書寫如何改變數學思維——譯自量子雜志Quanta Magazine

★置頂zzllrr小樂公眾號（主頁右上角）數學科普不迷路！

數學史家、科學史策展人戴維·E·鄧寧（David E. Dunning）探究數學符號如何成為一種構建社會與認知世界的技術。

圖源：Valerie Plesch for Quanta Magazine

作者：John Pavlus（量子雜志特約撰稿人）2026-3-25

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-3-27

人們很自然地認為數學在本質上是抽象的。無論數學是被發明還是被發現的，其蘊含的真理具有絕對的普適性，以至于人們認為，即便是外星人也會認同2加2等于4。 https://www.youtube.com/watch?si=qqXxCT8E8D8sigMp&t=342&v=K8SeB2EgBrE&feature=youtu.be

但數學研究的實際工作，往往涉及一件極為貼近現實的事：“在紙上或黑板上留下印記。”史密森尼美國國家歷史博物館的數學史家、科學史策展人戴維·E·鄧寧（ David E. Dunning ）如是說。而這種留下印記的行為，或者說“符號表達”——小到木棍上的刻痕，大到屏幕上晦澀的印刷符號——不僅會引發思想層面的連鎖反應，還會帶來實際、物質和社會層面的影響。

“數學家探索這片被我們視為抽象的領域時，實則在進行著具體的實踐。”鄧寧說，“數學思想的發展，始終與不同的書面表達形式相伴相生。這也是我認為聚焦符號表達極具價值的原因——我將其視作讓數學家的研究落地于現實實踐、扎根于物質世界的方式。”

鄧寧致力于研究符號表達的社會效應，他的研究之路是逐步明晰的。本科階段，他主修數學與英語雙專業。“我覺得這兩個學科息息相關，”他說，“二者都關乎通過書寫構建起的世界與體系。”在分別深入研究這兩個領域后，他意識到科學史的研究生學習能將二者融合。其中，社會學家戴維·布魯爾（David Bloor）的著作《知識與社會意象》Knowledge and Social Imagery https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/K/bo3684600.html 給了他極大啟發，讓他想要進一步探究“數學知識的創造，如何成為人們在互動中完成的事，又如何深度植根于其所處的環境”。

換言之，即便你不認為數學本身是相對的——需要明確的是，鄧寧也不這么認為——也能去研究各類數學符號表達形式背后的社會偶然性。這些表達形式“需要被發明，我們需要學習使用它們，它們各有其優勢與局限，”他說，“在很多方面，它都是一種技術。”

《量子雜志》與鄧寧展開對話，探討了這項技術如何影響數學思維——為何羅馬數字難以使用，為何在微積分中符號比幾何圖形更實用，為何關于書面書寫的爭論，竟催生了我們對邏輯與計算的一些最根本認知。以下是為保證表達清晰，經濃縮與編輯后的對話內容。

鄧寧本科主修英語與數學雙專業。“我覺得這兩個學科息息相關，”他說，“二者都關乎通過書寫構建起的世界與體系。”

照片攝影：Valerie Plesch 為《量子雜志》拍攝

Q：數學符號體系從何而來？它是如何誕生的？

符號表達本質上是一套實踐方法。最基礎的數學符號就是數字——即能夠將數書寫出來的形式。單從書寫的筆畫形態來看，其設計總會帶有一定的隨意性。但符號表達并非只是特定的筆畫，它還包含背后的規則，以及使用這些符號的方法。不同的數字體系，各有其優劣。

Q：能具體舉例說明嗎？

我們如今使用的阿拉伯數字，起源于印度，傳入阿拉伯世界后，主要通過商人群體傳播至歐洲。與此前在歐洲廣泛使用的羅馬數字相比，阿拉伯數字能讓商人更便捷地完成商業所需的計算。用羅馬數字進行算術運算并非完全不可能，但其本身并不適合開展算術活動。

Q：原因何在？

使用羅馬數字時，每進入一個新的數量級，就需要一個新的符號。如果只是書寫年份，這不成問題，但它存在明顯的局限性。而阿拉伯數字，只需10個符號，就能表示理論上無窮多的數，人們也能借此理解所有自然數。

史密森尼（Smithsonian）美國國家歷史博物館中陳列的這類物理模型，長期被用于探究曲面及其他數學對象的新規律。“過去，每個數學系都有這樣的模型。”鄧寧說，“當時的觀念認為，學習數學的一部分內容，就是培養對等式所代表的形式的物理直覺。”

