微信讀書推薦值95%，陶哲軒、斯圖爾特推薦！了不起的數學思維還有人沒學嗎？

想象一個完美無缺的圓形。

一個最普通的圓，你看到它了嗎？

在現實生活中，完美的圓并不存在。當你在紙上畫一個圓時，它總會有些小瑕疵。無論是太陽、自行車車輪，還是水面上的漣漪，它們都不是完美的圓。但這不會妨礙你理解我的意思，或想象出一個完美的圓。

你不僅可以想象這個圓，還能真的看到它。

你可以在腦海中移動它，將它放大或縮小，也可以隨心所欲地擺弄它。看到現實生活中不存在的東西，感受它就在你的面前，在腦海中自由移動它，仿佛你可以觸摸它——這就是你的魔法之一。

在真正理解數學的道路上，這里就是你的起點。

來源 :《數學覺醒：學會更清晰地思考》

作者：[法]戴維·貝西（David Bessis）

譯者：趙曉蕊

01

了不起的抽象能力

完美的圓是一種數學抽象。如果圓對你來說是熟悉的物體，那是因為你和其他所有人一樣，擁有與生俱來的數學抽象能力。

你的抽象能力不僅限于數學。無論你是否愿意，你都會花時間抽象地看待世界。這是你的身體的生理特征。你的大腦是一臺機器，從你的感覺輸入中創造抽象概念并在思想上控制它，就像你的肺從空氣中提取氧氣，并將其轉移到血液中一樣。

這怎么可能呢？我們將在第19章談論這個主題，看看大腦結構如何自然地制造和控制抽象概念。

在那之前，即使你不完全理解這種奇跡是如何發生的，你也必須承認：你可以看到一個圓。

02

了不起的推理能力

一條直線能與圓相交于三個點嗎？

別急，這里沒有陷阱。試著自己找到答案，想象一條直線與圓交的所有方式，看看是否在某些情況下形成了三個交點。

結果是否定的，一條直線不能與圓相交于三個點。

你覺得答案是顯而易見的嗎？這是因為你和其他所有人一樣，擁有了不起的數學推理能力。你不僅可以想象直線和圓等抽象物體，還可以問出關于這些物體的抽象問題，并在腦海中控制它們，從而找到這些問題的答案。

答案對你來說是顯而易見的，但如果有人告訴你，他沒有理解，你該怎么辦？

你可能會試著從頭解釋：“你看這兒……”但這么做收效甚微。對方之所以不能理解，是因為他不能像你那樣清楚地看到圓和直線。解釋數學道理，就是讓別人看到他們未曾見過的東西。

你的推理同時用到了直覺和視覺。在你的腦海中，它看起來像一部動畫片，主角是一個圓和一條直線。這種推理非常有效，但很難用語言表達。語言無法完全表達你在腦海中看到的所有微妙之處。

經過數學訓練，你可以學會把視覺直覺轉化為嚴格的證明。這種轉化永遠不會完美。即使是簡單的直覺，表達起來也很費口舌。它在腦海里非常簡單，一旦寫下來，就變得困難而復雜了。

03

了不起的直覺

能看到你腦海里想什么的人，唯有你自己。只有將你在腦海中看到的事物嚴謹地轉譯為語言和符號，你才能與他人交流——盡管這個過程非常辛苦。這也是你確保直覺沒有出錯的唯一方法。

因為你的直覺有時會出錯。

你對此非常清楚，盡管你不喜歡別人提醒你這一點。想激怒一個人，取笑他的外表屢試不爽，但說他的直覺有錯也幾乎能達到同樣的效果。一般來說，這種做法會觸發以下兩種防御機制之一：要么這人覺得自己沒用，產生自卑情結，不再思考；要么他覺得自己一定是對的，認定他人愚不可及（同時也不再思考了）。

然而，還有第三種可能。當愛因斯坦或笛卡兒被人指出直覺有錯時，他們沒有感到沮喪。他們不會妄自菲薄，更不會蔑視他人。他們會產生另一種反應——如何產生這種反應，也是貫穿本書的主題之一。

在學校里，我們被教導要對直覺保持警惕，這里犯了兩個錯誤——它們是阻礙你的智力發展的重大錯誤。

錯誤一：夸大事實。你的憤怒并無必要。確實，你的直覺有時會出錯，但不會一直出錯。你的直覺通常是對的。你可以讓它正確的次數越來越多。經過訓練，它可以看得更清楚、更仔細。數學家也曾和你站在同一個起點上，建立了強大、可靠、富有遠見的直覺。他們用簡單的方法（比如本書中教授的方法）做到了這一點。

錯誤二：學校往往只強調了直覺的局限性，卻不提直覺的優勢。直覺是不完美的——你將這一點牢記在心。這個信息確實重要，但學校忽略了另一條更重要的信息：你的直覺是你最強大的智力之源。從某種意義上說，它甚至是你唯一的智力之源。

這些可不是空話，我不打算說些廢話來奉承你。

這一切的背后隱藏著一條深刻的生物學真理，我們會在后文中詳細討論。這是非常實際的道理，你已經體驗過無數次了。你很清楚，背誦、應用現成的方法，或逐行推理，并不是真正的理解。這就是為什么你永遠不會完全相信邏輯論證，而是更愿意依賴直覺來理解。

