重塑算術幾何的數學家，獲得2026年阿貝爾獎

格爾德·法爾廷斯（Gerd Faltings）于1954年出生于西德。中學時期，他曾獲得一項全國性的數學獎項；在獲得博士學位后，他又曾在哈佛大學擔任一年研究員。

法爾廷斯在2024年說：“我最初的目標是拿到終身教職，這樣我就能靠數學謀生了。”

今天，挪威科學和文學學院決定將2026年阿貝爾獎授予法爾廷斯，以表彰他為算術幾何引入了強有力的工具，并解決了與莫德爾與朗相關的長期懸而未決的丟番圖猜想。阿貝爾獎有時也被稱為數學界的諾貝爾獎。

格爾德·法爾廷斯是算術幾何領域一位舉足輕重的人物。他的思想與成果重塑了這一領域。他不僅解決了多項長期懸而未決的重要猜想，還建立了新的理論框架，引領了此后數十年的研究工作。他卓越的成就將幾何視角與算術視角融為一體，充分體現了對深層結構性的洞察力所具有的力量。（圖/Peter Badge/Typos1/The Abel Prize 2026）

數字——數學最基本的構件。它們可以相加、相乘，也可以與自身相乘（平方），還可以重復任意多次地相乘（如立方，或者更高次冪）。我們在學校里就學過做這些運算的所有基本規則。

數論是數學中最古老的分支之一。早在公元3世紀，一位名叫丟番圖的數學家就提出了一些直到今日仍然讓數學家們頭疼不已的問題。這是因為，雖然數字在加、減、乘、除時所遵循的規則看起來簡單，但一旦把乘法和加法混合起來，就會變得非常神秘。

亞歷山大的丟番圖手稿（1621年版本）。（圖/Public Domain/Commons Wikipedia）

丟番圖方程含有一個以上的未知變量（通常用 a、b、x、y 等來表示），以及可以表示為整數的解。畢達哥拉斯定理（勾股定理）就是一個丟番圖方程：a2 + b2 = c2。a、b 和 c 的整數解被稱為畢達哥拉斯三元數組。這樣的三元數組有無窮多個，其中最經典的一組是3、4、5。

邊長為 3、4、5 的畢達哥拉斯定理示意圖。（圖/Timandra Harkness）

但是，如果不是a、b、c的平方，而是立方呢？求解起來就沒那么容易了。事實上，費馬大定理說的就是：當n大于2時，方程 a? + b? = c?不存在丟番圖解。

果然，在數百年間，沒人找到過任何當n大于等于3時（也就是方程次數為3或更高時）的整數解。包括歐拉、索菲·熱爾曼、狄利克雷和勒讓德在內的多位數學家，都曾分別在一些特定情形下證明費馬是對的。但從1637年到1995年，整整跨越了數百年，安德魯·懷爾斯才最終證明：對于任何大于2的n，這樣的解都不存在。

一種被數學家用來理解數字的更深層規律的方式，是把它們表示成幾何形狀。這就是算術幾何的領域。

方程可以表示為點的集合：方法是把方程寫成函數，再把它的解畫成坐標點。例如，方程 x2 + y2 - 1 = 0，可以寫成 f(x,y) = x2 + y2 - 1，然后研究這個函數在什么地方等于零，也就是研究 f(x,y) = 0。

如果把它畫在一張平面紙上，就會得到一個圓，它經過的點有：x = 1 或 -1 且 y = 0，以及 x = 0 且 y = 1 或 -1。

f(x,y) = x2 + y2 ? 1 的圖形。

這個圓上的任意一點，都給出了滿足該方程的一組 x、y 值；不過，這四組整數解是顯而易見的，用數學家的話來說，就是“平凡解”。而且，它們也是唯一的整數解。

但是，滿足這個方程的有理數解有無窮多組。例如，x = 3/5（0.6）、y = 4/5（0.8）就是一組。事實上，只要把分子和分母取得足夠大，這條曲線上就有無窮多個有理數點。

