未知量是函數時，為什么需要無限維？ | 泛函分析第一講

導語

集智學園聯合東京都市大學賈伊陽老師共同開設了「」課程，本系列課程將以嚴謹的理論推導為核心，逐步建立泛函分析的基礎架構。第一階段將探討從有限維跨越到無限維的動機與基礎；第二階段將重點建立度量與完備性，掌握 Banach 空間與不動點定理的精髓；第三階段將深入探討 Hilbert 空間的幾何結構與對偶空間的映射體系。最終，在第四階段，將梳理完整的結構總覽與應用地圖，透視這些純粹的數學工具如何作為底層基石，廣泛應用于現代物理、復雜系統模擬與前沿計算科學中。

作為系列課程的第一講，賈伊陽老師將以「為什么需要無限維？」為主題，從機器學習基礎問題為案例進入泛函分析的場景中，建立函數空間的思想動機。正式分享將于3月29日（周日）19:00-21:00進行。

主題：為什么需要無限維？

課程簡介

機器學習中有一類問題，目標不是找一個數或一組參數，而是找一整個函數——用正則化控制模型復雜度，本質是在函數空間里施加范數約束；核方法（SVM、高斯過程）直接工作在無限維Hilbert空間里；變分推斷優化的對象是泛函，不是參數。這些方法背后都在用同一套語言：泛函分析。但傳統泛函分析課從公理和抽象定義出發，讓人很難看出它與實際問題的聯系。

作為系列課程的第一講，將從一個具體的機器學習例子（函數擬合 + 過擬合 + 正則化）出發，以應用問題為起點，循序推導出所需的數學框架。一個核心問題是“為什么需要無限維”，并沿此引出三個核心追問：函數到底屬于哪個空間？如何定義兩個函數之間的距離與收斂？函數為什么可以當向量用？課程最后通過vector與covector的對偶結構，將泛函的數學定義與機器學習中的優化目標打通。

本節課程面向具備基礎線性代數與機器學習背景的學員，以建立應用直覺為優先，數學嚴格性服務于理解，而非目的本身。

課程大綱

1. 引入：為什么需要無限維

2. 函數到底屬于哪個空間

   1. 不同函數空間的刻畫（連續函數、可微函數、平方可積函數）

   2. 函數空間的選擇如何影響問題的可解性

3. 談距離、收斂與穩定性

   1. 距離與范數：兩個函數怎樣算“接近”？

   2. 收斂性：一列函數怎樣算“收斂”？

   3. 穩定性：極限與最優解會不會跑掉？

4. 為什么函數可以看作向量

   1. 函數向量空間的線性結構

   2. 從有限維線性代數走向無限維函數空間

   3. 反例：哪些函數集合不構成向量空間

   4. 在函數向量空間可以討論的問題

5. 泛函、對偶與機器學習

   1. 泛函的定義：輸入函數、輸出實數的映射

   2. Vector與covector（對偶）的概念

   3. Hilbert空間中的對偶結構

   4. 機器學習中的對偶視角

6. 總結：函數、向量、對偶、泛函

關鍵術語

• 泛函（Functional）：以函數為輸入、輸出實數的映射，如J[f]對整個函數整體評分。

• 函數空間（Function Space）：滿足特定條件的函數構成的集合，如連續函數空間C[a,b]。

• 賦范空間（Normed Space）：定義了“長度”（范數）的向量空間，可度量函數大小。

• Hilbert空間：完備的內積空間，是無限維幾何分析的核心舞臺。

• 正則化（Regularization）：在優化目標中加入范數懲罰，鼓勵平滑解、抑制過擬合。

• 收斂（Convergence）：函數列趨近某極限的過程，不同范數下含義不同。

• Covector（對偶向量）：作用在向量上輸出實數的線性映射，對應泛函的幾何理解。

• 內積（Inner Product）：衡量兩個函數“方向相似程度”的運算，推廣自有限維點積。

課程信息

課程主題：為什么需要無限維？

課程時間：2026年3月29日（周三） 19:00-21:00

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內通知）；集智學園網站錄播（3個工作日內上線）

課程主講人

賈伊陽，東京都市大學講師、前日本女子大學助理教授，前日本成蹊大學助理教授。研究重點是計算復雜性，算法，以及范疇相關理論。集智學園《》課程講師。

課程適用對象

• 做微分方程、數值算法、反問題、信號處理、控制的學習者與研究者

• 做優化、機器學習、統計推斷，希望理解正則化與泛化的結構來源的研究者

• 讀量子/數學物理文獻，希望把 Hilbert 空間與算子語言用順手的研究者

• 更廣義地：經常處理“函數作為未知量”的問題、并且想要一套可遷移框架的研究者

1. 面對一個新問題，你能先問對問題：該在哪個空間里解？該用哪個范數衡量誤差？需要什么完備性？算子是否有界？

2. 你能理解常見方法背后的統一邏輯：迭代為何收斂、正則化為何穩定、最小二乘為何等價于投影、弱解為何成立。

3. 你會獲得一套“抽象但可落地”的語言：寫證明、讀論文、做建模時，能把碎片化技巧收束到結構層面。

1. 課程形式：騰訊會議直播，集智學園網站錄播。本系列課程不安排免費直播。

2. 課程周期：2026年3月29日-2026年6月14日，每周日晚19點-21點進行。

3. 課程定價：原價499

   1. 早早鳥價299，截止時間：2026年3月22日中午12點

   2. 早鳥價399，截止時間：2026年3月30日中午12點

課程鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/5700?from=wechat

付費流程：

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發票。

課程共創任務：課程字幕

為鼓勵學員深度參與、積極探索，我們致力于形成系列化知識傳播成果，并構建課程知識共建社群。為此，我們特別設立激勵機制，讓您的學習之旅滿載收獲與成就感。

課程以老師講授為主，每期結束后，助教會于課程群內發布字幕共創任務。學員通過參與這些任務，不僅能加深對內容的理解，還可獲得積分獎勵。積分可兌換其他讀書會課程或實物獎品，助力您的持續成長。