照片攝影：Valerie Plesch 為《量子雜志》拍攝

更重要的是，阿拉伯數字并非只是一套靜態的表示體系，與之相伴的還有我們熟知的加減乘除等運算法則——也就是一套計算方法。我們對此習以為常：小學生都會學習進位和多位數乘法。但我認為，這恰恰凸顯了阿拉伯數字是一項了不起的技術。我們早已身處這項技術普及已久的世界，卻很容易忽略一個歷史事實：在擁有一套便捷的計算體系之前，多位數乘法曾是一件極為困難的事。

這就是符號表達的力量。

Q：書寫是符號表達的必要前提嗎？數學是否還有其他的符號表達形式？

追溯到更久遠的年代，還存在一些并非以書寫為載體的復雜數字表示體系。我尤其想到的是印加人的結繩記事，這是一種通過結繩來編碼復雜數字信息的體系。此外，古羅馬的手指計數法在歐洲中世紀也一直被廣泛使用，人們用雙手就能表示出9999以內的數。

1494年出版的意大利代數學著作《算術集成》Summa de Arithmetica中的插圖，描繪了古羅馬的手指計數法——人們用雙手就能表示出9999以內的數。

圖源：公有領域

Q：那么為何書寫最終成為了主流？我們為何不教人們用更具象、更直觀的符號形式學習數學？

要解答這個問題，我們可以回顧一段相關的歷史——牛頓和萊布尼茨研究微積分時，采用了截然不同的方法與符號表達形式。

Q：為了便于理解，你指的是17世紀戈特弗里德·萊布尼茨和艾薩克·牛頓各自獨立創立微積分，并使用了不同的符號體系，對嗎？

沒錯。與萊布尼茨相比，牛頓認為自己的微積分理論更植根于幾何學。牛頓的經典著作《自然哲學的數學原理》Principia中，并未引入符號化的微積分體系——和歐幾里得的著作一樣，這本書以定義和公理開篇，隨后配有大量幾何圖形。我們需要認識到，在當時，歐幾里得的著作仍是數學的基礎文本，而代數學常被視作一種“捷徑”，用于求解那些在“更本質”的幾何形式中存在的問題。

“數學思想的發展，始終與不同的書面表達形式相伴相生。”鄧寧說。

照片攝影：Valerie Plesch 為《量子雜志》拍攝

萊布尼茨則希望建立一套更具代數學特征、更符號化、更注重符號表達的微積分體系。他曾有這樣一句名言：“我敢說，這是人類思維的終極成就，一旦這項研究完成，人類要做的就只剩享受美好時光了。”聽上去，他就像一個鼓吹人工智能的人——認為我們的書寫體系能替我們思考。萊布尼茨對符號表達的理解，確實如此。

Q：如今我們使用的微積分符號，正是他創立的嗎？

是的——其中最具代表性的就是積分符號，它也是微積分最易識別的標志。這個符號是一個拉長的字母S，代表“求和”（sum）。萊布尼茨的微積分體系在歐洲大陸得到了廣泛應用，其發展的活力是牛頓的體系所無法比擬的。

Q：這是否和阿拉伯數字推動算術發展一樣，因為他的符號體系確實讓微積分的運算變得更簡便？

在我看來，這在一定程度上是事實。人們常提到的一點是，萊布尼茨用于表示微分的dy/dx符號，能讓人們以一種牛頓的符號體系無法實現的方式“靈活運用”微積分。

德國漢諾威的萊布尼茨檔案館中，保存著他關于積分學的筆記。其創立的符號體系，后來演變成了如今我們使用的微積分符號。

圖源：Gottfried Wilhem Leibniz Bibliothek/Stephen Wolfram/公域

但我并不想將其原因簡單歸結于此。萊布尼茨的符號體系之所以能流行，是因為他的合作者群體接納并發展了這一體系，而他們的后繼者——歐拉、拉格朗日、拉普拉斯等人——在接下來的一個世紀里，將分析學發展成了歐洲大陸的一門獨立學科。而在英國，牛頓的數學物理理論雖被奉為經典，卻并未成為數學研究文化的根基。這就導致了一種局面：英國學界極為尊崇牛頓，但其研究卻未能跟上其他地區牛頓力學的發展步伐。

19世紀初，英國的年輕數學系學生深感不滿——當整個數學界都在使用萊布尼茨的符號體系時，他們在學校學習的卻仍是牛頓的符號。彼時，法國大革命和拿破侖戰爭的爆發，讓英、法兩國的文化交流變得異常困難。因此，英國學界無法快速切換符號體系，也沒有能力做到這一點。這場轉變是循序漸進的，直到這一代學生成為學界中堅、擁有出卷命題的話語權后，才逐步完成。到19世紀中期，英國的數學研究全面采用萊布尼茨的符號體系，這場變革才真正落下帷幕。

