。

正如海德堡科學計算中心（Heidelberg Centre for Scientific Computing）所展示的那樣，該城堡的計算機圖形模型只需要這些規則就能實現完整的重建，這間接證明了該城堡設計所依據的幾何規則。

通過確定和分析蒙特城堡設計所依據的基本幾何形式的起源，確定了它與印度-阿拉伯幾何之間的聯系。然而，如此復雜的幾何分析即使在這一領域也是罕見的。因此，我們很自然地會問，這座城堡的設計靈感是否來自于這位皇帝本人？他對數學和建筑的興趣是眾所周知的。他的宮廷里有一批長期學者，其中包括阿拉伯數學家，如安提阿的西奧多魯斯，他與比薩的萊昂納多進行過數學通信。

這是比薩的列奧納多收集印度-阿拉伯數學成果并將其傳播到整個歐洲的時期。阿拉伯學者保存并擴展了希臘數學的成就。列奧納多與弗里德里希二世及其宮廷保持著密切聯系。可以假設，鑒于弗里德里希二世對數學的興趣，他積極參與了這座城堡的設計，這座城堡可能象征著他的帝國的原則。

因此，具有非凡美學光芒的蒙特城堡不僅是一座無與倫比的藝術和建筑紀念碑，而且也是一座科學和文化紀念碑。它位于阿拉伯幾何世界和中歐哥特式世界的交匯處，代表了中世紀最重要的皇帝之一的統治精神。

參考文獻

BULATOV, M.S. 1988. Geometrische Harmonisierung in der Architektur Zentralasiens im 9–15 Jahrhundert (in Russian) 2nd edn. Moscow: Nauka.

GOTZE, Heinz. 1984. Castel del Monte, Gestalt und Symbol der Architektur Friedrichs I, 1st edn.Munich: Prestel-Verlag.

———. 1991. Die Baugeometrie von Castel del Monte. In Sitzungsberichte del Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Phil.-hist. Klasse. (1991) 4.

KOECHER, Max. 1991. Castel del Monte und das Oktogon. In Miscellanea Mathematica. Heidelberg:Springer-Verlag.

MONTESINOS-AMILIBIA, J.M. 1987. Classical Tesselations and Three-Manifolds. Heidelberg:Springer-Verlag.

SEZGIN, Fuat. 2000. Mathematische Geographie und Kartographie im Islam und ihr Fortleben im Abendland. Historische Darstellungen 1 & 2. Geschichte des Arabischen Schrifttums, vols. 10 and 11. Leiden: E.J. Brill.

Heinz Gotze, Friedrich II and the Love of Geometry

青山不改，綠水長流，在下告退。

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