SAMP《科學美國人》數學謎題集錦202602[每周一題共4題]

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SAMP（Scientific American Math Puzzles，《科學美國人》數學謎題）集錦[20260207 - 20260228每周一題共4題]（每小題后附答案講解及原文鏈接——淺色文字答案內容可選中后反色查看）。

作者：SCIAM科學美國人（Scientific American）2026-2-28

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-2-28

日期：2026-2-7

作者：馬丁·加德納

問題：追蹤白蟻

圖源： Amanda Monta?ez

想象有一個大立方體，由 27 個大小完全相同的木質小立方體粘合而成。一只白蟻從某一個邊緣小立方體的面中心出發，一路蛀穿前進，要求穿過每一個小立方體且僅穿過一次。它的移動方向始終與大立方體的某條棱邊平行，絕不會沿對角線行進。那么，這只白蟻能否先依次蛀穿外側的 26 個小立方體，每個僅穿一次，最后再首次鉆入正中心的那個小立方體呢？若可行，請說明具體路徑；若不可行，請給出證明。

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-follow-termite/

白蟻無法先穿過外側 26 個小立方體各一次，再以中心立方體結束行程。

這一點可以通過一個簡單的方法證明：我們將大立方體中的所有小立方體想象成三維國際象棋棋盤的格子，進行黑白相間的染色。如此一來，這個大立方體中會出現13 個一種顏色的小立方體，和14 個另一種顏色的小立方體。

白蟻的行進路徑中，每穿過一個小立方體，顏色必然會發生一次交替；因此，若要一次性穿過全部 27 個小立方體，其行程的起點和終點，必然都屬于數量為 14 的那一種顏色的小立方體。而大立方體正中心的小立方體，恰好屬于數量為 13 的那一組，由此可知，題目要求的行進路徑是不可能實現的。

日期：2026-2-14

作者： Jack Murtagh

問題：所有圓的周長之和

一個紅色的圓內接于一個藍色正方形，這樣的布局會在正方形的四個角落留下空隙。其中兩個角落各嵌入一個稍小的圓，這些小圓恰好與大紅圓相切，同時也與藍色正方形該角落的兩條邊相切。而這一做法又會在角落處留下兩個更小的空隙，空隙中再嵌入更小的圓，以此類推，無數個愈發微小的圓會不斷填充下去。整個圖形又內接于一個邊長為 1 的灰色正方形內。那么，所有這些圓的周長總和是多少？

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-sum-circles/

所有圓的周長之和為 π。

圓的周長等于 π 乘以直徑，因此，直徑分別為 d?、d?、d?…… 的眾多圓，其周長總和為：πd? + πd? + πd? + … = π(d? + d? + d? + …)

由此可見，只要算出所有圓的直徑之和，再將其乘以 π，就能得到答案。借助圖形的對稱性，即便將部分圓移至不同角落，其大小也不會發生改變。

由于無數個圓最終都趨近于藍色正方形的角落，所有圓的直徑之和恰好等于藍色正方形的對角線長度（即圖中的虛線）。而外圍灰色正方形的邊長為 1，因此這條對角線的長度也為 1。

日期：2026-2-21

作者： Hans-Karl Eder

問題： 求三個未知數的值

已知如下三個等式，求 x、y、z 的數值：

x + y = x × y × z

x + z = x × y × z

y + z = x × y × z

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-three-values/

這三個未知數的取值相同，均為 0、√2 或 -√2。

通過以下變形可證，x、y、z 三者必然相等。先將三個等式依次標記為式 Ⅰ、式 Ⅱ、式 Ⅲ：

Ⅰ. x + y = x × y × z

Ⅱ. x + z = x × y × z

Ⅲ. y + z = x × y × z

用式 Ⅰ 減去式 Ⅱ，可得 y - z = 0；

用式 Ⅱ 減去式 Ⅲ，可得 x - y = 0。

整理后即得 y = z、x = y，因此 x = y = z。

由此，可將第一個等式中的 y 和 z 均替換為 x。

首先，等式 x + y = x × y × z 可轉化為 x + x = x × x × x，進一步推導：

2x = x3

x3 - 2x = 0

x×(x2 - 2) = 0

由此可得，要么 x = 0，要么 x2 - 2 = 0。

若為后一種情況，x2 - 2 = (x - √2)×(x + √2) = 0，

解得 x = √2 或 x = -√2。

日期：2026-2-28

作者： Jack Murtagh

問題： 你能讀懂我的心嗎？

我心里想了一個 1 到 1000 之間的整數，你可以向我提是非題，直到猜出這個數為止。

1、要保證準確猜出這個數，你需要提多少個問題？（最終說出答案不算作提問。）

2、如果要求你提前把所有問題都寫出來呢？也就是說，我們不會進行互動問答，你要先寫下所有問題，我會一次性回答全部問題，之后你再猜數。而且我回答問題的順序可能是任意的（比如，我可能先回答第七個問題），因此后面的問題不能依賴前面問題的答案。

本題有提示可選，提示會直接給出答案的數字，卻需要你自己琢磨解題方法。

提示：令人意外的是，兩種猜數場景需要的問題數量完全相同：都是 10 個。

答案：

第一個互動猜數場景的經典解法是二分查找法。你可以先問：“這個數大于 500 嗎？” 無論我回答是或否，你都能將可能的數字范圍縮減一半。接下來的每一個問題，都能繼續把剩余的數字范圍再減半。如果我回答數大于 500，你的第二個問題就可以問 “這個數大于 750 嗎？”；如果我回答數小于或等于 500，第二個問題就可以問 “這個數大于 250 嗎？”。一開始有 1000 種可能，問完第一個問題后縮減為 500 種，第二個問題后變成 250 種，以此類推。將 1000 連續對半劃分 10 次后，最終就只剩下一種可能，也就確定了答案。一般來說，n 個是非題足以確定 1 到 2?之間的任意一個整數（而 21?=1024，因此 10 個問題就足以猜出 1 到 1000 之間的數）。

乍看之下，取消互動問答的限制似乎需要更多問題，但事實并非如此。第二個場景的一種解法，是把我想的數轉換成二進制數來看。1 到 1000 之間的任意整數，都可以用 10 位二進制數表示（最大的 10 位二進制數是 10 個 1 組成的 1111111111，對應的十進制數是 1023）。因此，你可以直接針對這個數的二進制形式提問。你可以先問：“這個數的二進制第一位是 1 嗎？” 如果我回答否，你就知道這個數的二進制第一位是 0。接著你可以繼續問：“這個數的二進制第二位是 1 嗎？” 問完 10 個問題后，我給出的答案就會拼湊出一個唯一的 10 位二進制數，而這個二進制數又對應著唯一的十進制整數。

參考資料

https://www.scientificamerican.com/games/math-puzzles/

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