新定義“雙等四邊形”

2025年深圳中考數學第20題

數學中的概念來源于生活，我們從小學開始就學習了諸如長方形、三角形、圓形等幾何概念，描述一個幾何圖形，需要準確的語言，形象的字詞，這也是我們數學概念簡潔清晰的基礎。

在小學我們學習長方形時，對于這個學段的孩子們，采取的方式是操作活動，如下圖：

北師大版小學數學三年級上冊第55頁，通過折一折，量一量直觀感知，并沒有給出嚴格定義。到了人教版八年級下冊第52頁，才給出較為正式的定義，如下圖：

即我們的數學概念學習過程，是經歷了小學階段的直觀，到初中階段的規范，用幾何語言描述幾何圖形，因此，讀懂新定義對于幾何元素間的圖形邏輯是解題關鍵。

題目

綜合與探索

【探索發現】

如圖1，小軍用兩個大小不同的等腰直角三角形拼接成一個四邊形。

【抽象定義】

以等腰三角形的一腰為邊向外作等腰三角形，使該邊所對的角等于原等腰三角形的頂角，此時該四邊形稱為“雙等四邊形”，原等腰三角形稱為四邊形的“伴隨三角形”。如圖2，在△ABC中，AB=AC，AC=AD，∠D=∠BAC，此時四邊形ABCD是“雙等四邊形”，△ABC是“伴隨三角形”。

【問題解決】

如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AC，AD=CD，∠D=∠BAC,求①AD與BC的位置關系為_____________；②AC2_______AD·BC（填">"，"<"或"="）。

【方法應用】

①如圖4，在△ABC中，AC=BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉至△ADE，點D恰好落在BC邊上，求證：四邊形ABDE是雙等四邊形。

②如圖5，在等腰△ABC中，AC=BC，cosB=3/5，AB=5，在平面內找一點D，使四邊形ABCD是以△ABC為伴隨三角形的雙等四邊形，若存在，請求出CD的長；若不存在，請說明理由.

解析：

01

(1)我們先來理解“雙等四邊形”概念，在向外作新的等腰三角形時，原三角形的腰，有兩種情況，“腰是腰”或“腰是底”，而原三角形的頂角，也有兩種情況，“頂(角)是頂(角)”或“頂(角)是底(角)”，如下圖：

因此，根據圖形中等腰三角形不同形狀，得到的雙等四邊形也不相同，再來看兩個小題：

①圖3中這兩個等腰三角形頂角相等，則由三角形內角和可知，它們的底角也相等，故∠DAC=∠ACB，它們是一對內錯角，所以AD∥BC；

②圖3中的△ABC∽△DAC，于是AC:DC=BC:AC，即AC2=DC·BC，而AD=DC，所以AC2=AD·BC；

02

(2)①由旋轉可知AB=AD，即△ABD為等腰三角形，而△ADE也是等腰三角形，且它是由等腰△ABC旋轉而來，它的底角為∠B，與△ABD底角相同，則它們的頂角也相同，符合雙等四邊形定義；

②我們既然知道了∠B的余弦值，且AB=5，可解這個三角形，求出所有邊，如下圖：

作CG⊥AB，由三線合一，得BG=5/2，由cosB=3/5，可求BC=25/6=AC；

第一種情況，以腰AC為底，向外作等腰△ACD，且頂角∠ADC=∠ACB，如下圖：

它屬于“腰是底”且"頂是頂"類型，取AC中點E，連接DE，由于這兩個等腰三角形頂角相同，則它們的底角也相同，由三線合一可知DE⊥AC，于是在Rt△CDE中，cos∠DCE=cosB=3/5，而CE=1/2AC=25/12，所以求出CD=125/36；

第二種情況：以腰AC為腰，向外作等腰△ACD，AC=AD且底角∠ADC=∠ACB，如下圖：

它屬于“腰是腰”且“頂是底”類型，取CD中點E，連接AE，于是 AE⊥CD，再過點A作AF⊥BC，先在Rt△ABF中，求出AF=4，BF=3，由于AC=BC=25/6，則CF=7/6，而又由題意得∠ADC=∠ACD=∠ACB，說明AC是∠BCD的角平分線，根據角平分線上的點到這個角兩邊距離相等，可得AF=AE，因此可證明CF=CE=7/6，最后求得CD=2CE=7/3；

第三種情況：以AC為腰，向外作等腰△ACD，AC=CD且底角∠ADC=∠ACB，如下圖：

它屬于“腰是腰”且“頂是底”類型，其實它和第二種情況很像，可以看作是將第二種情況中的△ACD關于AC的垂直平分線進行一次軸對稱變換得到，我們借助前面探究出的結果，可得CD=AC=25/6.

綜上，CD的長可能是125/36，7/3，25/6.

解題思考

本題對于學生而言，難點是構圖，雙等四邊形是由兩個等腰三角形構成，以原等腰三角形一腰為邊向外作新等腰三角形，這條邊既可作為新等腰三角形的腰，也可作為它的底，而且該邊所對的角要等于原等腰三角形的頂角，這個既可以是新等腰三角形的底角，也可以是它的頂角，因此總共有四種可能，但這條邊一旦成為新等腰三角形的底，則它所對的角只能是新等腰三角形的頂角，不可能是底角，因此只剩下三種，如下圖：

只有明確圖形的結構，作出圖形，才有可能正確解答。

分類思想是數學中的重要思想方法，其原則是不重復、不遺漏，分類依據來源于對分類對象的理解，例如三角形分類，按邊分和按角分均可，對于等腰三角形來講，它最大的不確定性來自于腰和底不等，因此哪條邊為腰哪條邊為底，需要分類，即使確定了腰和底，頂角和底角也并未隨之確定，還需要細分，在這個過程中，學生可通過嘗試作圖，驗證分類結果是否符合題目條件，這也是數學學習中的探究、猜想、驗證過程，這都需要我們在平時的課堂教學中帶領學生經歷，落實了課堂上的活動環節，讓學生真正通過數學活動積累數學經驗，核心素養才能得到進一步提升。