它們之所以叫“有理數”，并不是因為它們表現得特別合理，而是因為它們能夠表示成兩個整數之比——也就是分數。

不過，這條曲線上更多的點其實是無理數；之所以這樣命名，是因為它們不能表示成兩個整數之比，盡管如果把分母取得足夠大，就能用分數來近似。這就是丟番圖逼近。

如果這聽起來奇怪，不妨想想無理數 π：它的精確值不能被寫成分數，但在實際應用中，可以用 22/7 或 3.142（即 3142/1000）來近似。而如果想要更接近它的真實數值，分子和分母就需要變得更大，比如 104,348/33,215。

因此，方程 x2 + y2 – 1 = 0 既有整數解，也有有理數解和無理數解。但如果把冪次改成3，變成 x3 + y3 – 1 = 0，那么它就不存在正的有理數解。

那些同時涉及乘法和加法的復雜方程，可以表示為數域中的曲線。所謂“域”，是指一個數字集合；在這個集合中，數字在相加、相乘，或者試圖進行某種排序時，都遵循一套規則。例如，數域 Q 包含所有有理數——這里的 Q 代表 quotient（商）。復數——也就是包含 i（負1的平方根）的那些數——構成了數域 C。

一個多項式方程包含同一變量的不同次冪——比如 x3 + 3x2 – x + 1 = 0。冪次越高，方程的次數就越高；而根據次數，我們可以確定它的“虧格”（genus）——這個量告訴我們曲線會有多少個“洞”。

橢圓曲線由三次方程表示，例如 y2 = x3 + ax + b，因此它們的次數是3。這意味著它們屬于虧格1；對于相應函數 f(x,y,z) = y2z – x3 – axz2 – bz3，由 f(x,y,z) = 0 所定義的曲線，具有一個洞。懷爾斯在證明費馬大定理時，就用到了橢圓曲線。

1922年，路易斯·莫德爾證明，橢圓曲線上的有理點可以由一個有限點群生成，而這些點按照可預測的方式運作。事實上，這些有理點構成一個阿貝爾群，這一性質由尼爾斯·亨利克·阿貝爾所發現；他的工作不斷被證明是許多偉大數學思想的核心，而阿貝爾獎也正是以他的名字命名的。

那么，虧格為2或更高、由更高次方程描述的曲線又是什么情況呢？可惜的是，它們并不遵循如此直接明了的規律。

莫德爾曾猜想，這樣的曲線只會有有限多個有理點，但他無法證明這一點。而莫德爾猜想，也讓數學界著迷數十年。

法爾廷斯起初并不是沖著證明這一猜想去的，他只是希望自己的研究能產生一些有趣的結果。但到了1983年，他證明了沙法列維奇和泰特關于曲線有限性的相關猜想。這個結果正如帕爾申此前所預言的那樣，同時也證明了莫德爾猜想，如今它被稱為法爾廷斯定理。

法爾廷斯的方法讓很多人感到意外，因為他并沒有使用丟番圖逼近，而是借鑒了泰特、帕爾申和斯皮羅的思想，通過代數曲線的分類來發展算術幾何中的方法。

此外，他還不得不改進一個用來衡量有理數復雜程度的量，這個量被稱為“高度”（Height）——粗略地說，它指的是能夠精確定義這個數的分子或分母所需的最小長度。

嚴格來說，法爾廷斯定理表明：對于這些高階曲線，在一個有界的法爾廷斯高度之下，其有理點只有有限多個。

1989年，保羅·沃伊塔確實使用了丟番圖逼近，給出了一個新的證明，而這也為法爾廷斯帶來了新的研究方向。他利用這些新工具建立了法爾廷斯乘積定理，隨后又借此證明了關于有理點分布的莫德爾-朗猜想——這是另一個長期困擾數學界的難題。這也是他最重要的成就之一。

今天，法爾廷斯在算術幾何中的工作，仍在不斷解決長期懸而未決的問題，并為幾何與數論的結合建立新的理論框架。

#創作團隊：

整理：原理編輯部

#參考來源：

https://abelprize.no/

#圖片來源：

封面圖&首圖：The Abel Prize 2026