湖北
安檢中的數學
2025年深圳中考數學第19題
在2022版新課標中，對于數學綜合與實踐的要求，進一步提高，小學階段的綜合與實踐領域，主要是以主題式學習的形式，讓學生感悟自然界和生活中的數學，在獲取知識的同時，激發學習數學的興趣。初中階段綜合與實踐領域，可采用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡述社會生活以及科學技術中遇到的現實問題。
在日常生活中，排隊安檢是極為常見的場景，高鐵站、飛機場、長途客運站、地鐵站、船碼頭等，當我們用數學的眼光觀察時，會發現排隊人數、安檢通道、安檢時間、總人數等量之間，存在某種關聯，而描述這種關聯所用到的函數，是數學基本且重要的概念，改變影響函數的參數，觀察分析函數發生的變化，都是我們在綜合與實踐課堂上應該和學生共同經歷的過程。
題目
綜合與實踐
【問題背景】排隊是生活中常見的場景。如圖，某數學小組針對某次演出，研究了排隊人數與安檢時間、安檢通道數之間的關系。
【研究條件】
條件1：觀眾進場立即排隊安檢，在任意時刻都滿足：排隊人數=現場總人數-已入場人數；
條件2：若該演出場地最多可開放9條安檢通道，平均每條通道每分鐘可安檢6人。
【模型建構】
若該演出前30分鐘開始進行安檢，經研究發現，現場總人數y與安檢時間x之間滿足關系式：y=-x2+60x+100(0≤x≤30)，結合上述信息，請完成下述問題：
(1)當開通3條安檢通道時，安檢時間x分鐘時，已入場人數為______，排隊人數w與安檢時間x的函數關系式為_____________
【模型應用】
(2)在(1)的條件下，排隊人數在第幾分鐘達到最大值，最大人數為多少？
(3)已知該演出主辦方要求：
①排隊人數在安檢開始10分鐘內(包含10分鐘)減少；
②盡量少安排安檢通道，以節省開支.
若同時滿足以上兩個要求，可開設幾條安檢通道，請說明理由.
【總結反思】
函數可刻畫生活實際場景，但要注意驗證模型的正確性，未來可結合更多變量(如突發情況、安檢流程優化等)進行更深入的分析，以提高模型的準確性和實用性.
解析：
01
(1)根據研究條件2“平均每條通道每分鐘可安檢6人”，得3條安檢通道x分鐘可入場18x人，再根據“排隊人數=現場總人數-已入場人數”的關系，得排隊人數w=y-18x=-x2+42x+100；
02
(2)將前面所得w與x的二次函數關系式化為頂點式為：w=-(x-21)2+541，所以排隊人數在第21分鐘達到最大值，最大人數為541人；
03
(3)仍然根據研究條件，若有n條安檢通道，則排隊人數w與安檢時間x之間的函數關系為w=-x2+(60-6n)x+100，它的對稱軸是x=30-3n，因此30-3n≤10，解得n≥20/3，而n為整數，故n=7.
解題思考
本題取材于生活中的真實情境——排隊，研究排隊人數、安檢時間、安檢通道數之間的關系，題目并沒有要求學生獨立建模，而是給出了模型的大部分，再讓學生完善，從而降低了題目難度，讓更多學生可以上手.
在綜合與實踐教學中，我們需要幫助學生用數學眼光去“讀”懂題目描述，當我們建立的模型是二次函數時，頭腦中首先應該出現的是它的函數圖象——拋物線，開口向下；
在這個理解的基礎上，再去看模型應用中“第幾分鐘達到最大值”，對應的函數圖象性質中頂點坐標的意義，就容易找到解題思路，本題實際上比較簡單，因為最難的部分是建模，題目已經幫助完成了大半，只需要學生完成簡單應用。
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