尋找線段轉換的橋梁

2024年安徽省中考數學第22題

在解決幾何線段轉換的過程中，通常情況下可以通過全等、相似、勾股定理等建立線段之間的數量關系，再利用這些數量關系間的關聯尋找它們進一步的關聯，從而解決問題。

一般而言，尋找線段等量關系的方法有兩個出發點，一是從條件出發順推，二是從結論出發倒推，也可兩個出發點同時推導，直到“中間”遇上，在這個過程中，橋梁作用非常重要，甚至可以說是解題成功的關鍵，有時它也叫樞紐。某些特殊圖形，很多時候承擔了這個重要任務，例如等邊三角形、等腰三角形、含特殊角的直角三角形等，在解題過程中，遇到此類條件，不妨多從橋梁角度去思考它們的作用，從而使思路更快形成。

題目

如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點M、N分別在AD，BC上，且AM=CN，點E、F分別是BD與AN，CM的交點.

(1)求證：OE=OF；

(2)連接BM交AC于點H，連接HE，HF.

(i)如圖2，若HE∥AB，求證：HF∥AD；

(ii)如圖3，若平行四邊形ABCD為菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求AC:BD的值.

解析：

01

(1)在平行四邊形ABCD中AD∥BC且AD=BC，利用AM=CN可得AM∥CN且AM=CN，則四邊形ANCM也是平行四邊形，于是AE∥CF，現在可證明△AOE≌△COF，從而OE=OF，如下圖：

當然本小題方法較多，不再一一列舉；

02

(2)(i)當HE∥AB時，很容易證明△OEH∽△OAB，所以OH:OA=OE:OB，前面我們已經證明了OE=OF，OB=OD，于是這個比例式可變成OH:OA=OF:OD，再加上公共角，可證明△OHF∽△OAD，如下圖：

再證明HF∥AD就極容易了；

(ii)作為本題難點，首先需要捋清條件：菱形ABCD，MD=2AM，∠EHF=60°；其次尋找這些條件間的關聯、拓展，如下圖：

由第一對相似，△AMH∽△CBH，如下圖：

可得AM:CB=AH:CH=1:3，不妨設AH=x，則CH=3x，AC=4x，由菱形對角線互相平分可得OC=2x，于是OH=x，即點H是OA中點；

再由第二對相似，△ADE∽△NBE，如下圖：

可得AD:NB=DE:BE=3:2，不妨設BE=2y，則DE=3y，BD=5y根據OE=OF可證BE=DF，于是EF=DE-DF=3y-2y=y；

最后看中間的等邊△EFH，得OH:EF=√3:2，于是得到了x與y之間的數量關系，x=√3/2y，而AC=2√3y，BD=5y，最后得到AC:BD=2√3:5.

當然，另一對相似三角形也能達到同樣的目的，如下圖：

解題反思

本題第一小題入口很寬，只要想到了用全等三角形，基本上都能夠寫出來；第二小題找準了兩對A型相似，問題也不大；第三小題的關鍵是找到兩對X型相似，并充分理解∠EHF=60°帶來的等邊三角形的作用；

解題突破口如何想到？

菱形本身就帶來了兩組對邊平行，因此在這些平行線間，可以構造全等或相似，題目條件中的MD=2AM，又在暗示本題更多應考慮相似三角形，所以圍繞尋找哪一對相似去思考，本題不算難，兩對相似三角形最終都匯集到中的等邊三角形中，它是事實上的橋梁，建立了菱形兩條對角線間的數量關系。

我們在學習相似三角形時，通常會接觸一兩類基本模型，A型和X型(也有稱8字型)，模型名稱是為了方便記憶，我們希望留存學生腦子里的不是字母A或X，而是一類圖形，各種位置的同一類圖形。

人腦如何記憶圖形？

人的大腦對圖形的記憶并不是與相機一樣，將所有細節全部記錄下來，而是先進行了“數據壓縮”，只記憶關鍵圖形要素，需要回憶圖形時，再利用大腦原有儲存信息還原圖形。

在神經科學頂級期刊Neruon中，有一篇論文(第一作者Yuna Kwak，目前正在紐約大學攻讀心理學博士學位)進行了如下研究：

在實驗中，他們設置了兩種不同的禮堂刺激圖像，定向光柵和移動的點。

在每次測試中，參與者們首先會看到一個圖像，接著用12秒來回憶所見信息，然后根據記憶判斷剛才的光柵傾斜方向或一團點的移動方向。

同時，研究人員用磁共振功能成像（functional magnetic resonance imaging, fMRI），將參與者的大腦活動可視化。

不同視覺信息的記憶格式可能相同

研究者發現，無論是光柵的傾斜角度還是點的移動方向，都會在視覺皮層和頂葉皮層中產生相同的神經活動模式。

視覺皮層是處理視覺信息的大腦皮層，頂葉皮層是大腦中用于處理和儲存記憶的部分。

結果顯示，大腦視覺皮層能夠區分出光柵傾斜和點的移動這兩種不同的圖像刺激。

與此同時，用一種類型的刺激（如光柵傾斜角度）訓練大腦，還可以讓其成功解碼另一種類型的刺激（如點的移動方向）。

但值得注意的是，這種“共享”僅出現在記憶階段，在直接觀看刺激物的時間段內并未被觀察到。

這也就印證了研究人員的一種推測：光柵傾斜和點集移動的圖像屬性既有不同點也有相同點，但在工作記憶過程中，大腦只會提取與具體任務最為相關的特征，并將兩種不同的刺激編碼為同一種“存儲格式”。

人腦記憶方式類似“寫提綱”。

基于以上描述，我們在初中數學教學中，如何利用這一腦科學成果？

A型相似三角形和X型相似三角形，在學生腦海中存儲的格式是相同的，數學上這兩種相似三角形都是從平行線推導出來的，記憶同樣也會回歸本源——平行線，因此我們在相似預備定理的教學中，需要引導學生通過不同方式去尋找、構造相似三角形，學生需要理解的是從平行線中抽象出模型的過程，即模型是如何得到的，而不是單純記憶模型本身，這也是生長數學的基本理念。

所以，由題思教，回歸課堂，才是教研的基本方向。