鄧寧致力于研究史密森尼博物館的數學與計算機藏品。

照片攝影：Valerie Plesch 為《量子雜志》拍攝

Q：符號體系是否總會像這樣，最終趨于一種主流形式？

并非總是如此，也并非總是呈現出清晰的趨勢。數理邏輯就是一個尤為重要的例子：這一領域的符號體系層出不窮，而學者們似乎也樂于接受這種現狀。盡管這些符號體系最終會或多或少趨于統一，但也會長期存在并存的狀態。

其中一個原因是，數理邏輯學家的研究目標大相徑庭，尤其是在該領域發展初期。1847年，喬治·布爾（George Boole）出版了首部數理邏輯著作，他認為邏輯學屬于數學范疇，將三段論轉化為方程，能更高效地完成亞里士多德式的邏輯推理。因此，對他而言，使用人們已熟知的現有代數符號體系至關重要。

但在1879年，德國數學家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）出版了《概念文字》Begriffsschrift。對他而言，研究目標恰恰相反：他想要證明數學的本質是邏輯。為實現這一目標，其創立的邏輯符號體系中，不能包含任何數學符號——因為他最終想要重構整個數學體系。于是，他發明了一套與以往所有數學符號體系截然不同的符號。

戈特洛布·弗雷格《概念文字》中的一頁，他在這本書中構建了一套形式化的邏輯符號體系。

圖源：公域

在很長一段時間里，符號體系的多樣性成為了數理邏輯領域的常態。部分原因在于，邏輯學并沒有一個非常明確的應用場景，也沒有統一的研究目標。不同的學者因不同的原因認為邏輯學具有研究價值，這也反映在他們對符號體系的選擇上——他們會選擇最能服務于自身研究目標的體系。想要跟進該領域的研究成果，就必須不斷在不同符號體系間切換，并思考各體系的適用范圍與局限性。

符號體系的多樣化并非邏輯學獨有，但唯有在這一領域，這種多樣性具有特殊的意義。1930年代，這一趨勢達到頂峰，庫爾特·哥德爾（Kurt G?del）、艾倫·圖靈（Alan Turing）、阿隆佐·丘奇（ Alonzo Church）等人提出了關于不完備性與計算理論的重要定理——在這些研究中，書寫體系的能力成為了研究對象，成為了定理的證明對象。在我看來，這些元問題的誕生，正是源于這一領域中沒有統一的書寫方式。他們所處的研究傳統，孕育了繁多的符號體系，也讓研究者不得不時刻關注各類符號的功能，這一切并非偶然。

Q：數學符號體系仍在發展嗎？我們是否需要突破書寫的邊界，探索新的形式？

我認為我們遠未觸及發展的天花板。計算機為各類建模提供了可能，我想，未來會有越來越多的數學領域，其研究成果以動態形式呈現——比如一些無法被印刷出來的對象和過程的模型或模擬。但這在數學史上并非前所未聞。

我們此前談及了更久遠年代里非書寫形式的符號體系，而在19世紀末，物理模型的發展迎來了黃金時期。當時出現了大量石膏制的幾何模型，我們博物館中也收藏了許多。過去，每個數學系都有這樣的模型：館內陳列著各類曲面的模型，當時的觀念認為，學習數學的一部分內容，就是培養對等式所代表的形式的物理直覺。可以說，制作模型的實踐，本身就是一種研究探索。

與之類似，計算機為非印刷形式的符號表達打開了無限可能，也讓人們能夠提出新的數學問題。

我們需要說明的一點是：我們探討的是精英層面的數學研究，將其簡稱為“數學”雖較為便捷，卻忽略了很多內容。人們在超市購物時，計算商品價格、規劃預算時用到的知識，也屬于數學。我們現有的符號技術，讓我們忽視了這類數學的重要性，但它實則有著重要的價值。

Q：符號表達是否還通過其他方式得到了普及？

另一個典型的例子，就是用字母x表示變量。在數學史上，這種表達方式的形成經歷了漫長的過程。小學生第一次接觸到“用字母代表數字”的概念時，仍會覺得這是一件晦澀難懂的事。但如今，這一表達方式已被廣泛習得，即便是那些自認與數學無緣的人，也能熟練地在話語中用x表示未知事物。你可以說“假設我有x磅蘋果”，即便一個完全不想接觸方程運算的人，也不會覺得這種表達方式難以接受。

這就是符號表達的力量——它能讓晦澀的概念變得通俗易懂，而所謂的“晦澀概念”，也會隨著時代變化而改變。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/how-writing-changes-mathematical-thought-20260325/

小樂數學科普近期文章

·開放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙·

讓數學

更加

易學易練

易教易研

易賞易玩

易見易得

易傳易及

歡迎評論、點贊、在看、在聽

收藏、分享、轉載、投稿

查看原始文章出處

點擊zzllrr小樂

公眾號主頁

右上角

置頂★加星

數學科普不迷路！