04

想象力的天賦

你早就知道，自己的直覺十分強大。

你不敢堅定地大聲說出來，但你總是暗中相信自己的直覺。

你可能不知道，在所有偉大的科學革命和最困難的數學理論的背后，都是直覺在發揮作用，這些直覺總是與你的直覺一樣簡單。

愛因斯坦腦海里的一部動畫片使他提出了相對論，這部動畫片并不比讓你看到一條直線不能與圓相交于三個點的圖更復雜。

當愛因斯坦說他相信直覺時，他指的并不是一種與我們截然不同的、與生俱來的特殊直覺。如果他真的是這么想的，他就不會說自己“沒有特別的天賦”了。

盡管令人困惑，但我們必須接受這個現實。愛因斯坦談論的是普通的直覺，即人人都有的直覺，人們通常認為它不夠成熟，學校也教我們不要相信它。

愛因斯坦說的就是我們想象事物的能力。這份天賦人人有份，你可能覺得它不起眼，但它彌足珍貴，我們也無法奢求更多。

如果你像愛因斯坦一樣，學會利用簡單而單純的想象力，成為你這個時代最偉大的物理學家，你也會像他一樣，說偉大的科學發現只來自好奇心（而人們不會把你的話當真）。

即使你沒有提出相對論，你也已經做出一些讓人刮目相看的事情了。

你可以在腦海中看到一個圓。

你可以在腦海中移動它。

你可以從視覺上向自己證明，一條線不能與圓相交于三個點。

閉上眼睛站著不動，你就能完成這一切。也就是說，你可以通過思想的力量來完成它。

據我們所知，這種生物學能力似乎專屬于人類。如果河馬也知道如何做到這一點，它們可藏得挺深。

如果你成功做到了這些事，那就放心吧：你所擁有的遺傳潛力和智力，能讓你成為非常擅長數學的人。從生物學的角度來看，這些就夠了。真誠、耐心、勇氣和愿望——盡管這些因素不是遺傳的，但你也可以輕松擁有。

05

構建清晰有力的圖像

偉大的想法總是直觀而簡單的，甚至簡單得不可思議。我們也只能理解顯而易見的東西。如果某些東西并不顯而易見，那是因為它們還沒有被真正理解。

這是一條關于人類認知的普遍見解：我們的科學是由人類發明的，從更深的層次來講，人類都是由相同的物質組成的。

一些人本來只是試圖理解一些東西，卻在這個過程中做出了偉大的發現。他們只想把事物弄清楚，使其顯而易見。他們就算不明白，也不會裝成理解了的樣子。他們繼續尋找正確的道路、正確的心理圖像、正確的觀察方式，直到事物變得顯而易見。

好消息是，用這種方法，他們只能發現顯而易見的東西。你總有一天也會對這些東西有同樣的感受，所以你沒有理由被嚇倒。

這種方法適用于所有智力創造領域，尤其是數學領域。數學知識并不基于實驗數據，無須積累百科全書式的知識。特別是，數學書里除了顯而易見的證明，貌似什么也沒有。

矛盾之處在于，要使一件事顯而易見，你必須首先構建心理表征。一旦構建好，你就可以輕松地看到這些心理圖像。但構建心理表征需要耗費大量時間和精力。

不知不覺中，你已經為“什么是圓”構建了一個相當好的心理圖像。你必須對其他物體重復對圓所做的事情，并構建其他心理圖像，然后結合它們來構建更多的心理圖像。

沒有人天生就擁有現成的圖像，也沒有人立即就能構建這些圖像。構建這些圖像花費的時間比我們想象的要更長。對每個人來說，它都由遲疑、試錯、迷路和重啟組成。這個過程將持續我們一生。

無論你是否研究數學，你對世界的看法和心理圖像都在不斷演變。

數學家的傳說就是從這里開始的。這不是成為超人的神奇秘訣，而是幫你構建更好的心理圖像的簡單原則。這里的關鍵在于，你能否重拾構建自己的世界觀的方式。

你知道，想保持健康，就要鍛煉身體、多吃蔬果、潔身自好、睡眠充足。但你能說出一些有助于構建清晰有力的心理圖像的基本原則嗎？

人們一直都說要進行邏輯思考，然而你暗下決心，只相信自己的直覺——但直覺的問題，還沒被真正解決。

你只會毫無章法地應付問題，并錯誤地認為自己的直覺時對時錯，要是這樣，你就無法做出進一步的發現了。在這種情況下，不管你能成功學會什么，都是一個奇跡。

在下一章中你將看到，你已經擁有了堅實的數學直覺。也許你自認為數學很差，但其實你已經理解的數學概念，在99%的人類歷史中是只有天才才能理解的。你已經構建出了清晰、有力的心理圖像，并且每天都在使用它們。

《數學覺醒：學會更清晰地思考》

作者：[法]戴維·貝西（David Bessis）

譯者：趙曉蕊

這本書展現了一段真誠的數學之旅：數學思考是一段充滿探索與犯錯，并需要逐步糾正錯誤、提升理解力的精彩旅程。

——陶哲軒，數學家，菲爾茲獎得主

精彩！如果你好奇我們做數學時在想什么，那你就必須讀一讀這本書。

——雨果·杜米尼-科潘，數學家，菲爾茲獎得主

這是一本能幫助人們提升數學能力的罕見好書。書中充滿了俏皮的故事，以及富有創造力的指導性意見，能助你成為更好的“數學人”。

——本·奧林，《歡樂數學》作者

數學家如何思考？如何研究問題？如何避免因失敗而氣餒？數學學習和研究中有哪些常見的思維誤區？這本書用簡單易讀、富有洞察力的故事，把這些問題都回答了。

——伊恩·斯圖爾特，數學家，《改變世界的17個方程》作者